西安市雁塔区第二中学 2023-2024 学年第一学期
第二次阶段性测评（高二年级数学）答案
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。）
1 2 3 4 5 6 7 8
C D C A D C C B
二、选择题（本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分。）
9 10 11 12
BCD AB AD BCD
三、填空题（本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分。）
8
13. x2 8y 14.
3
y 3 x 5 , y 7 2515. x , x 1 16.9
4 4 24 24
四、解答题(本大题共 6小题，共 70分。）
17.（本题满分 10分）
（1）设 an 的公差为d．
由 S9 a5得 a1 4d 0．
由a3=4得 a1 2d 4．
于是 a1 8,d 2．
因此 an 的通项公式为 an 10 2n．……………………………………5分
（2）由（1 a n(n 9)d）得 1 4d，故 an (n 5)d ,Sn .2
由 a1 0知d 0，故 Sn a 等价于n
2
n 11n 10 0，解得1≤n≤10．
所以 n的取值范围是{n |1 n 10,n N }．………………………………… 10 分
18.（本题满分 12分）
（1）由已知得 sinAsinB+sinBsinC+1-2sin2B=1.故 sinAsinB+sinBsinC=2sin2B
因为 sinB 不为 0，所以 sinA+sinC=2sinB 再由正弦定理得 a+c=2b,所以 a，b，c
{#{QQABYYSUogCgABAAABgCEQFICECQkAAAAKoORAAIsAABgQNABAA=}#}
成等差数列 ……………………………………6分
（2）由余弦定理知 c2 a2 b2 2ac cosC得 (2b a)2 a2 b2 2accos 2 化简得
3
a 3
……………………………………12 分
b 5
19.（本题满分 12分）
（1）连结 B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
1
所以ME∥B1C，且ME= B2 1
C．
又因为N为A1D的中点，
1
所以ND= A1D．2
由题设知A1B1 DC，可得B1C A1D，故ME ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．
又MN 平面EDC1，
所以MN∥平面C1DE．……………………………………6分
（2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
D xyz，则
A(2,0,0) ， A1(2 ， 0 ， 4) ， M (1, 3, 2) ， N(1,0,2) ， A1A (0,0, 4) ，
A1M ( 1, 3, 2)， A1N ( 1,0, 2)，MN (0, 3,0)．
{#{QQABYYSUogCgABAAABgCEQFICECQkAAAAKoORAAIsAABgQNABAA=}#}
m AM 0
设m (x, y, z)
为平面A1MA
1
的法向量，则 ，
m A1A 0
x 3y 2z 0，
所以 可取m ( 3,1,0)．
4z 0．
n MN 0，
设n (p,q, r)为平面A1MN的法向量，则
n A1N 0．
3q 0，
所以 可取n (2,0, 1)．
p 2r 0．
于是 cos m,n
m n 2 3 15
，
|m‖n | 2 5 5
10
所以二面角 A MA1 N 的正弦值为 ．…………………………12分
5
19.（本题满分 12分）
2
（1） ,e,
4 2 2 4 8 2 2
3 3成等比数列， e ,e .3 3 9 3
…………………………2分
c 2 2,a 3 b2又 1
…………………………4分
2
故椭圆的标准方程为 x2
y
1.
9
…………………………6分
（2）设点P的坐标为 (x, y),
PF1 ( x, 2 2 y),PF2 ( x, 2 2 y),
PF1 PF x
2
2 y
2 8.
…………………………8分
{#{QQABYYSUogCgABAAABgCEQFICECQkAAAAKoORAAIsAABgQNABAA=}#}
y2
因为P为椭圆上一点，由（1）知， x2 1,
9
2
x2 y 1 , PF1 PF2 x
2 y 2 8 8 y 2 7.
9 9
…………………………10 分
故当 y 3时， PF1 PF2 取得最大值 1.
…………………………12 分
21.（本题满分 12 分）
（1）由题设，可知直线 l的方程为 y kx 1
因为 l与C | 2k 3 1|交于两点，所以 1
1 k 2
4 7 k 4 7解得
3 3
所以 k (4 7 , 4 7的取值范围为 )……………………………5分
3 3
（2）设M (x1, y1),N (x2 , y2 )
将 y kx 1代入方程 (x 2)2 (y 3)2 1，整理得
(1 k 2)x2 4(1 k)x 7 0
4(1 k)
所以 x1 x2 2 ,x x
7
1 2 …………………………………7分1 k 1 k 2
OM ON x1x2 y1y2
(1 k 2)x1x2 k(x1 x2) 1
4k(1 k)
1 k 2
8
4k(1 k)
由题设可得 2 8 12，解得 k 1，所以 l的方程为 y x 11 k
故圆心C在 l上，所以 |MN | 2…………………………………12 分
22.（本题满分 12 分）
{#{QQABYYSUogCgABAAABgCEQFICECQkAAAAKoORAAIsAABgQNABAA=}#}
设直线 l : y
3
x t, A x1, y1 ,B x2 , y2 ．2
3 3 5
（1）由题设得 F ,0 ，故 | AF | | BF | x
4 1
x2 ，由题设可得 x1 x2 ．2 2
y 3 x t 12(t 1)
由 2 ，可得9x2 12(t 1)x 4t 2 0 ，则 x1 x2 ．
2 9 y 3x
12(t 1) 5 7
从而 ，得 t ．
9 2 8
3 7
所以 l的方程为 y x ．……………………………………6分
2 8
（2）由 AP 3PB可得 y1 3y2．
3
y x t
由 2 ，可得 y2 2y 2t 0．
y
2 3x
所以 y1 y2 2．从而 3y2 y2 2，故 y2 1, y1 3．
代入C的方程得 x1 3, x
1
2 ．3
故 | AB | 4 13 ．……………………………………12 分
3
{#{QQABYYSUogCgABAAABgCEQFICECQkAAAAKoORAAIsAABgQNABAA=}#}西安市雁塔区第二中学 2023-2024 学年第一学期
第二次阶段性测评高二年级数学试题
班级： 姓名：
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1.在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为 C1D1 的中点， F 为 BB1 的中点，
