湘教版2023-2024学年度上学期八年级期末模拟数学试题2（含解析）

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湘教版2023-2024八年级上期末模拟试题2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
的算术平方根是（　　）
A． B． C．±2 D．2
计算的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（　　）
A． 锐角三角形有三条高
B． 直角三角形只有一条高
C． 任意三角形都有三条高
D． 钝角三角形有两条高在三角形的外部
如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，则判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A． 边边边 B． 角边角 C． 边角边 D． 角角边
四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
学校为了丰富学生的知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学书的本数相等，设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（ ）
A．
C．
如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，AD=3，BC=5，则△BCD的面积为( )
A．7.5 B．8 C．10 D．15
已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线，分别交于D，交于G．那么，一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
1 、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
设n为正整数，若n＜＜n+1，则n的值为 　 　．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是
关于x的方程=﹣1的解是正数，则a的取值范围是 ．
不等式组的解集是　 　．
若计算的结果为正整数，则无理数的值可以是__________．（写出一个符合条件的即可）
等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为　　cm．
如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F．若∠CAF=20°，则∠BED的度数为　 　°．
若（a﹣3）2+＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 　 　．
1 、解答题（本大题共8小题，共66分）
解不等式组：．
如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠C＝∠E．
先化简，再求值：（﹣1）÷，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．
计算：（1）（﹣1）3+﹣（2﹣）0，
（2）（a+3）（a﹣3）﹣a（a﹣2）．
如图，已知点P，Q在直线AB的同侧，在AB上作一点O，使OP = OQ．
为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
问题发现：
如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B，D，E在同一直线上，连接CE，求∠BEC的度数，并确定线段BD与CE的数量关系．
拓展探究：
如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，且点B，D，E在同一直线上，AF⊥BE于F，连接CE，求∠BEC的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系．
答案解析
1 、选择题
【考点】算术平方根
【分析】直接利用算术平方根的定义得出即可．
解：=2，2的算术平方根是．
故选：B．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，利用算术平方根即为正平方根求出是解题关键．
【考点】同分母分式的减法
【分析】直接利用同分母分式的减法法则计算即可．
解：．
故选：A．
【点评】本题考查了同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】 根据三角形的高的概念，通过具体作高，发现：任意一个三角形都有三条高，其中锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部，据此解答即可．
解：A．锐角三角形有三条高，说法正确，故本选项不符合题意；
B、直角三角形有三条高，说法错误，故本选项符合题意；
C、任意三角形都有三条高，说法正确，故本选项不符合题意；
D、钝角三角形有两条高在三角形的外部，说法正确，故本选项不符合题意；
故选B．
【点评】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，注意不同形状的三角形的高的位置．
【考点】全等三角形的应用．
【分析】 因为AA′、BB′的中点O连在一起，因此OA=OA′，OB=OB′，还有对顶角相等，所以用的判定定理是边角边．
解：∵AA′、BB′的中点O连在一起，
∴OA=OA′，OB=OB′，
在△OAB和△OA′B′中，
，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．
所以用的判定定理是边角边．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定定理，关键知道是怎么证明的全等，然后找到用的是哪个判定定理．
【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系．
【分析】分两种情况，由三角形的三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，即可解决问题．
解：∵△ABC为等腰三角形，
∴AB＝AC或AC＝BC，
当AC＝BC＝4时，AD+CD＝AC＝4，此时不满足三角形三边关系定理，
当AC＝AB＝3时．满足三角形三边关系定理，
∴AC＝3．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，关键是掌握三角形的三边关系定理．
【考点】解一元一次不等式，并在数轴上表示不等式的解集
【分析】求出不等式的解集，将解集在数轴上表示出来．
解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∴不等式的解集为：，
表示在数轴上如图：
故选B．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
【考点】二次根式的混合运算，分母有理化．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算，进而判断得出答案．
解：A．+无法合并，故此选项不合题意，
B．＝5，故此选项不合题意，
C．（3﹣）2＝11﹣6，故此选项符合题意，
D．6÷×＝9，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】设文学类图书平均每本x元，根据购买的书本数相等即可列出方程．
解：设文学类图书平均每本x元，依题意可得
故选B．
【点评】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程．
【考点】角平分线的性质．
【分析】作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质求出DE的长，根据三角形面积公式计算即可．
解：作DE⊥BC于E，
∵BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，DE⊥BC，
∴DE=DA=3，
∴△BCD=×BC×DE=7.5，
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【考点】等腰三角形的判定,作图—基本作图
【分析】根据题意知EF垂直平分OC，由此证明△OMD≌△ONG，即可得到OD=OG得到答案.
解：如图，连接CD、CG，
∵分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F
∴EF垂直平分OC，
设EF交OC于点N，
∴∠ONE=∠ONF=90°，
∵OM平分，
∴∠NOD=∠NOG，
又∵ON=ON，
∴△OMD≌△ONG，
∴OD=OG，
∴△ODG是等腰三角形，
故选：C.
【点评】此题考查基本作图能力：角平分线的做法及线段垂直平分线的做法，还考查了全等三角形的判定定理及性质定理，由此解答问题，根据题意得到EF垂直平分OC是解题的关键.
1 、填空题
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先估算出的范围，再得出选项即可．
解：∵1＜＜2，
∴n＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的大小是解此题的关键．
【考点】角平分线的性质．
【分析】过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．
解：∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=2（角平分线性质）.
