湘教版2023-2024学年度上学期九年级期末模拟数学试题5（含解析）

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湘教版2023-2024九年级上期末模拟试题5
考试范围：九上-九下第一章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
九（1）班30名同学在一次测试中，某道题目的得分情况如表：
得分/分 0 1 2 3 4
人数 1 3 4 14 8
则这道题目得分的众数和中位数分别是（　　）
A．8，3 B．8，2 C．3，3 D．3，2
如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）
A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
如图，小明利用一个锐角是的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离为，为（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
A． B． C． D．
图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若．，则的值为（ ）
A． B． C． D．
已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象分别与x轴、y轴交于A．B两点，且与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为（2，0），，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A．D两点，则k的值是（ ）
A． B．4 C． D．6
如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（　　）

A．54 B．52 C．50 D．48
已知抛物线y=-x2+x+6与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,若点D是AB的中点，则CD的长是（ ）
A． B． C． D．
二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… …
且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s=0.2，s=0.5，则设两人中成绩更稳定的是______（填“甲”或“乙”）
如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米．
二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是　 　．
如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y＝（k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2，则k＝　 　．
四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=　 　．
如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________．
1 、解答题（本大题共8小题，共78分）
计算：．
为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中．现有A．B两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿．检察人员从两家分别抽取100个鸡腿，然后再从中随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：克）如表：
A加工厂 74 75 75 75 73 77 78 72 76 75
B加工厂 78 74 78 73 74 75 74 74 75 75
（1）根据表中数据，求A加工厂的10个鸡腿质量的中位数、众数、平均数；
（2）估计B加工厂这100个鸡腿中，质量为75克的鸡腿有多少个？
（3）根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？
如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB=45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：=1.414，=1.732）
如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC＝4（点C在A的上方），
②连接OC，交⊙O于点D，
③连接BD，与AC交于点E．
（1）求证：DB为⊙O的切线，
（2）求AE的长度．
传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
y=
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）
如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAP的面积．
若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．
抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．
（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．
答案解析
1 、选择题
【考点】根的判别式．
【分析】先计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式得结论．
解：∵Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣1）
＝4a2﹣4a2+4
＝4＞0．
∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“根的判别式与方程的解的关系”是解决本题的关键．
【考点】众数，中位数．
【分析】根据众数、中位数的定义进行解答即可．
解：这30名学生测试成绩出现次数最多的是3分，共出现14次，因此学生测试成绩的众数是3，
将这30名学生测试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是3分，因此中位数是3，
故选：C．
【点评】本题考查中位数、众数，理解众数、中位数的定义，掌握众数、中位数的计算方法是解决问题的前提．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．2-1-c-n-j-y
