第一章测评
(时间:75分钟,满分:100分)
一、单项选择题:本题共7小题,每小题4分,共28分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.关于通电直导线在匀强磁场中所受的安培力,下列说法正确的是( )
A.安培力的方向可以不垂直于直导线
B.安培力的方向总是垂直于磁场的方向
C.安培力的大小与通电直导线和磁场方向的夹角无关
D.将垂直于磁场的直导线从中点折成直角后,直角所在平面仍垂直于磁场,则安培力的大小一定变为原来的一半
2.关于通电导线所受安培力F的方向、磁感应强度B的方向和电流I的方向之间的关系,下列说法正确的是( )
A.F、B、I三者必须保持相互垂直
B.F必须垂直B、I,但B、I可以不相互垂直
C.B必须垂直F、I,但F、I可以不相互垂直
D.I必须垂直F、B,但F、B可以不相互垂直
3.如图所示,表示磁场对直线电流的作用力示意图中正确的是( )
4.正三角形ABC的三个顶点处分别有垂直于三角形平面的无限长直导线,导线中通有恒定电流,方向如图所示,a、b、c三点分别是正三角形三边的中点,若A、B、C三处导线中的电流均为I,则a、b、c三点的磁感应强度大小关系为( )
A.a点最大
B.b点最小
C.c点最小
D.b、c点一样大
5.如图所示,一条形磁铁放在水平桌面上,在条形磁铁的左上方固定一根与磁铁垂直的长直导线,当导线中通以图示方向的电流时(磁铁始终未动)( )
A.磁铁对桌面的压力减小,且受到向左的摩擦力作用
B.磁铁对桌面的压力减小,且受到向右的摩擦力作用
C.磁铁对桌面的压力增大,且受到向左的摩擦力作用
D.磁铁对桌面的压力增大,且受到向右的摩擦力作用
6.如图所示为一速度选择器,内有一磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场,一束粒子流以速度v水平射入,为使粒子流经过磁场时不偏转(不计重力),则磁场区域内必须同时存在一个匀强电场,关于此电场场强大小和方向的说法中正确的是( )
A.大小为,粒子带正电时,方向向上
B.大小为,粒子带负电时,方向向上
C.大小为Bv,方向向下,与粒子带何种电荷无关
D.大小为Bv,方向向上,与粒子带何种电荷无关
7.将一段通电直导线abc从中点b折成120°,分别放在如图所示的匀强磁场中,图甲中导线所在平面与磁场的磁感线平行,图乙中导线所在平面与磁场的磁感线垂直,若两图中两导线所受的安培力大小相等,则甲、乙两图中磁场的磁感应强度大小之比为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,选对但不全的得3分,有选错的得0分。
8.如图所示的四幅图中,导体棒的长度均为L,磁场的磁感应强度大小均为B,在各导体棒中通有相同的电流I。则下列选项正确的是( )
A.图甲中导体棒所受的安培力大小为BIL
B.图乙中导体棒所受的安培力大小为BIL
C.图丙中导体棒所受的安培力大小为BIL
D.图丁中导体棒所受的安培力大小为BIL
9.用如图所示的回旋加速器来加速质子,为了使质子获得的最大动能增加为原来的4倍,可采用下列哪几种方法 ( )
A.将其磁感应强度增大为原来的2倍
B.将其磁感应强度增大为原来的4倍
C.将D形金属盒的半径增大为原来的2倍
D.将两D形金属盒间的加速电压增大为原来的4倍
10.如图所示,有一混合正离子束先后通过正交的电场、磁场区域Ⅰ和匀强磁场区域Ⅱ,如果这束正离子束在区域Ⅰ中不偏转,进入区域Ⅱ后偏转半径r相同,则它们一定具有相同的( )
A.速度 B.质量
C.电荷量 D.比荷
三、非选择题:本题共5个小题,共54分。
11.(8分)一回旋加速器,在外加磁场一定时,可把质子H)加速到v,使它获得动能为Ek,则:
(1)能把α粒子He)加速到的速度为 ;
(2)能使α粒子He)获得的动能为 ;
(3)加速α粒子He)的交变电场频率与加速质子的交变电场频率之比为 。
12.(8分)按照如图所示进行实验。
(1)分别接通“1、4”和“2、3”,导线偏转的角度不同,说明导线受到的力的大小与 有关。
(2)上下交换磁极的位置以改变磁场方向,导线受力的方向 (选填“改变”或“不改变”)。
(3)改变导线中电流的方向,导线受力的方向 (选填“改变”或“不改变”)。
(4)通过实验说明:安培力的方向与磁场方向、电流方向之间的关系满足 。
13.(10分)一根长L=0.2 m的金属棒放在倾角θ=37°的光滑斜面上,并通过I=5 A的电流,电流方向如图所示,整个装置放在磁感应强度B=0.6 T竖直向上的匀强磁场中,金属棒恰能静止在斜面上,则该棒的重力为多少 (sin 37°=0.6)
