湘教版2023-2024学年度上学期八年级期末模拟数学试题5（含解析）

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湘教版2023-2024八年级上期末模拟试题5
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
化简结果正确的是（　　）
A．1 B．a C． D．
已知直线a∥b，一块含30°角的直角三角尺如图放置．若∠1=25°，则∠2等于（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
下列实数最小的是（ ）
A．－2 B．－3.5 C．0 D．1
一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥3
如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（　　）
A．25 B．22 C．19 D．18
解分式方程﹣=1，可知方程的解为（　　）
A．x=1 B．x=3 C．x= D．无解
如图，正五边形中，的度数为（ ）
A．
古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．6 C．18 D．
已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ）
A．9 B．17或22 C．17 D．22
如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（　　）
A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
1 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为　 　．
如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是　 　（只写一个条件即可）．
计算：＝________
已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是 　 　．
如图，在中，，分别以点A．B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，此时射线恰好经过点D，则_____度．
观察下列各式：
=_____-_______，
=____-_________,
=_____-__________.
……
请利用你所得结论，化简代数式＋＋＋…＋（n≥3且n为整数），其结果为__________．
1 、解答题（本大题共8小题，共52分）
（1）计算：（）﹣1+（）2﹣4×|﹣|．
（2）先化简，再求值：（1+），其中a＝2．
解方程或不等式组：
（1） ，
（2）．
用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．
（1）求；
（2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE，②AC＝DF，③BE＝CF，④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨），
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用，若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋
如图，在等边中，厘米，厘米，如果点以厘米/秒的速度运动．
（1）如果点线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动． 它们同时出发，若点的运动速度与点的运动速度相等． 经过秒后，和是否全等？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，是一个直角三角形？
（3）若点的运动速度与点的运动速度不相等，点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都顺时针沿三边运动，经过秒点与点第一次相遇，则点的运动速度是多少厘米/秒．
答案解析
1 、选择题
【考点】分式的加减法．
【分析】依据题意，根据分式的加减运算法则进行计算即可得解．
解：由题意，原式＝＝＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的加减运算，解题时需要熟练掌握法则并能准确计算．
【考点】平行线的性质、三角形的外角性质
【分析】由三角形的外角性质求出∠3=55°，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．
解：如图所示：
由三角形的外角性质得：∠3=∠1+30°=55°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=55°；
故选：B．
【点评】该题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质；牢固掌握平行线的性质是解决问题的关键．
【考点】实数的大小比较
【分析】根据实数大小比较的方法进行求解即可．
解：因为，
所以最小的实数是－3.5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握应用实数大小的比较方法进行求解是解题的关键．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【分析】根据数轴得到两个不等式解集的公共部分即可．
解：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，
则该不等式组的解集是x＞3．
故选C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，根据数轴得到两个解集的公共部分是解答此题的关键．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．
解：由题意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，
∵AB＝7，AC＝12，
∴AB+AC＝19，
∴∵△ABD的周长是19，
故选：C．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【考点】解分式方程
【分析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，进而解方程得出答案．
解：去分母得：
2﹣2x=x﹣1，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x﹣1=0，故此方程无解．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确掌握解题步骤是解题关键．
【考点】全等三角形的判定与性质,多边形内角与外角
【分析】首先由正五边形的性质得到≌， ，，然后由正五边形 内角度数，求出和 的度数，进而求出 的度数．
解：∵五边形为正五边形，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
故选：
【点评】本题考查了正多边形的性质：各边相等，各角相等，掌握正多边形的性质是解决本题的关键．
【考点】数学常识，二次根式的应用
【分析】利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积，
解：∵a＝7，b＝5，c＝6．
∴p＝＝9，
∴△ABC的面积S＝＝6，
故选：A．
【点评】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．
【考点】等腰三角形的定义，三角形的三边关系
【分析】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可．
解：分两种情况：
当腰为4时，，所以不能构成三角形；
当腰为9时，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【考点】作图—基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．
【分析】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG＝CG即可．
解：根据题中所给的作图步骤可知，
AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG．
当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（SAS），
所以BG＝CG，
故A选项不符合题意．
当AG⊥BC时，
∠AGB＝∠AGC＝90°，
又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（ASA），
所以BG＝CG，
故B选项不符合题意．
当∠DGB＝∠EGC时，
因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，
所以△ADG≌△AEG（SAA），
所以∠AGD＝∠AGE，
又∠DGB＝∠EGC，
所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，
即∠AGB＝∠AGC．
又∠AGB+∠AGC＝90°，
所以∠AGB＝∠AGC＝90°，
则方法同（2）可得出BG＝CG，
故C选项不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
1 、填空题
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