【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式
【分析】先解分式方程，求出x的值，再根据方程的解是正数，确定a的范围即可．
解：=﹣1，解得x=，
=﹣1的解是正数，
0
a＞﹣1，
故答案为：a＞﹣1．
【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式，解分式方程是解题的关键
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式解集的公共部分．
解：
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，
故答案为﹣1＜x≤2．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．　
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】根据为12，即可得到一个无理数的值．
解：∵，
∴时的结果为正整数，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次根式，注意是解题的关键．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分别从腰长为4cm或底边长为4cm去分析求解即可求得答案．
解：①若腰长为4cm，则底边长委：17﹣4×2=9cm；
②若底边长为4cm，则腰长为：（17﹣4）=6.5cm；
综上可得：该等腰三角形的腰长为4cm或6.5cm．
故答案为：4或6.5．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
【考点】平行线的性质，三角形外角性质
【分析】依据DE∥AF，可得∠BED=∠BFA，再根据三角形外角性质，即可得到∠BFA=20°+60°=80°，进而得出∠BED=80°．
解：如图所示，∵DE∥AF，
∴∠BED=∠BFA，
又∵∠CAF=20°，∠C=60°，
∴∠BFA=20°+60°=80°，
∴∠BED=80°，
故答案为：80．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
【考点】等腰三角形的性质，非负数的性质：偶次方，非负数的性质：算术平方根，三角形三边关系．
【分析】先求a，b．再求第三边c即可．
解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，
∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，
∴a＝3，b＝5，
设三角形的第三边为c，
当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，
当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，
故答案为：11或13．
【点评】本题考查等腰三角形周长计算，求出a，b后确定腰和底是求解本题的关键．
1 、解答题
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
解：，
解不等式①得：x≤4，
解不等式②得：x＞2，
∴原不等式组的解集为：2＜x≤4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得∠C＝∠E．
证明：∵∠BAE＝∠DAC
∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE
∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠C＝∠E
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明∠CAB＝∠EAD是本题的关键．
【考点】分式的化简求值
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
解：原式＝（﹣）÷
＝
＝，
当x＝0时，原式＝﹣1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【考点】平方差公式，零指数幂，二次根式的性质与化简，实数的运算，单项式乘多项式．
【分析】（1）先计算负整数指数幂、二次根式、零指数幂，然后计算加减法，
（2）利用平方差公式和单项式乘多项式计算法则去括号，然后合并同类项．
解：（1）（﹣1）3+﹣（2﹣）0
＝﹣1+2﹣1
＝0，
（2）（a+3）（a﹣3）﹣a（a﹣2）
＝a2﹣32﹣a2+2a
＝2a﹣9．
【点评】本题主要考查了平方差公式、二次根式、实数的运算以及零指数幂，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【考点】线段垂直平分线的画法，线段垂直平分线的性质
【分析】根据垂直平分线的性质，作出PQ的垂直平分线，交AB于点O即可．
解：连接PQ，分别以P、Q为圆心，大于PQ的长为半径作弧，两弧分别交于M、N，作直线MN，交AB于点O，根据垂直平分线的性质可得OP=OQ，如图所示，点O即为所求．
【点评】此题考查的是尺规作图和垂直平分线的性质，掌握利用尺规作图作线段的垂直平分线是解题关键．
【考点】分式方程的应用，一元一次不等式组的应用
【分析】（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为件，根据4≤m≤10，且为整数，m为整数，即可得到答案．
解：（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，
由题意得：，解得：x=15，
经检验：x=15是方程的解，且符合题意，
∴15×4=60（元），15×3=45（元），
答：一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；
（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为件，
∵4≤m≤10，且为整数，m为整数，
∴m=4，7，10，
答：共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．
【点评】本题主要考查分式方程和不等式组的实际应用，准确找出数量关系，列出分式方程或不等式，是解题的关键．
【考点】一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）设该参赛同学一共答对了道题，从而可得该参赛同学一共答错了道题，再根据“每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分”、“他的总得分为86分”建立方程，解方程即可得；
（2）设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，从而可得参赛者答错了道题，再根据“总得分大于或等于90分”建立不等式，解不等式即可得．
解：（1）设该参赛同学一共答对了道题，则该参赛同学一共答错了道题，
由题意得：，
解得，
答：该参赛同学一共答对了22道题；
（2）设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，则参赛者答错了道题，
由题意得：，
解得，
答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．
【点评】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确列出方程和不等式是解题关键．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）首先根据△ACB和△DAE均为等边三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ADE=∠AED=60°，据此判断出∠BAD=∠CAE，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABD≌△ACE，即可判断出BD=CE，∠BDA=∠CEA，进而判断出∠BEC的度数为60°即可；
（2）首先根据△ACB和△DAE均为等腰直角三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∠ADE=∠AED=45°，据此判断出∠BAD=∠CAE，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABD≌△ACE，即可判断出BD=CE，∠ADB=∠AEC，进而判断出∠BEC的度数为90°即可；最后根据∠DAE=90°，AD=AE，AF⊥DE，
得到AF=DF=EF，于是得到结论．
解：（1）∵△ACB和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠BDA=∠CEA，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴∠ADB=180﹣60=120°，
∴∠AEC=120°，
∴∠BEC=∠AEC﹣∠AED=120﹣60=60°，
综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BE与AD之间的数量关系是：BE=AD．
（2）∵△ACB和△DAE均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∠ADE=∠AED=45°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADB=180﹣45=135°，
∴∠AEC=135°，
∴∠BEC=∠AEC﹣∠AED=135﹣45=90°；
∵∠DAE=90°，AD=AE，AF⊥DE，
∴AF=DF=EF，
∴DE=DF+EF=2AF，
∴BF=BD+DF=CE+AF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件；
此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．
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