解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）=570，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出ED的长，由CE＝CD＋DE即可得出结论．
解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝15m，AB＝1.5m，
∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，
在Rt△AED中，
∵∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴ED＝AD tan30°＝15×＝5，
∴CE＝CD＋DE＝．
故选：D．
【点评】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键，属于基本知识的考查．
【考点】勾股定理，锐角三角函数
【分析】根据勾股定理和三角函数求解．
解：∵在中，，
∴
在中，，
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
【考点】二次函数的性质；三角形三边关系．
【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=x2+1于点P，由PF=PE结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF周长取最小值，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，进而得出△PMF周长的最小值．
解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，
∵F（0，2）、M（，3），
∴ME=3，FM==2，
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及三角形三边关系，根据三角形的三边关系确定点P的位置是解题的关键．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】代入A点到一次函数中，得出一次函数解析式，再求出B点坐标，连接CO，根据＝，以及△COA和△AOB等高，所以S△COA：S△AOB＝1：2，又因为两个三角形共用一条边OA，作CH⊥OA，得到CH：OB＝1：2，求出CH长度，即C点纵坐标，代入一次函数中求出C点坐标，再求出k值．
解：连接CO，作CH⊥OA交坐标轴于H点（如图），
∵A点在一次函数图象中，代入得到b＝，
∴一次函数解析式：y＝，
∵B点横坐标为0，
∴代入得到纵坐标为，OB＝，
∵△COA和△AOB等高，且，
∴S△COA：S△AOB＝1：2，
又∵△COA和△AOB共用一条边OA，
∴CH：OB＝1：2，
∴CH＝＝，
∴将C的纵坐标代入一次函数中，得到横坐标为3，
∴C点坐标（3，），
∴k＝3×＝，
故选：C．
【点评】本题考查学生反比例函数一次函数的综合运用，属于重难点题型．
【考点】三角形中位线定理，切线的性质，平行线分线段成比例定理
【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN最小值为OP﹣OF＝，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值＝+1＝，由此不难解决问题．
解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC
∵点O是AB的三等分点，
∴OB＝×5＝，＝＝，
∴OP＝，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴＝＝，
∴OD＝1，
∴MN最小值为OP﹣OF＝﹣1＝，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝+1＝，
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点MN取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
【考点】反比例函数综合题
【分析】作交BD的延长线于点E，作轴于点F，计算出AE长度，证明，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用，可计算出值．
解：作交BD的延长线于点E，作轴于点F
∵
∴
∴为等腰直角三角形
∵
∴，即
∴DE=AE=
∵BC=AO，且，
∴
∴
∴
∴
设点A，
∴
解得：
∴
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据勾股定理求出AB＝25，再分别求出0≤x≤15和15＜x≤35时的PD，AD的长，再用三角形的面积公式写出y与x的函数解析式即可．
解∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，
∴AB＝＝＝25，
①当0≤x≤15时，点P在AC边上，如图所示，
此时AD＝x，
∵ED⊥AB，
∴∠DEA＝90°＝∠C，
∵∠CAB＝∠EAD，
∴△CAB∽△EAD，
∴＝＝，
∴AE＝＝，
DE＝＝，
BE＝25﹣，
∴y＝BE DE＝×（25﹣）×＝10x﹣，
当x＝10时，y＝76，
∴a＝76，
②当15＜x≤35时，点P在BC边上，如图所示，
此时BP＝35﹣x，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°＝∠C，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴△DBE∽△ABC，
∴，
∴BE＝＝＝28﹣，
DE＝＝＝21﹣，
∴y＝DE BE＝×（28﹣）×（21﹣）＝（14﹣）（21﹣），
当x＝25时，y＝24，
∴b＝24，
∴a﹣b＝76﹣24＝52，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握．
【考点】抛物线与x轴的交点
【分析】首先求出抛物线与x轴的交点A．B，与y轴的交点C，接着求出AB的中点D，在Rt△COD中用勾股定理求出CD
解：令y=0，则-x2+x+6=0，
解得：x1=12，x2=-3
∴A．B两点坐标分别为（12，0）（-3，0）
∵D为AB的中点，
∴D（4.5，0），
∴OD=4.5，
当x=0时，y=6，
∴OC=6，
∴CD==．
故选D．
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出AB中点D的坐标是解决问题的关键．
【考点】二次函数的综合题
【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解．
解：∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2
∴抛物线的对称轴是：x=-=；
∴a、b异号，且b=-a；
∵当x=0时y=c=-2
∴c
∴abc0，故①正确；
∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t
∴和3是关于的方程的两个根；故②正确；
∵b=-a，c=-2
∴二次函数解析式：
∵当时，与其对应的函数值．
∴，∴a；
∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，
∴m=n=2a-2，
∴m+n=4a-4；故③错误
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．
1 、填空题
【考点】方差
【分析】由方差反映了一组数据的波动情况，方差越小，则数据的波动越小，成绩越稳定可以作出判断．
解：∵S甲2=0.2，S乙2=0.5，
则S甲2＜S乙2，
可见较稳定的是甲．
故答案为：甲．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
解：设道路的宽为x m，根据题意得：
（10﹣x）（15﹣x）＝126，
解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），
则道路的宽应为1米；
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
【考点】二次函数的最值
【分析】直接利用配方法得出二次函数的顶点式进而得出答案．
解：y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，
即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值，正确配方是解题关键．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理，等腰直角三角形．
【分析】如图，过点A作AE⊥BC于E，根据直角三角形斜边中线的性质可得AE＝，得点A和C的坐标，根据中点坐标公式可得点D的坐标，从而得结论．
解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，
∴CE＝BE，
∴AE＝BC＝，
∴A（0，），C（﹣，2），
∵D是AC的中点，
∴D（﹣，），
∴k＝﹣×＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【考点】勾股定理、锐角三角函数的定义
【分析】作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可．
解：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，
∵tan∠ABD=，
∴=，
设AH=3x，则BH=4x，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，
解得，x=4，
则AH=12，BH=16，
在Rt△AHD中，HD==5，
∴BD=BH+HD=21，
∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠CBH，
∴=，又BC=10，
∴BG=6，CG=8，
∴DG=BD﹣BG=15，
∴CD==17，
故答案为：17．
【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握解直角三角形的一般步骤、理解锐角三角函数的定义是解题的关键．
【考点】正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质
【分析】先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得BF垂直平分AG，再根据, △ABM∽△ADN求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE的长
解：在正方形中，∠BAD=∠D =，
∴∠BAM+∠FAM=
在Rt△ADE，
∵由折叠的性质可得
∴AB=BG，∠FBA=∠FBG
∴BF垂直平分AG，
∴AM=MG，∠AMB=
∴∠BAM+∠ABM=
∴∠ABM=∠FAM
∴△ABM∽△ADN
∴ ，
∴
∴AM=,
∴AG=
∴GE=5-
【点评】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键
1 、解答题
【考点】实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
解：原式＝9+1﹣10
＝0．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
【考点】方差，平均数，中位数，众数
【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的计算公式分别进行解答即可；
（2）用总数乘以质量为75克的鸡腿所占的百分比即可；
（3）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
解：（1）把这些数从小到大排列，最中间的数是第5和第6个数的平均数，
则中位数是（克；
因为75出现了4次，出现的次数最多，
所以众数是75克；
平均数是：（克；
（2）根据题意得：
（个，
答：质量为75克的鸡腿有30个；
（3）选加工厂的鸡腿．
、平均值一样，的方差比的方差小，更稳定，
选加工厂的鸡腿．
【点评】本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉计算公式和意义是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】在Rt△ABC、Rt△DBC中，利用锐角三角函数分别计算DB、AB，然后计算DH的长，根据DH与3的关系，得结论．
解：由题意知，AH=10米，BC=10米，
在Rt△ABC中，∵∠CAB=45°，
∴AB=BC=10米
在Rt△DBC中，∵∠CDB=30°，
∴DB==10（米）
∵DH=AH﹣DA
=AH﹣（DB﹣AB）
=10﹣10+10
=20﹣10
≈2.7（米）
∴建筑物需要拆除．
【点评】本题考查了锐角三角函数的应用，难度不大．利用线段的和差关系和锐角三角函数，是解决本题的关键．
【考点】作图—应用与设计作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的判定与性质．
【分析】（1）根据“经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线”，进行证明，
（2）根据三角形相似的性质求解．
解：如图：
（1）∵AC是圆的切线，
∴∠OAC＝90°，
∴AC＝5，
由题意得：OD＝AO＝3，OB＝OC＝5，∠AOC＝∠DOB，
∴△AOC≌△DOB（SAS），
∴∠ODB＝∠OAC＝90°，
∵OD是圆的半径，
∴DB为⊙O的切线，
（2）∵∠CDE＝∠CAO＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAO，
∴，
即：，