解：根据三角形的三边关系，得
第三边＞4，而＜6．
又第三条边长为整数，
则第三边是5．
【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．
【考点】全等三角形的判定
【分析】由题意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可选择利用AAS、SAS进行全等的判定，答案不唯一、
解：添加∠B=∠C．
在△ABE和△ACD中，
∵，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
故答案可为：∠B=∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，属于开放型题目，解答本题需要同学们熟练掌握三角形全等的几种判定定理．
【考点】绝对值，二次根式的性质
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
解：解不等式2x+3≥x+m，得：x≥m﹣3，
解不等式﹣3＜2﹣x，得：x＜2，
∵不等式组无解，
∴m﹣3≥2，
∴m≥5，
∴0＜≤，
故答案为：0＜≤．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【考点】作图-复杂作图
【分析】由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得，再根据三角形内角和定理即可得解．
解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴AD=BD，
∴
∴
∵，且，
∴，即，
∴．
故答案为：32．
【点评】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．
【考点】分式的加减法．
【分析】根据所列的等式找到规律，由此计算＋＋＋…＋的值．
解：∵，
…
∴，
∴＋＋＋…＋
=
=
=
=
故答案是：．
【点评】此题主要考查了分式的加减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．(2)异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减法．　　
1 、解答题
【考点】分式的化简求值，负整数指数幂，实数的运算．
【分析】（1）先根据负整数指数幂、实数的运算和绝对值的意义化简，然后计算加减即可，
（2）首先计算小括号里面的分式的加法，然后再计算括号外分式的除法，化简后，再代入a的值可得答案．
解：（1）原式＝2+2﹣4×
＝4﹣2
＝2，
（2）原式＝（+）
＝
＝，
当a＝2时，原式＝＝．
【点评】此题考查了实数的混合运算，以及分式的混合运算，涉及的知识有：零指数幂、负整数指数幂公式，二次根式的化简，通分，以及约分，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母，分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
【考点】解分式方程 ，解一元一次不等式组
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解 ，
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
解：（1）去分母得：7+3（x﹣1）＝x，
解得：x＝﹣2，
检验：把x＝﹣2代入得：x﹣1≠0，
∴x＝﹣2是原分式方程的解 ，
（2），
由①得：x＜4，
由②得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜4．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
【考点】定义新运算，解一元一次不等式，二次根式的混合运算
【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；
（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．
解：（1）=
=
=
（2）∵，
∴
解得：
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤
【考点】全等三角形的判定．
【分析】（1）根据两三角形全等的判定定理，选择合适的条件即可．
（2）根据（1）中所选条件，进行证明即可．
解：（1）由题知，
选择的三个条件是：①②③，
或者选择的三个条件是：①③④．
证明：（2）当选择①②③时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
当选择①③④时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查全等三角形的证明，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
【考点】等腰三角形的判定与性质，作图—复杂作图
【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D，
（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝72°，再利用DA＝DB得到∠ABD＝∠A＝36°，所以∠BDC＝72°，从而可判断△BCD是等腰三角形．
（1）解：如图，点D为所作，
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质．
【考点】分式方程的应用，一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设A型玩具的单价为x元/件．根据用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，列方程即可得到结论，
（2）设购买A型玩具m个．根据张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，列不等式即可得到结论．
解：（1）设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个．
由题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，
∴B型玩具的进价为10×1.5＝15（元/个），
答：A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个．
（2）设购买A型玩具m个，则购进B型玩具（75﹣m）个．
根据题意得，（12﹣10）m+（20﹣15）（75﹣m）≥300，
解得：m≤25，
答：最多可购进A型玩具25个．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确地理解题意是解题的关键．
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）可设每副围棋元，每副中国象棋元，根据“若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元”可列出关于x,y的二元一次方程组，用消元法解之即可.（2）由（1）可知一副围棋和象棋的价格，可设购买围棋副，“购买围棋和中国象棋共40副”,知购买象棋副，根据“总费用不超过550元”可列出关于z的一元一次不等式组，求出z的解集，取最大值即可.
解：（1）设每副围棋元，每副中国象棋元，
根据题意得：，
∴，
∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；
（2）设购买围棋副，则购买象棋副，
根据题意得：，
∴，
∴最多可以购买25副围棋；
【点评】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准题中等量关系是解题的关键.
【考点】等边三角形的性质，特殊直角三角形的性质
【分析】（1）根据M和N同时出发，若点的运动速度与点的运动速度相等得CM=BN=6cm，所以BM=4cm=CD．根据“SAS”证明△BMN≌△CDM；
（2）设运动时间为t秒，分别表示CM和BN．分两种情况，运用特殊三角形的性质求解：①∠NMB=90°；②∠BNM=90°；
（3）点M与点N第一次相遇，有两种可能：①点M运动速度快；②点N运动速度快．分别列方程求解．
解：（1）△BMN≌△CDM．理由如下：
∵VN=VM=3厘米/秒，且t=2秒，
∴CM=2×3=6（cm）
BN=2×3=6（cm）
BM=BC-CM=10-6=4（cm）
∴BN=CM
∵CD=4（cm）
∴BM=CD
∵∠B=∠C=60°，
∴△BMN≌△CDM．（SAS）
（2）设运动时间为t秒，△BMN是直角三角形有两种情况：
①当∠NMB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BNM=90°-∠B=90°-60°=30°．
∴BN=2BM，
∴3t=2×（10-3t）
∴t（秒）；
②当∠BNM=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BMN=90°-∠B=90°-60°=30°．
∴BM=2BN，
∴10-3t=2×3t
∴t（秒）．
∴当t秒或t秒时，△BMN是直角三角形；
（3）分两种情况讨论：
①若点M运动速度快，则 3×25-10=25VN，解得 VN=2.6；
②若点N运动速度快，则 25VN-20=3×25，解得 VN=3.8．
∴点的运动速度是3.8厘米/秒或2.6厘米/秒．
【点评】此题考查等边三角形的性质、特殊直角三角形的性质及列方程求解动点问题，两次运用分类讨论的思想，有一定的难度．
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