AE a,AF b,AD c,则 AA1
4 3 4
A． a b c B． a b 4 c
3 2 3 3
4 2 4 a b c a 3 4
C． D． b c
3 3 3 2 3
2.已知直线 l1 : 2x y 1 0, l2 : x ay 1 0, 且 l1 l2 ,点P(1,2)到直线 l2 的距离 d
5 2 5 3 5 4 5
A. B. C. D.
5 5 5 5
1
3.等差数列{an}中，已知 a1 ， a2 a5 4， an 33，则 n为3
A.48 B.49 C.50 D.51
2 2
4.已知椭圆 E : x y2 2 1(a b 0)的右焦点为 F (3,0),过点 F的直线交椭圆于 A,B两a b
点，若 AB的中点坐标为 (1, 1),则椭圆 E的方程为
x2 y2 2 2 2 2 2 2
A． 1 x y x y x yB． 1 C． 1 D． 1
18 9 45 36 27 18 36 27
5.已知数列{an}满足 a0 1,an a0 a1 a2 an 1(n 1) ，则当 n 1时， an
2n n(n 1)A. B. C. 2n 1 D. 2n 1
2
6.已知抛物线 y2 2px(p 0)的焦点为 F ，点 P1(x1, y1),P2 (x2 , y2 ),P3(x3 , y3)在抛物线上，
且 | P1F |,| P2F |,| P3F |成等差数列， 则有
A. x1 x2 x3 B. y1 y2 y3 C. x1 x3 2x2 D. y1 y3 2y2
2 2
7.设 F1,F
x y
2 是双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点，O是坐标原点。过 F2作C的a b
一条渐近线的垂线，垂足为P.若 | PF1 | 6 |OP |,则C的离心率为
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A. 5 B.2 C. 3 D. 2
8.已知点 A( 1,0),B(1,0),若过 A,B两点的动抛物线的准线始终与圆 x2 y2 8相切，该抛
物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对得 5分，部分选对得 2分，有选错的得 0 分）
9.已知空间向量 a (2, 1,5),b ( 4,2, x),则下列选项正确的为
A.若 a/ /b,则 x 10 B. 若 a b,则 x 2
C.若 x 3,则 | a b | 3 D.若 x 0,则 cos a,b 6
6
10.等差数列{an}的前 n项和记为 Sn ,若 a1 0,S7 S17 ,则
A. d 0 B. a12 0
C. Sn S13 D.当且仅当 Sn 0时， n 26
11．直线 l过点 P(1, 2)且与直线 x ay 3 0平行。若直线 l被圆 x2 y2 4截得的弦长为
2 3,则实数 a的值可以是
0 3 4 4A. B. C. D.
4 3 3
12.已知O为坐标原点，点 A(1,1)在抛物线C : x2 2py(p 0)上，过点B(0, 1)的直线交
C于 P,Q两点，则
A.C的准线为 y 1 B.直线 AB与C相切
C. |OP | |OQ | |OA 2 D. | BP | | BQ | | BA |2
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题（本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案写在横线上）
13.顶点在原点，焦点在 y轴上，且过点 P(4, 2)的抛物线方程是 。
14.已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，则三棱锥 A B1CD1 的体积为______
_______。
15. 写 出 与 圆 x2 y2 1 和 (x 3)2 ( y 4)2 16 都 相 切 的 一 条 直 线 的 方 程
_____________。
16.在我国古代数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐
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去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，
日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢。问：良马与驽马 日相逢？
四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17.（10 分）记 Sn为等差数列{an}的前 n项和，已知 S9 a5 .
（1）若 a3 4,求{an}的通项公式；
（2）若 a1 0,求使得 Sn an 的 n的取值范围。
18.（12 分）在 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知
sin Asin B sin B sinC cos 2B 1.
（1）求证： a,b,c成等差数列；
2 a
（2）若C ,求 的值。
3 b
19.（12 分）如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA1 4,AB 2, BAD 60
,
E,M ,N 分别是 BC,BB1, A1D的中点。
（1）证明：MN / /平面C1DE;；
（2）求二面角 A MA1 N的正弦值。
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20.（12分）已知椭圆的焦点为 F1(0, 2 2),F2 (0, 2 2),离心率为 e,
2
已知 ,e, 4 成等比数
3 3
列。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知 P为椭圆上一点，求 PF1 PF2 的最大值。
21.（12 分）已知过点 A(0,1)且斜率为 k的直线 l与圆C : (x 2)2 (y 3)2 1交于M ,N两
点。
（1）求 k的取值范围；
（2）若OM ON 12,其中O为坐标原点，求 |MN |。
22.（12 分）已知抛物线C : y2 3 3x的焦点为F ，斜率为 的直线 l与C的交点为 A,B，
2
与 x轴的交点为P。
（1）若 | AF | | BF | 4,求 l的方程；
（2）若 AP 3PB,求 | AB |。
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