长汀一中分校2023-2024学年高二上学期第三次月考
数学试题
满分：150分；考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡的相应区域内
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．写出数列的一个通项公式（ ）
A． B． C． D．
3．直线与椭圆C：的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
5．开学初，学校将新转学来的A、B等五名同学分配到甲、乙、丙、丁四个不同的班级，每个班至少分一人，则A、B两人被各自单独分往一个班级的不同分配方法种数有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
6．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．28
7．已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆，双曲线，椭圆与双曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．关于的展开式，下列说法正确的有（ ）
A．二项式系数之和为512 B．各项系数之和为1
C．常数项为第四项 D．的系数为
10．甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ）
A．甲乙不相邻的不同排法有48种
B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种
C．甲乙不排在两端的不同排法有36种
D．甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有30种
11．已知直线和圆.则（ ）
A．无论为何值，直线与圆总相交
B．直线被圆截得的最长弦长为5
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．直线被圆截得的弦长最短时，
12．如图，双曲线E：的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线的离心率为2
C． D．的面积为
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．若，则的值为 .
14．已知点为抛物线的焦点，则点坐标为 ．
15．某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有 种(用数字作答)．
16．如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列、、、构成一个公比为的等比数列，从第行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，，则 ．
四、解答题（第17题10分，其余各题每题12分，共70分）
17．现有个人（男女）站成一排．
(1) 女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(2) 女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
18．已知圆C：.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若直线l：与圆C相交于M、N两点，且，求m的值.
19．已知椭圆．
(1)求实数的取值范围；
(2)若直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，求弦的长．
20．已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列.
(2)求数列的前项和.
21．（1）求的展开式中的系数；
（2）求9192除以100的余数．
22．已知动圆过定点，且与直线相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹的方程.
(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当，变化且为定值，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．长汀一中分校2023-2024学年高二上学期第三次月考
数学试题
满分：150分；考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡的相应区域内
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】应用直线斜率公式，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】因为一条直线经过两点，，
所以该直线的斜率为，
则有该直线的倾斜角满足，因为，
所以，
故选：D
2．写出数列的一个通项公式（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】数列分子为，分母为，由此可求得一个通项公式.
【详解】数列，
则其分母为，分子为，则其通项公式为.
故选：B
3．直线与椭圆C：的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据在椭圆上和直线上列方程，整理后求得椭圆的离心率.
【详解】设在第一象限的交点为A，右焦点为，
根据题意：轴，A在椭圆上，
由解得，则，A在直线上，则，
所以，，，所以，
解得.
故选：A
4．已知点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，与半径进行对比即可得到答案.
【详解】由点在圆外，可得，
求得圆心到直线的距离，
故直线和圆C相交，
故选:A.
【点睛】判断直线与圆的位置关系主要有两种方法：
（1）代数方法：联立方程，利用判断二者位置关系，比较繁琐；
（2）几何方法：利用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判定，比较简单.
5．开学初，学校将新转学来的A、B等五名同学分配到甲、乙、丙、丁四个不同的班级，每个班至少分一人，则A、B两人被各自单独分往一个班级的不同分配方法种数有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
【答案】C
【分析】利用捆绑法，首先将剩余3名学生分成2组，再将4组学生分配到4个不同的班级，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】因为A、B两人被各自单独分往一个班级，
首先将剩余3名学生分成2组，有种分组方法，
再将4组学生分配到4个不同的班级有种，
所以A、B两人被各自单独分往一个班级的不同分配方法种数有种.
故选：C.
6．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．28
【答案】C
【分析】利用分类加法原理即可求解.
【详解】梯形的上、下底平行且不相等，如图，
若以为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有个，
若以为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有个，
所以梯形的个数是个.
故选：C.
7．已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等差中项与等差数列前项和得出，，即可代入已知得出答案.
【详解】由等差数列的性质可得：
，，
则，即，
，
故选：D.
8．已知椭圆，双曲线，椭圆与双曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆与双曲线定义求出，，再利用余弦定理结合的关系化简即可.
【详解】不妨设P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，得，
解得，，由余弦定理得，
，
即，即，
故选：B
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．关于的展开式，下列说法正确的有（ ）
A．二项式系数之和为512 B．各项系数之和为1
C．常数项为第四项 D．的系数为
【答案】BD
【分析】赋值法，令，即可判断B选项；结合二项式系数的性质即可判断A选项；结合二项式的展开式的通项公式即可判断C、D选项.
【详解】令，可得各项系数之和为，故B正确;
二项式系数之和为，故A错误;
展开式的通项公式为，令，得，即常数项为第五项，故错误;
令，得，则的系数为，故正确;
故选：BD.
10．甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ）
A．甲乙不相邻的不同排法有48种
B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种
C．甲乙不排在两端的不同排法有36种
D．甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有30种
【答案】BC
【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.
【详解】A：甲乙不相邻的不同排法有种，所以本选项不正确；
B：甲乙中间恰排一个人的不同排法有种，所以本选项正确；
C：甲乙不排在两端的不同排法有种，所以本选项正确；
D：甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有60种，所以本选项不正确.
