第3章图形的相似单元达标测试卷（含解析）2023-2024学年湘教版九年级数学上册

湘教版九年级数学上册第3章图形的相似单元达标测试卷
一、单选题
1．如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（　　）
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C． D．
2．若，则a=（　　）
A． B．1 C．2 D．3
3．下列各组图形中，一定是相似图形的是（　　）
A．两个等腰梯形 B．两个矩形
C．两个直角三角形 D．两个等边三角形
4．已知两个相似三角形的周长比为，若较大三角形的面积等于，则较小三角形的面积等于（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在 ABCD中，E是AB的中点 ，EC交BD于点F，那么SΔBEF：SΔBCF=（　　）
A．1：6 B．1：4 C．1：3 D．1：2
6．若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝6，AD＝3，则EC的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形周长为36cm，则较大多边形周长为(　　)
A．48cm B．54cm C．56cm D．64cm
8．如图，已知四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD 上的两点，且AD∥BC∥EF，AB=4BE，则DF与FC的关系是（　　）
A．DF=4FC B．DF=3FC C．DF= FC D．DF=2FC
9．在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（　　）
A． B． C．2倍 D．3倍
10．如图，在正方形ABCD中，H是对角线BD的中点，延长DC至E，使得DE=DB，连接BE，作DF⊥BE交BC于点G，交BE于点F，连接CH、FH，下列结论：（1）HC=HF；（2）DG=2EF；（3）BE·DF=2CD2；（4）S△BDE=4S△DFH；（5）HF∥DE，正确的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
11．如图，若点P是AB的黄金分割点，则线段AP，PB，AB满足关系式　 　，即AP是　 　与　 　的比例中项．
12．如图，Rt△ABC的边BC在x轴上，点D为斜边AB的中点，AC＝3，BC＝4，若反比例函数y＝ 的图象过点A、D，则k的值为 　 　.
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长　 　
14．综合实践课上，小慧用两张如图①所示的直角三角形纸片：∠A＝90°，AD＝2cm，AB＝3cm，斜边重合拼成四边形，接着在CB，CD上取点E，F，连AE，BF，使AE⊥BF.
（1）若拼成的四边形如图②所示，则的值为　 　；
（2）若拼成的四边形如图③所示，则的值为　 　.
三、解答题
15．即则称A为a，b的等差中项.如果按一定次序排列的三个数a，G，b满足即＝ab（a，b同号），则称G为a，b的等比中项.根据前面给出的概念，求和的等差中项和等比中项.
16．如图，矩形ABCD中，点E为AD上一点，∠BEC=90°，AB=2，DE=1，求BC的长.
17．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：CF2=GF EF．
18．要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为4，5，6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？请说明理由．
四、综合题
19．如图，已知 是 斜边 上的中线，过点 作 的平行线，过点 作 的垂线，两线相交于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积.
20．如图，在平行四边形 中， 为 上一点， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
21．在一次关于相似三角形的探究活动中，如图所示： ，老师让大家适当的添上辅助线，看看还能得到哪些相似三角形，小颖连接 、 ，且 、 相交于点 ，于是她得到了 .下面是她的证明过程的一部分，你能帮助她完成证明吗？
（1）证明：∵ ，
∴
∴　 　
又∵　 　
∴
（2）你还能得到图中哪些三角形是相似的？至少写出两对.
22．我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳.如图是小亮站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小亮的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直，已知装饰面的高度AD为0.66米.
（1）求证：；
（2）求装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到0.01米）.
23．如图，在Rt△ABC中， C=90°,AB=5cm,BC=3cm,D为边AB的中点.P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→A匀速运动，回到点A时停止运动，同时点Q
从点C出发，以1cm/s的速度沿C→B向终点B匀速运动，连结PQ、DP、DQ.设点P的运动时间为t（s).
（1）当点P沿A→C运动，且DP AB时，求t的值.
（2）当△CPQ与△ABC相似时，求t的值
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】∵∠DAE=∠CAB，
∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；
当 时，△ABC∽△AED．
故答案为：D．
【分析】因为∠A是公共角，所以由∠ADE＝∠C（或∠AED＝∠B）都可以根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△AED；当时，根据有两边的比相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可得△ABC∽△AED；当时，不能判断两个三角形相似。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ，
∴3（a-1）=2a，
∴a=3.
故答案为：D.
