福建省晋江市平山中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学（理）试题

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2014-2015学年高二下学期期中考试
数学(理科)试卷
第I卷（选择题 共70分）
一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．在复平面内，复数对应的点位于（　　）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
2、已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.下列表述正确的是（ ）
①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
A．①③⑤； B．②③④； C．②④⑤； D．②③⑤。
4. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于”时，反设正确的是（ ）.
A．假设三内角都不大于 B．假设三内角都大于
C．假设三内角至多有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于
5、若曲线在点处的切线方程为，则（　　　）
A. B. C. D. 不存在
6. 定积分等于（　　　）．
A． B． C． D．
7．用数学归纳法证明：，在验证n＝1时，左端计算所得的式子是（ ）
（A）1 （B）1+a （C） （D）
8 . 函数y=x2cosx的导数为（ ）
A．y′=x2cosx-2xsinx B．y′=2xcosx+x2sinx
C．y′=xcosx-x2sinx D． y′=2xcosx-x2sinx
9.观察式子：，…，则可归纳出式子为（ ）
A、 B、
C、 D、
10. 函数的极大值为，极小值为，则为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
11．已知函数的导函数的图象如图所示，
给出下列四个结论：
①函数在区间内单调递减；[]
②函数在区间内单调递减；
③当时，函数有极大值； ④当时，函数有极小值．
则其中正确的是 （ ）
A．②④ B．①④ C．①③ D．②③
12.函数内是增函数，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
13．已知函数的图象如右图所示，
则函数y=f (x)的图象可能为 （ 　）
A B C D
14. 对于函数，下列结论正确的一个是
A. 有极小值，且极小值点 B. 有极大值，且极大值点
C. 有极小值，且极小值点 D. 有极大值，且极大值点
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应横线上.）
15.复数的虚部是
16．设，若，则
17.=________.
18． 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
19. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图3中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，……，若按此规律继续下去，则 ，若，则 ．
本页空白，可作为草稿纸
2014-2015学年高二下学期期中考试 []
数学（理科）答题卡
题序 一 二 20 21 22 23 24 总分
得分
一、选择题（70分）
[]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 [] []
二、填空题（20分）
15、_______________；16、_______________； 17、
18、 19、______________， _____________
三、解答题（共5小题，共60分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）
20. （本小题满分10分）过点A(4，2)作曲线的切线．
（1）求切线的方程；
（2）求切线，x轴及曲线所围成的封闭图形的面积．
21(本小题满分12分)
已知数列
⑴求出； ⑵猜想前项和.
(3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？
22. (本小题满分12分)
已知函数，当时，有极大值
（1）求函数的解析式并写出它的单调区间
（2）求此函数在[-2，2]上的最大值和最小值
23. (本小题满分12分)
某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值.已知投入万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为万元，并且技改投入比率.
（Ⅰ）求技改投入的取值范围；
（Ⅱ）当技改投入多少万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为多少万元？
24（本小题满分14分）
已知函数.
(Ⅰ)若,求曲线在处切线的斜率;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围.
O
-1
x
y
1
-1
-2
-2
-1
1
-1
1
-1
1
2
5
12
1
22
图3
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