三明一中 2023-2024 学年上学期 12 月月考高二数学科试卷
参考答案
一、选择题 1-12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
C A B D C B B A AD BCD ACD ABC
二、填空题：
3
13 14 3 2
1 8 3 4 n
． ． 15． 16 ． Sn 2 2 2 5 5 9
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
17．【详解】（1）因为 A 2,0 ，B 2,4 ，C 4,2 ，
所以 kAC 1， kBC 1，所以 kAB kAC 1，所以CA CB，
又因为CA CB 2 2，所以 ABC是等腰直角三角形，
所以 M的圆心是 AB的中点，即圆心M 2,2 AB，半径 r 2，
2
所以 M 2的方程为 x 2 y 2 2 4；............................................................5分
（2）因为圆的半径为 2，当直线截圆的弦长为 2 3时，圆心到直线的距离为
d 22 23 1， .....................................................6分
①当直线 l与 x轴垂直时，此时直线斜率不存在，直线 l为 x 1，与圆心M 2,2 的距离为 1，
满足条件； .....................................................7分
②当直线 l的斜率存在时，设 l : y 4 k x 1 ，即 kx y 4 k 0 ，
2k 2 4 k | k 2 |
则圆心到直线的距离为 d 1，解得 k
3
，
k 2 1 k 2 1 4
3
此时直线 l的方程为 y 4 x 1 ，即 3x 4y 19 04 ，.....................................................9分
综上可知，直线 l的方程为 x 1或3x 4y 19 0 ．...................................................10分
{#{QQABSYQQggCoABJAARhCAQUoCEKQkBEACKoOgAAMsAABQBNABAA=}#}
18 1
2 1
．【详解】（1）由题意可得 ′ = = ，定义域(0, + ∞)...........................1分
令 ′ > 0，即 2 1 > 0，所以 > 1；....................................................2分
故 ( )的单调递增区间为 1, + ∞ ，递减区间为 0,1 ....................................4分
（2）因为 ( ) = ( ) 2 = 1 2 + 1 ln 2 ，
2
′ = 1
2
2 = 2 1 = 1+ 2 1 2故 ，.............................................6分
令 ′ > 0，即 1 + 2 1 2 > 0 > 1 + 2，......................7分
故 在 0,1 + 2 单调递减，在 1 + 2, + ∞ 上单调递增，............................8分
故最小值为
1 + 2 = 1
2
1 + 2 + 1 ln 1 + 2 2 1 + 2 = 1 2 ln 1 + 2 ，............9分
2 2
2
又因为 1 = 1 × 1 + 1 ln 1 2 × 1 = 1 ln 1 = 1 + ln2，..............................10分
2 2 2 2 2 8 2 8
3 = 1 × 32 + 1 ln3 2 × 3 = 1 ln3，....................................................11分
2 2
1
故最大值为 = ln2 + 1...................................................12分
2 8
19．【详解】（1）证明：因为平面 ACEF 平面 ABCD，平面 ACEF 平面 ABCD AC，
且 EC AC， EC 平面 ACEF，所以 EC 平面 ABCD，....................2分
又因为 AD 平面 ABCD，所以 EC AD，
因为 AD DC 2 AC ，可 AD2 DC2 ( 2 AC) 2 ( 2 AC) 2 AC2，
2 2 2
所以 AD DC，....................4分
又因为 EC DC C ，且 EC,DC 平面 EDC，
所以 AD 平面 EDC .....................................................5分
（2）
解：因为 AF / /CE且 EC 平面 ABCD，所以 AF 平面 ABCD，
{#{QQABSYQQggCoABJAARhCAQUoCEKQkBEACKoOgAAMsAABQBNABAA=}#}
以A点为坐标原点，以 AB为 x轴， AD为 y轴， AF为 z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，设 AC 2，则 AD DC AF 1，
可得 A 0,0,0 ， B 1,0,0 ，C 1,1,0 ，D 0,1,0 ， E 1,1,1 ，F 0,0,1 ，