【分析】根据两内项之积等于两外项之积变为等积式，再去括号、移项、合并同类项即可得出a的值.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A：等腰梯形不一定是相似，不符合题意；
B：矩形不一定相似，不符合题意；
C：直角三角形不一定相似，不符合题意；
D：等边三角形一定相似，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据相似图形的定义即可求出答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：设较小三角形的面积等于，
由题意得：，
解得，
即较小三角形的面积等于，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BECD，
∴∠BEC=∠DCF，∠EBF=∠CDF，
∴△EBF∽△CDF，
∴，
△BEF和△BCF分别选择EF、CF为底，则高相同，
∴，
故答案为：D．
【分析】先证明△EBF∽△CDF，可得，再利用等高的三角形的面积关系可得。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ADE，
∴ ，
∵AB＝9，AC＝6，AD＝3，
∴AE=2，
即EC=AC-AE=6-2=4；
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的性质得，对应边的比相等，求出AE的长，EC=AC-AE，即可计算DE的长；
7．【答案】A
【解析】【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．
【解答】两个相似多边形的面积比是9：16，
面积比是周长比的平方，
则大多边形与小多边形的相似比是4：3．
相似多边形周长的比等于相似比，
因而设大多边形的周长为xcm，
则有=，
解得：x=48．
大多边形的周长为48cm．
故答案为A．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ AD∥BC∥EF，
∴，
又∵AB=4BE，
∴DC=4CF，
又∵DC=DF+FC，
∴DF=3FC。
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，，结合AB=4BE，可知DC=4FC，据此即可判断。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．
∵AB∥CD，
∴FO⊥CD，△AOB∽△DOC，
∴ = = = （相似三角形的对应高的比等于相似比），
∴CD= AB，
故选A．
【分析】如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．由△AOB∽△DOC，推出 = = = （相似三角形的对应高的比等于相似比），由此即可解决问题．
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵BD=DE，DF⊥BE，
∴EF=BF，
∵H是正方形ABCD对角线BD的中点，
∴CH=DH=BH= BD，
∴HF是△BDE的中位线，
∴HF= DE= BD=CH，HF//DE，故①⑤正确，
∵∠CBE+∠E=90°，∠FDE+∠E=90°，
∴∠CBE=∠FDE，
又∵CD=BC，∠DCG=∠BCE=90°，
∴△BCE≌△DCG，
∴DG=BE，
∵BE=2EF，
∴DG=2EF，故②正确，
∵∠CBE=∠FDE，∠E=∠E，
∴△BCE∽△DFE，
∴ ，即BE·DF=DE·BC，
∵BD2=CD2+BC2=2CD2
∴DE2=2CD2，
∴DE·BC≠2CD2，
∴BE·DF≠2CD2，故③错误，
∵DH= BD，
∴S△DFH= S△DFB，
∵BF= BE，
∴S△DFB= S△BDE，
∴S△DFH= S△BDE，即S△BDE=4S△DFH，故④正确，
综上所述：正确的结论有①②④⑤，共4个，
故答案为：B.
【分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得EF=BF，根据H是正方形对角线BD的中点可得CH=DH=BH，即可证明HF是△BDE的中位线，可得HF= DE，HF//DE；由BD=DE即可得HC=HF；利用直角三角形两锐角互余的关系可得∠CBE=∠CDG，利用ASA可证明△BCE≌△DCG，可得DG=BE，可判定DG=2EF，由正方形的性质可得BD2=2CD2，根据∠CBE=∠CDG，∠E是公共角可证明△BCE∽△DFE，即可得 ，即BE·DF=DE·BC，可对③进行判定，根据等底等高的三角形面积相等可对④进行判定，综上即可得答案.
11．【答案】；PB；AB
【解析】【解答】解：若点P是AB的黄金分割点，则线段AP，PB，AB满足关系式 ，即AP是PB与 AB的比例中项．
故答案为： ，PB、AB．
【分析】根据黄金分割的定义进行填空即可．
12．【答案】6
【解析】【解答】解：作DE⊥x轴于E，如图：
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴ ，
∴ ，
∵点D为斜边AB的中点，
∴E是BC的中点，即 ，
∴DE＝ AC＝ ，
设A(m，3)，则D(m+2， )，
∵反比例函数 的图象过点A、D，
∴k＝3m＝(m+2)× ，
∴m＝2，
∴k＝3m＝6，
故答案为：6.
【分析】作DE⊥x轴于E，利用DE∥AC，可证得△BDE∽△BAC，利用相似三角形的对应边成比例得出 ，利用线段中点的定义求出BE，DE的长；设A(m，3)，则D(m+2， )，利用反比例函数图象上的点的坐标特点建立关于m的方程，解方程求出m的值，然后求出k的值.
