2023年河南省洛阳强基联盟·高二12月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
2.数列，7，，13，的一个通项公式为( )
A. B.
C. D.
3.一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是( )
A. B. C. D.
4.若数列满足，，则( )
A. 3 B. 2 C. D.
5.设等差数列的前n项和为，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.定义表示不超过x的最大整数，例如：，，若，数列的前n项和为，则( )
A. 64 B. 70 C. 77 D. 84
8.已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆C内一点.对称中心在坐标原点，焦点在x轴上的等轴双曲线E经过点，点在E上.若椭圆C上存在一点P，使得，则C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知关于x，y的方程表示的曲线是E，则曲线E可以是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
10.在数列中，，，，，为的前n项和，则的值可以为( )
A. 0 B. 3 C. 4 D. 5
11.等差数列的前n项和为，公差为d，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则当时，最小
C. ， D. 若，d为整数，则
12.经过抛物线的焦点F的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，设，，的最小值是4，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若点是线段AB的中点，则直线l的方程为
D. 若，则直线l的倾斜角为或
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列的通项，则__________.
14.已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，上顶点为C，则直线CA，CB的斜率之积为__________.
15.已知F，A分别是双曲线的左焦点和右顶点，过点F作垂直于x轴的直线l，交双曲线于M，N两点，若，则双曲线的离心率为__________.
16.已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分
已知等差数列的前n项和为，，
求数列的通项公式;
求的最小值及取得最小值时n的值.
18.本小题12分
已知数列的前n项和为，且
求数列的通项公式;
求数列的前n项和
19.本小题12分
如图，过抛物线的焦点F的直线与C相交于A，B两点，当直线AB与y轴垂直时，
求C的方程;
以AB为直径的圆能否经过坐标原点若能，求出直线AB的方程;若不能，请说明理由.
20.本小题12分
已知数列满足，
求证：数列为等差数列;
求数列的通项公式与最大值.
21.本小题12分
已知椭圆的短轴长与焦距均为2，A，B是椭圆上的动点，O为坐标原点.
求椭圆的标准方程;
若直线OA与OB斜率的乘积为，动点P满足，其中实数为常数，若存在两个定点，，使得，求，的坐标及的值.
22.本小题12分
已知曲线C上的任意一点到直线的距离是它到点的距离的倍.
求曲线C的方程;
设，，过点的直线l在y轴的右侧与曲线C相交于A，B两点，记直线AM，BN的斜率分别为，，求直线l的斜率k的取值范围以及的值.2023年河南省洛阳强基联盟·高二12月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的准线方程，属于基础题.
由给出的抛物线方程，确定其开口方向，以及2p的值，即可求解.
【解答】
解：抛物线C开口向上，且，则，则其准线方程是
故选
2.数列，7，，13，的一个通项公式为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查数列的通项公式，属于基础题.
先求得数列4，7，10，13，…的通项，再利用来控制数列各项的符号，进而得解.
【解答】
解：数列4，7，10，13，…的通项可用表示，
又因为数列所有的奇数项为负，偶数项为正，
故可用来控制各项的符号，
故数列的一个通项公式为
3.一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】直接利用双曲线的渐近线方程，求解双曲线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线方程与双曲线方程的关系，是基础题．
【解答】
解：由题意设双曲线的方程为，将点代入双曲线方程得，所以双曲线的方程为，即故选
4.若数列满足，，则( )
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数列的周期性，属基础题.
由递推公式计算数列的前几项得出周期，即可的答案.
【解答】
解：因为数列满足，，
所以，，，，，
故数列的周期为3，
故
故选
5.设等差数列的前n项和为，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等差数列前n项和的性质，属于中档题.
根据题意利用等差数列前n项和的性质即可求得结果.
【解答】
解：在等差数列中，，，成等差数列，
即，
设，则，于是，解得，
所以
故选：
6.已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的定义、必要条件、充分条件与充要条件的判断 ，考查了推理能力，属于基础题．
由双曲线的定义和必要条件、充分条件与充要条件的判断 ，即可判断出．
【解答】
解：“动点M的轨迹是双曲线”“为定值”，
反之不成立，若定值 两个定点的距离，其轨迹不是双曲线．
因此“为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的必要不充分条件．
7.定义表示不超过x的最大整数，例如：，，若，数列的前n项和为，则( )
A. 64 B. 70 C. 77 D. 84
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数列的新定义，考查数列求和，属于一般题.