则 BE 0,1,1 ， BF 1,0,1 ..............................................6分
由（1）知， AD 平面 EDC
所以平面 EDC的一个法向量为m AD (0,1,0)，
n BE y z 0
设平面 BEF的一个法向量为 n x, y, z ，则 ，
n BF x z 0
令 x 1，则 y 1， z 1，所以 n 1, 1,1 ，....................................................9分
m n cos 1 3设所求的锐二面角为 ，则 ，......................................10分m n 1 3 3
又因为平面 BEF与平面CDE所成夹角为锐角，....................................................11分
3
所以平面 BEF与平面CDE所成夹角的余弦值为 .....................................................12分
3
20. *【详解】（1）由已知 Sn 1 3Sn 2n 5 n N 可得当n 2时， Sn 3Sn 1 2n 3，
两式相减得 Sn 1 Sn 3 Sn Sn 1 2，即 an 1 3an 2，..............................2分
从而 an 1 1 3 an 1 (n 2)．....................................................4分
当 n 1时， S2 3S1 7，所以 a2 a1 3a1 7，又 a1 5，所以 a2 17，
从而 a2 1 3 a *1 1 ，所以 an 1 1 3 an 1 ,n N ，又 a1 5,a1 1 6，
a
n 1
1
3
a 1 ，∴数列 an 1 是以 6为首项，3为公比的等比数列；..................................6分n
（2）由（1）知： an 1 6 3
n 1
，整理得 an 2 3
n 1，...............................................7分
因为 f (x) a1x a
2
2 x a x
n n 1
n ，所以 f (x) a1 2a2 x nan x ．............................8分
则 f (1) a1 2a2 nan，
记bn na
n
n 2n 3 n , f (1) b 1 b 2 bn ，
记Tn 2 3
1 4 32 2n 3n，
{#{QQABSYQQggCoABJAARhCAQUoCEKQkBEACKoOgAAMsAABQBNABAA=}#}
则3Tn 2 3
2 4 33 2n 3 n 1 ，....................................................9分
2T 2 31 2 32 2 33 2 3n n 1两式相减，得： n 2n 3
6 1 3n
2n 3n 1 (1 2n) 3n 1 3 ，....................................................10分
1 3
T (2n 1) 3
n 1 3 1 2 n n(n 1)所以 n ，又 ，2 2
n 1
所以 f (1) (2n 1) 3 3 n(n 1) ．...................................................12分
2 2
2 2
21 x y【详解】（1）解：因为椭圆 E : 2 2 1 a b 0 的两个焦点与短轴的一个端点是直角a b
三角形的三个顶点，
2
则这个直角三角形为等腰直角三角形，腰长为 a，斜边长为2c，则 a2 a2 2c ，可得
a2 2c2，
x2 y2
所以，b a2 c2 c，所以，椭圆 E的方程可表示为 2 2 1，............2分2c c
4 1
将点T的坐标代入椭圆 E的方程可得 2 1，解得 c 3，2c c2
x2 y2
故椭圆 E的标准方程为 1 .....................................................4分
6 3
y x m
（2）解：设点 A x1, y1 、B x2 , y2 ，联立 2 2 可得3x2 4mx 2m2 6 0，.....5分
x 2y 6
16m2 12 2m2 6 72 8m2 0 ，解得 3 m 3，显然m 1，否则直线 l过点T，
4m 2m2 6
由韦达定理可得 x1 x2 ， x1x2 ，.........................................7分3 3
k k y1 1 y2 1 x1 m 1 x2 m 1 m 1 m 1所以， 1 2 2 x1 2 x2 2 x1 2 x 2 x 2 x 2
..............8分
2 1 2
{#{QQABSYQQggCoABJAARhCAQUoCEKQkBEACKoOgAAMsAABQBNABAA=}#}
m 1 x x 4 m 1 x x 4 m 1
4m 4
2 1 2 2 1 2 2 3
x1 2 x2 2 x1x2 2 x1 x2 4 2m2 6 8m 4
3 3
4 m 1 m 3
2 2 2 0
2 m2 4m ， 3
因此， k1 k2 0 ...............................12分
22 2．【详解】（1）由题意，设点 P x, y 为椭圆C上任意一点，F c,0 ，则 PF x c y2 ，