故选：BC
11．已知直线和圆.则（ ）
A．无论为何值，直线与圆总相交
B．直线被圆截得的最长弦长为5
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．直线被圆截得的弦长最短时，
【答案】ACD
【分析】根据直线所过的定点在圆内可判断选项A;利用过圆心的弦最长，以及垂直于最长弦的弦最短可求解选项B,C；利用垂直与斜率的关系可求解选项D.
【详解】
由直线可得，，
所以直线恒过定点，
又因为圆心,半径，
点到圆心的距离为，
所以点在圆内，所以无论为何值，直线与圆总相交，A正确；
当直线过圆心时，被圆截得的弦最长，最长为，B错误；
当时，直线被圆截得的弦最短为，C正确；
时，,所以，解得，D正确；
故选:ACD.
12．如图，双曲线E：的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线的离心率为2
C．
D．的面积为
【答案】ABD
【分析】根据双曲线定义及性质，结合余弦定理和面积公式逐个选项判断即可．
【详解】如图所示：
对于A，且，所以，故A正确；
对于B，，，所以，又由相似可得：，，，，所以离心率，故B正确；对于C，中，由余弦定理可得，故C错误；
对于D，由C可知，，则其面积，故D正确．
故选：ABD．
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．若，则的值为 .
【答案】210
【分析】通过已知得出的值，即可利用公式计算得出答案.
【详解】，
，即，
，
=210，
故答案为：210.
14．已知点为抛物线的焦点，则点坐标为 ．
【答案】
15．某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有 种．
【答案】84
【分析】考虑前2个节目都是语言类节目和前2个节目中恰有1个是语言类，有1个是歌唱类两种情况，根据分步乘法原理以及分类加法原理，即可求得答案.
【详解】若前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有种情况；
若前2个节目中恰有1个是语言类，有1个是歌唱类，则有种情况，
剩余的3个节目进行全排列，则有种情况，则共有种情况．
综上，有种不同的排法，
故答案为：84
16．如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列、、、构成一个公比为的等比数列，从第行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，，则 ．
【答案】3
四、解答题（第17题10分，其余各题每题12分，共70分）
17．现有个人（男女）站成一排．
(1) 女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(2) 女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：个人（男女）站成一排，女生必须排在一起，将名女生进行捆绑，形成一个大元素，
此时，不同的排法种数为种.
（2）解：个人（男女）站成一排，女生两旁必须有男生，
只需将名女生插入名男生在中间形成的个空中，
此时，不同的排法种数为种.
18．已知圆C：.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若直线l：与圆C相交于M、N两点，且，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）变换得到，确定，解得答案.
（2）圆心到直线的距离为，再根据计算得到答案.
【详解】（1）圆C：，即，
故，，即；
（2）圆心为，半径，圆心到直线的距离为，
，解得.
19．已知椭圆．
(1)求实数的取值范围；
(2)若直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，求弦的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆方程的标准方程特征求的取值范围；
（2）由题意求出椭圆方程，直曲联立，利用弦长公式即可求.
【详解】（1）因为表示椭圆，
所以，解得且，
故实数的取值范围是.
（2）因为直线过椭圆的右焦点，
所以，所以，
设椭圆右焦点为，将点代入得，
所以，所以，
所以椭圆方程为，
由得，，
设，，
则，，
所以.
故弦的长为.
20．已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列.
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）利用等比数列的定义，结合的条件即可证明；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）证明：因为，
所以.
又，所以，
所以数列是等比数列，且首项为4，公比为2.
（2）解：由（1）知，
即，则.
，
，
则
，
所以.
21．（1）求的展开式中的系数；
（2）求9192除以100的余数．
【答案】（1） （2）81
【详解】(1) 由题意，二项式的展开式的通项，
其中项的系数为，项的系数为，
项的系数为，
所以的展开式中项的系数为．
(2)解法一展开式中前92项均能被100整除，故只需求最后一项除以100的余数．
，
前91项均能被100整除，后两项的和为，所以除以100的余数为81，
故除以100的余数为81.
解法二
前91项均能被100整除，后两项的和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100的余数为81，故9192除以100的余数为81.
22．已知动圆过定点，且与直线相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹的方程.
(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当，变化且为定值，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）根据已知的几何关系，结合抛物线的定义求解轨迹方程即可；
（2）首先设，，，设直线AB的方程为：，联立方程结合韦达定理可得，，再利用题干条件，得到两条直线的斜率关系，即可得到，将韦达定理的结果代入得到，进而判断直线恒过的定点.
【详解】（1）设动圆圆心，设C到直线的距离为d，则，
∴点C的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.
设抛物线方程为：，由，得，
∴点C的轨迹方程为：.
（2）设，，，
∵，显然直线AB斜率存在，
∴设直线AB的方程为：
，消x得：
，
设OA的斜率为，OB的斜率为，
∵
则，，
∴，∴，∴，∴，
∴直线AB的方程为：，即，恒过定点