13．【答案】AD=4
【解析】【解答】
解：∵∠C＝∠ADE＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴
∴ ，
∴AD＝4．
【分析】先证明△ADE∽△ACB，可得，再将数据代入计算即可。
14．【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】解：（1）∵， ，
∴.
∵，
∴，
∴.
故答案为： ；
（2）如图，连接AC、BD，且交于点H，设AE、BD交于点G.
由题意四边形ABCD是由两个完全一样的三角形拼成，即A点和C点关于BD对称，
∴， .
∵在 中， ，
∴.
∵，
∴，即
解得： ，
∴.
∵， ，
∴.
∵， ， ，
∴，
即在 和 中， ，
∴，
∴.
故答案为： ， .
【分析】（1）证明 ，利用相似三角形的性质即可求解；
（2）连接AC、BD，且交于点H，设AE、BD交于点G，先求出BD、AH、AC，再证 ，可得 ，继而得解.
15．【答案】解：和的等差中项为，
和的等比中项为.
【解析】【分析】若a，b，c三个数按这个顺序排列成等差数列，那么b叫a，c的等差中项，且a， b， c满足b-a=c-b；一般地，如果一个数列的首项不为0，且从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列；根据等差数列和等比数列定义计算即可求解.
16．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=90°，DC=AB=2，AD∥BC，
∴∠BEC=∠D，
∵DE=1，
∴EC2=CD2+DE2=5，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ECB，
∴△DEC∽△ECB，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】先利用矩形性质得出∠D=90°，DC=AB=2，AD∥BC，然后进一步利用勾股定理得出EC2=CD2+DE2=5，最后证明△DEC∽△ECB，利用相似三角形性质进一步求解即可.
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴=，=，
∴=，
即CF2=GF EF．
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线分线段成比例定理得=，=，利用等量代换得到=，然后根据比例的性质即可得到结论．
18．【答案】解：设另一个三角形的两条边为x，y，
∵两个三角形是相似三角形，
则，
解得：，；
则，
解得：，；
则，
解得：，；
综上，当三角形的三边为：2，，；或2，，或2，，时，两个三角形是相似三角形.
【解析】【分析】根据题意设另一个三角形的两条边为x，y，结合相似三角形的对应边成比例即可列出相似比的等式，求解即可得出答案.
19．【答案】（1）证明：∵ 为 斜边上的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
（2）解：在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ 为 斜边上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ .
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=AB，根据等边对等角可得∠A=∠ACD，再由平行线的性质可得∠CDE=∠ACD=∠A，于是根据有两对角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△DEC；
（2）在直角三角形DCE中，用勾股定理可求得DE的长，根据S△DEC=CD.CE可求得三角形的面积；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD，由（1）知，△ABC∽△DEC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得,把AB、DE、S△DEC的值的代入计算即可求解。
20．【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴
（2）解：∵四边形 是平行四边形
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行得出AD∥BC，根据平行线的性质可得 ，从而可得 ，又 ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得出结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例建立方程，求解即可.
21．【答案】（1）；∠A=∠A，
（2）解：△DFB∽△EFC，△BFC∽△DFE．
理由：∵△ACD∽△ABE，
∴∠BDF=∠FEC，
∵∠DFB=∠EFC，
∴△DFB∽△EFC，
∴ ，
∴ ，
∵∠BFC=∠EFD，
∴△BFC∽△DFE
【解析】【解答】解：证明：∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADE
∴△ACB∽△ADE
∴
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABE
【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两个三角形相似证明即可；（2）相似三角形还有：△DFB∽△EFC，△BFC∽△DFE．
22．【答案】（1）解：由题意可知∠DCA=∠BEA=∠CAB=90°
∵∠CAD+∠BAE=∠EBA+∠BAE
∴∠CAD=∠ABE
∴
（2）解：由（1）可得
其中AE=
则CD=.
【解析】【分析】（1）利用已知可得到∠DCA=∠BEA=∠CAB=90°，利用同角的余角相等得∠CAD=∠ABE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论；
（2）利用相似三角形的对应边成比例，可得比列式，再结合已知条件可求出CD的长.
23．【答案】（1）解： ∵DP⊥AB，∠C=90°
∴∠C=∠ADP=90°
根据勾股定理可得，AC==4
∵∠A=∠A
∴△APD∽△ABC
∴
∴
∴t=
（2）解： 当△CPQ∽△CAB时，
∴
∴t=
当△CPQ∽△CBA时，
∴
∴t=
【解析】【分析】（1）根据题意，结合勾股定理证明三角形相似，继而由相似三角形的性质计算得到答案即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，计算得到t的值即可。