点 P到直线 l的距离为 2 x ， ..............1分
x c 2 y 2 2 x2 2y2 4 4c x 4 2c2 ，化简整理得 ，.............2分
2 x 2
2 2
又点 P x, y x y满足 1，即b2x2 a2 y2 a2b22 2 ，a b
4 4c 0，解得 c 1， a2 2， b2 1，
x2
所以椭圆C的方程为 y2 1 .......................4分
2
x
（2）先来证明过椭圆上任意一点 P x ,y 的切线方程为 0x y0 y0 0 2 2 1 .a b
当过点P x ,y0 0 切线的斜率不存在时， y0 0即切线为 x a或 x a，满足上式；......5分
x2 y2
当切线斜率存在时，设过点P x ,y y kx m0 0 切线方程为 ，代入椭圆方程 2 2 1，a b
a2k 2 b2 x2 2a2kmx a2整理得 m2 b2 0， 2a2km 2 4 a2k 2 b2 a2 m2 b2 0，
解得m2 a2k 2 b2，
2a2km a2k a2x y kx m k
2
m b
2
0 2 a2k 2 b2 m ， 0 0 ，m m
2 2 2
m b ， k
mx0 b x b x 2
0
2 ，所以切线方程为 y y
0 x x ，整理得
y0 a a y
0 a2 y 00 0
x0x y y x2
2
0 0 y
2 2 2
0
2 1，a b a b
x x y y
所以过椭圆上任意一点过点P x ,y0 0 切线的切线方程为 0 02 2 1 ..............6.分a b
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x0x 1 x 1 x ①在切线方程 y0 y 1中，令 x 2，解得 y
0
y ，所以点T的坐标为
2, 0 ，又
2 0 y0
F 1,0 ，
x 1
PF 1 x0 , y0 ，TF 1, 0 ，
y
0
PF TF 1 x y x 0 10 0 0y ，0
PF TF ...............8分
2
2
② PT x 2 2 1 x0
x0 2
y0 0y
，又 y 1，
0 2
0
x 2 2 4 x2 d 2 2 PT 0 0 ，又点O到切线 PT 的距离为 2 2 4 2 ，..........9分4 2x2 x0 4y0 0 x 0
2 x 2S 1 2 POT PT d 0 ， 2 x0 2，2 2 2 x20
令m 2 x0， 2 2 m 2 2 ，
2 m2S 2 1 POT 2 2 m 4m 2 2 2 4 ，.............10分
m2
1
m
n 1 1 2令 ， n 1 2 ，令 y 2n2 4n 1，对称轴为 n 1，m 2 2
由二次函数单调性可得当 n 1时， y 2n2 4n 1取得最大值 1，
即m 1 2 4 2时， 2 1取得最大值 1， S POT 最小值为 .m m 2
2
所以当 x0 1时， POT 的面积取得最小值 ................................12分
2
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第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线 y 2x2的焦点坐标为（ ）
A． 0,
1 1
B． ,0 C． 0,
1 1 ,0 D．
2 2 8 8
f (x) f 1 Δx f 12 ．设函数 在 x 1处存在导数为3，则 lim （ ）
Δx 0 3Δx
A．1 B．3 C．6 D．9
3．如图，空间四边形OABC中，OA a，OB b，OC c ，点M 在OA上，且OM 2MA，点
N为 BC中点，则MN （ ）
1 2 1 2 1
A． a b c B． a b
1 c 1 a 1 b 1 C． c
2
D． a
2
b 1 c
2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3 2
2 2 5
4 x y．与椭圆 1有公共焦点，且离心率 e 的双曲线的方程为（ ）
49 24 4
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 2A y． 1 B． 1 C． 1 D． 1
49 24 24 49 9 16 16 9
5．已知函数 y xf (x)的图象如图所示（其中 f (x)是函数 f (x)的导函数），则下面四个图象
中， y f x 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．若数列 an 满足 a1 1 n， an 1 an 2 ，则 a10 （ ）
A．511 B．1023 C．1025 D．2047
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7 x
2 y2
．在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 E： 2 2 1 a 0,b 0 的右焦点为 F ，过 Fa b
作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M ，直线MF与另一渐近线交于点 N，若M 是 FN的
中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． 2 B．2 C． 3 D．3