解得：CE＝2.5，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣2.5＝1.5．
【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）把y=280代入y=20x+80，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；
解：（1）设李明第x天生产的粽子数量为280只，
由题意可知：20x+80=280，
解得x=10．
答：第10天生产的粽子数量为420只．
（2）由图象得，当0≤x＜10时，p=2；
当10≤x≤20时，设P=kx+b，
把点（10，2），（20，3）代入得，，
解得，
∴p=0.1x+1，
①0≤x≤6时，w=（4﹣2）×34x=68x，当x=6时，w最大=408（元）；
②6＜x≤10时，w=（4﹣2）×（20x+80）=40x+160，
∵x是整数，
∴当x=10时，w最大=560（元）；
③10＜x≤20时，w=（4﹣0.1x﹣1）×（20x+80）=﹣2x2+52x+240，
∵a=﹣2＜0，
∴当x=﹣=13时，w最大=578（元）；
综上，当x=13时，w有最大值，最大值为578．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）将点A的坐标代入解析式求解可得；
（2）利用勾股定理求得AB=OA=5，由AB∥x轴即可得点B的坐标；
（3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得．
解：（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，
则反比例函数解析式为y=；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC=4、AC=3，
∴OA==5，
∵AB∥x轴，且AB=OA=5，
∴点B的坐标为（9，3）；
（3）∵点B坐标为（9，3），
∴OB所在直线解析式为y=x，
由可得点P坐标为（6，2），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，
则点E坐标为（6，3），
∴AE=2、PE=1、PD=2，
则△OAP的面积=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=5．
【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及求直线、双曲线交点的坐标和割补法求三角形的面积．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2=BC AC、BC2=AB AC、AC2=AB BC三种情况分别代入计算可得；
（2）先证△ABC∽△DCA得CA2=BC AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；
（3）作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再证△ABH∽△DBC得AB BC=BH DB，即AB BC=BD2，结合AB BC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案．
解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，
①当AB2=BC AC时，得：4=3AC，解得：AC=；
②当BC2=AB AC时，得：9=2AC，解得：AC=；
③当AC2=AB BC时，得：AC=6，解得：AC=（负值舍去）；
所以当AC=或或时，△ABC是比例三角形；
（2）∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
又∵∠BAC=∠ADC，
∴△ABC∽△DCA，
∴=，即CA2=BC AD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∴CA2=BC AB，
∴△ABC是比例三角形；
（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，
∵AB=AD，
∴BH=BD，
∵AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠BHA=∠BCD=90°，
又∵∠ABH=∠DBC，
∴△ABH∽△DBC，
∴=，即AB BC=BH DB，
∴AB BC=BD2，
又∵AB BC=AC2，
∴BD2=AC2，
∴=．
【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由tan∠ABC=4，可以假设B（m，0），则A（m﹣2，0），C（0，4m），可得抛物线的解析式为y=4（x﹣m）（x﹣m+2），把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），求出m的值即可解决问题；
（2）设P（m，4m2﹣16m+12）．作PH∥OC交BC于H，根据S△PBC=S△PHC+S△PHB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题；
（3）不存在．假设存在，由题意由题意可知，且1＜﹣＜2，首先求出整数a的值，代入不等式组，解不等式组即可解决问题．
解：（1）∵tan∠ABC=4
∴可以假设B（m，0），则A（m﹣2，0），C（0，4m），
∴可以假设抛物线的解析式为y=4（x﹣m）（x﹣m+2），
把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），得m=3，
∴抛物线的解析式为y=4（x﹣3）（x﹣1），
∴y=4x2﹣16x+12，
（2）如图，设D（m，4m2﹣16m+12）．作DH∥OC交BC于H．
∵B（3，0），C（0，12），
∴直线BC的解析式为y=﹣4x+12，
∴H（m，﹣4m+12），
∴S△DBC=S△DHC+S△DHB= （﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12） 3=﹣6（m﹣）2+，
∵﹣6＜0，
∴m=时，△DBC面积最大，
此时D（，﹣3）．
（3）不存在．
理由：假设存在．由题意可知，
且1＜﹣＜2，
∴4＜a＜8，
∵a是整数，
∴a=5 或6或7，
当a=5时，代入不等式组，不等式组无解．
当a=6时，代入不等式组，不等式组无解．
当a=7时，代入不等式组，不等式组无解．
综上所述，不存在整数a、b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积，不等式组等整数，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，学会利用不等式组解决问题，属于中考压轴题．　
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