求出当，时，，利用分组转化求和即可.
【解答】
解：因为，
所以当，+时，
当，时，
当，时，
当，时，
所以，
故
8.已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆C内一点.对称中心在坐标原点，焦点在x轴上的等轴双曲线E经过点，点在E上.若椭圆C上存在一点P，使得，则C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆离心率范围的求解，为中档题.
根据题意求出双曲线E的方程为，结合点在E上以及点在椭圆C内可得a的取值范围和的坐标，即可求离心率的取值范围.
【解答】
解：等轴双曲线E经过点，故双曲线E的方程为，
由点在E上，得，所以椭圆C的左焦点的坐标是，因为，
所以，，又，当P，A，F共线时等号成立，
所以，解得①
又因为点在椭圆C内，所以，即，
解得舍去或②，
由①②得，，
所以
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知关于x，y的方程表示的曲线是E，则曲线E可以是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程的应用，圆、椭圆以及双曲线的判定，是基础题．
通过m的取值，判断曲线的形状即可．
【解答】
解：当时，，方程可以化简为，曲线E是圆；
当，且时，或，曲线E是椭圆；
当时，或，曲线E是双曲线.
故选
10.在数列中，，，，，为的前n项和，则的值可以为( )
A. 0 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查周期数列，属于简单题.
由题可得数列 是周期为6的周期数列，且，进而得出答案.
【解答】
解： ，
，
为以6为周期的数列，且 ，
而 ， 2n 被6除的余数只能为 ，
所以 的值只能为 ， ，
故ACD正确，B错误.
故选
11.等差数列的前n项和为，公差为d，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则当时，最小
C. ， D. 若，d为整数，则
【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查等差数列的性质，数列前n项和的最值问题，属于中档题.
由，求得，对d进行分类讨论，逐个判断即可.
【解答】
解：因为，
所以，即，
即
若，则，，则，故A正确;
若，则，，最小，故B正确;
由，得，所以，
所以，，故C错误;
若，则，由，，
得，又d为整数，所以，故D正确.
故选
12.经过抛物线的焦点F的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，设，，的最小值是4，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若点是线段AB的中点，则直线l的方程为
D. 若，则直线l的倾斜角为或
【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线的综合应用，涉及向量的数量积，属于中档题.
求出p，得抛物线方程，求出焦点坐标，设直线l的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理和向量的坐标运算对选项逐个判断即可.
【解答】
解：当直线l与x轴垂直时，取得最小值，所以，所以，
所以抛物线C的方程为，焦点，
由题意可知直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为，
联立得，，
，，，，
所以，A错误;
，，所以，
，
所以，B正确;
因为点是线段AB的中点，所以，即，，
所以直线l的方程为，C正确;
，所以，即，
所以，
因为，所以，即，解得舍去，
又，故，所以，
所以直线l的斜率为，直线l的倾斜角为，D错误.
故选
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列的通项，则__________.
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查数列中项的求解，属于基础题.
【解答】
解：，，所以
故答案为
14.已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，上顶点为C，则直线CA，CB的斜率之积为__________.
【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的方程，属于基础题.
【解答】
解：由题意知，，，所以，即直线CA，CB的斜率之积为
15.已知F，A分别是双曲线的左焦点和右顶点，过点F作垂直于x轴的直线l，交双曲线于M，N两点，若，则双曲线的离心率为__________.
【答案】2
【解析】【分析】
本题考查双曲线的离心率，属于中档题.
【解答】
解：方法一：设，将代入，得，所以，，
因为，且，所以，即，
故，
因为，所以，所以，得，
故双曲线的离心率
方法二：设，将代入，得，所以，
因为，所以，即，所以，即，
所以，解得舍去
故答案为：
16.已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是__________.
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列前n项和的性质，属于较难题.
【解答】
解：由，因为为整数且，所以，2，
故答案为
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分
已知等差数列的前n项和为，，
求数列的通项公式;
求的最小值及取得最小值时n的值.