8 eax．若 ln x
ln x
a恒成立，则实数 a的取值范围为（ ） a
x
1
A． ,
B． 1, C． e, e D． e,
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9．下列求导运算正确的是（ ）
(x 1) 1 1 (lg x) 1A． 2 B． C． (kx b) k 1 (tan x)
1
D．
x x x cos2 x
10 x
2
．设椭圆C : y2 1的左、右焦点分别为F1， F2， P是椭圆C上的动点，则下列结论2
中正确的有（ ）
A 3．离心率 e B． PF1 PF2 2 22
C．△PF1F2面积的最大值为1
D．直线 x y 2 0与以线段 F1F2为直径的圆相切
11．已知数列 an 的前 n项和为 Sn，若 a1 20,an 1 an 4 n N ，则（ ）
A．4是数列 an 中的项 B．当 Sn最大时， n的值只能取 5
S
C．数列 n 是等差数列 D．当 Sn 0时， n的最大值为 11
n
12．如图，棱长为 6的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点M 、N满足 AM AC1，CN CD，
其中 、 0,1 ，点 P是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）
1
A．当 时，DM ∥平面CB
3 1
D1
1B．当 时，若 B1P∥平面 A2 1
NC1，则 B1P 的最大值为3 5
C．当 λ μ
1
时，若PM D1N ，则点 P的轨迹长度为12 6 52
D．过 A、M 、 N三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形
答案第 2页，共 6页
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三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13．已知函数 f x lnx x2 1，则 f x 在 x 1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积
为 ．
14．已知点 P 1,2,1 ，直线 l过点 A 1,1,1 ，且 l的一个方向向量为 l 0,1, 1 ,则点 P到直
线 l的距离为 .
15．直线 l过点M 2,1 且与椭圆 x2 4y2 16相交于A， B两点，若点M 为弦 AB的中点，
则直线 l的斜率为 ．
16．如图，有一列曲线 P0，P1，P2，…已知 P0所围成的图形是面积为 1的等边三角形，Pk 1
是对 Pk进行如下操作得到：将 Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等
边三角形，再将中间部分的线段去掉（ k 0，1，2，…）。记 Sn为曲线 Pn所围成图形的面
积。则数列 Sn 的通项公式
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
17．已知 ABC的三个顶点分别为 A 2,0 ，B 2,4 ，C 4,2 ，直线 l经过点D 1,4 ．
(1)求 ABC外接圆M 的方程；
(2)若直线 l与圆M 相交于P,Q两点，且 PQ 2 3，求直线 l的方程．
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1
18 2．设函数 f (x) = x +1- lnx .2
(1)求 f (x)的单调区间;
(2)求函数 g(x) f (x) 2x
1
在区间 ,3 上的最大值和最小值. 2
19 2．如图，四边形 ABCD是平行四边形，且 AD DC AC ，四边形 ACEF是矩形，平
2
面 ACEF 平面 ABCD，且 AF AD .
(1)求证： AD 平面 EDC；
(2)求平面 BEF与平面CDE所成夹角的余弦值.
答案第 4页，共 6页
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20．已知数列 a *n 的首项a1 5，前 n项和为 Sn，且 Sn 1 3Sn 2n 5 n N ．
(1)证明：数列 an 1 是等比数列；
(2)令 f (x) a1x a2 x
2 a xnn ，求函数 f (x)在 x 1处的导数 f (1)．
2 2
21 x y．已知椭圆 E : 2 2 1 a b 0 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶a b
点，且椭圆 E过T 2,1 ，直线 l : y x m与椭圆 E交于A、 B .
(1)求椭圆 E的标准方程；
(2)设直线TA、TB的斜率分别为 k1、 k2，证明： k1 k2 0 .
2 2
22 x y．已知椭圆C : 2 2 1(a b 0) 的右焦点为 F ，点 P为椭圆上一动点，且 P到 F 的距a b
2
离与到直线 l : x 2的距离之比总是 .
2
(1)求椭圆C的方程；
(2)过 P做椭圆C的切线，交直线 l于点T .
①求证： PF TF；
②求三角形 POT面积的最小值.
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草稿纸
答案第 6页，共 6页
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