【答案】解：设等差数列的公差为d，
由，，得，，解得，，
所以
方法一：由知是递增数列，
当时，；当时，
所以，
所以当时，最小，最小值为
方法二：，
又，所以当时，最小，最小值为
【解析】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，等差数列前n项和的最值问题，属于中档题.
根据等差数列的通项公式和求和公式列方程，解方程得到，，然后写通项即可；
方法一：根据等差数列的性质求最小值即可；
方法二：根据前n项和的函数性质求最小值.
18.本小题12分
已知数列的前n项和为，且
求数列的通项公式;
求数列的前n项和
【答案】解：当时，，
当时，，满足上式.
综上，
令，得，解得令，得，解得
当，时，
当时，
综上所述，
【解析】本题考查数列的前n项和Sn与an的关系，分类讨论思想在数列求和中的应用，属于中档题.
根据，验证时，，得到数列的通项公式；
由题意时，时，所以当，当时，，即可得出答案.
19.本小题12分
如图，过抛物线的焦点F的直线与C相交于A，B两点，当直线AB与y轴垂直时，
求C的方程;
以AB为直径的圆能否经过坐标原点若能，求出直线AB的方程;若不能，请说明理由.
【答案】解：点的坐标是，
当直线AB与y轴垂直时，点A，B的坐标分别是，，
，解得，
所以C的方程是
以AB为直径的圆不可能经过坐标原点O，理由如下：
直线AB的斜率显然存在，设其方程为，
代入，消去y并整理得，
设，，则
因为，
所以OA与OB不垂直.
因此，以AB为直径的圆不可能经过坐标原点.
【解析】本题考查抛物线的标准方程问题，抛物线中的探索性问题，属于中档题.
求出A，B坐标，由求出p，即可得抛物线方程;
直线AB的斜率显然存在，设其方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理和数量积的坐标运算求得OA与OB不垂直，即可判断以AB为直径的圆不可能经过坐标原点.
20.本小题12分
已知数列满足，
求证：数列为等差数列;
求数列的通项公式与最大值.
【答案】证明：
常数，
所以数列是以3为公差的等差数列.
解：由，得数列的首项是，
所以，即
当时，由反比例函数的性质知单调递减，
所以，
又，，所以数列的最大值是
【解析】本题考查等差数列的判断与证明，数列单调性的应用，属于中档题.
计算，根据等差数列的概念即得结论；
由可得，再研究其单调性，计算可得结论．
21.本小题12分
已知椭圆的短轴长与焦距均为2，A，B是椭圆上的动点，O为坐标原点.
求椭圆的标准方程;
若直线OA与OB斜率的乘积为，动点P满足，其中实数为常数，若存在两个定点，，使得，求，的坐标及的值.
【答案】解：由题设可知：，所以，
又，
所以椭圆的标准方程为；
设，，，
则由，得，，
因为点A，B在椭圆上，
所以，，
，
因为，
所以，
所以，即，
所以点P是椭圆上的点.
所以两个定点，是该椭圆的两个焦点，
由椭圆的定义知，
所以，
又，
因此两定点的坐标分别为，或，
【解析】本题考查椭圆的性质，标准方程，向量与椭圆的综合问题，考查定点问题，属于综合题.
利用椭圆的性质求出a，b，即可得椭圆方程;
设，，，由平面向量的坐标运算和点A，B在椭圆上，结合斜率公式求得点P是椭圆上的点，所以两个定点，是该椭圆的两个焦点，利用椭圆的定义即可求解.
22.本小题12分
已知曲线C上的任意一点到直线的距离是它到点的距离的倍.
求曲线C的方程;
设，，过点的直线l在y轴的右侧与曲线C相交于A，B两点，记直线AM，BN的斜率分别为，，求直线l的斜率k的取值范围以及的值.
【答案】解：设是曲线C上的任意一点，则，
化简得，
所以曲线C的方程为
设，，直线AB的方程为，
由，消去x并整理得
则，，且
因为直线l在y轴的右侧与曲线C相交于A，B两点，
所以即
所以
即解得，
即，解得或，
所以直线l的斜率k的取值范围是
又因为
，
所以
【解析】本题主要考查与双曲线有关的轨迹问题，考查双曲线中的定值问题，属于较难题.
根据题意结合距离公式列方程化简即可求解；
设，，直线AB的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理以及斜率公式即可求解.