14.(12分)在真空中,半径r=3×10-2 m的圆形区域内有匀强磁场,方向如图所示,磁感应强度B=0.2 T,一个带正电的粒子以初速度v0=1×106 m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场,已知该粒子的比荷=1×108 C/kg,不计粒子重力。
(1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径。
(2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角,求入射时v0与ab的夹角θ及粒子的最大偏转角。
15.(16分)如图甲所示的xOy平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中,电场强度E和磁感应强度B随时间做周期性变化的图像如图乙所示,y轴正方向为E的正方向,垂直于纸面向里为B的正方向。t=0时刻,带负电粒子P(重力不计)由原点O以速度v0沿y轴正方向射出,它恰能沿一定轨道做周期性运动。v0、E0和t0为已知量,图乙中,在0~t0时间内粒子P第一次离x轴最远时的坐标为。求:
甲
乙
(1)粒子P的比荷;
(2)t=2t0时刻粒子P的位置坐标;
(3)带电粒子在运动中距离原点O的最远距离L。
答案：
1.B 安培力的方向始终与电流方向和磁场方向垂直,选项A错误,选项B正确;由F=BILsin θ可知,安培力的大小与通电直导线和磁场方向的夹角有关,选项C错误;将直导线从中点折成直角时,安培力的大小变为原来的,选项D错误。
2.B 安培力F总是与磁感应强度B和电流I决定的平面垂直,但B与I(即导线)可以垂直,也可以不垂直,通电导线受安培力时,力F与磁场及导线都是垂直的,故A、C、D均错,B正确。
3.A 由左手定则判断,A选项正确;B选项中不受安培力;C选项中安培力向上;D选项中安培力垂直于纸面向外。
4.D 通电导线会在周围产生磁场,磁场的强弱与到导线的距离有关。对于a点,A导线和B导线在此处的磁感应强度大小相等,方向相反,设C导线在此处的磁感应强度大小为B2,所以a点的合磁感应强度大小为B2;对于b点,B导线和C导线在此处的磁感应强度大小相等,方向相同,设B导线在此处的磁感应强度大小为B1,而A导线在此处的磁感应强度大小为B2,则此处的合磁感应强度大小为;对于c点,A导线和C导线在此处的磁感应强度大小相等(均为B1),方向相同,B导线在此处的磁感应强度大小为B2,则此处的合磁感应强度大小为,所以b、c点处磁感应强度一样大,故D正确,A、B、C错误。
5.C 根据左手定则知导线受磁铁的作用力斜向左上方,故由牛顿第三定律知,导线对磁铁的反作用力应斜向右下方,则一方面使磁铁对桌面的压力增大,一方面使磁铁产生向右的运动趋势,从而受到向左的摩擦力作用。
6.D 当粒子所受的洛伦兹力和电场力平衡时,粒子流匀速直线通过该区域,有qvB=qE,所以E=Bv。假设粒子带正电,则受向下的洛伦兹力,电场方向应该向上。粒子带负电时,电场方向仍应向上。故正确答案为D。
7.B 设导线的总长为2L,通过导线的电流为I,题图甲中导线受到的安培力大小为B1IL+B1cos 60°IL=B1IL,题图乙中导线受到的安培力的大小为B2I·2Lcos 30°=B2IL,根据题意,即有B1IL=B2IL,则有,B正确。
8.BD 题图甲中,因导体棒与磁场平行,所以安培力为零,A错误;题图乙中,导体棒与磁场垂直,则安培力的大小为F1=BIL,B正确;题图丙中,导体棒与磁场垂直,则安培力的大小为F2=BIL,C错误;题图丁中,导体棒与磁场成60°角,则安培力的大小为F3=BILsin 60°=BIL,D正确。
9.AC 在磁场中由牛顿第二定律得evB=m ①
质子的最大动能Ekm=mv2 ②
解①②式得Ekm=
要使质子的动能增加为原来的4倍,可以将磁感应强度增大为原来的2倍或将两D形金属盒的半径增大为原来的2倍,故B项错,A、C正确。质子获得的最大动能与加速电压无关,故D项错。
10.AD 离子束在区域Ⅰ中不偏转,一定是qE=qvB,v=,A正确。进入区域Ⅱ后,做匀速圆周运动的半径相同,由r=知,因v、B相同,只能是比荷相同,故D正确,B、C错误。
11.答案 (1) (2)Ek (3)1∶2
解析 回旋加速器的最大半径是一定的,由R=,质子H的质量和电荷量的比值即,而α粒子质量和电荷量的比值为,即RH=,Rα=。
RH=Rα,得vα=mv2=。
所以α粒子动能与质子相同。带电粒子进入磁场做匀速圆周运动的周期T=,所以α粒子的周期是质子运动周期的2倍,即所加交变电场的周期的比为2∶1的关系,则频率之比为1∶2。
12.答案 (1)导线在磁场中的长度 (2)改变 (3)改变
(4)左手定则
13.答案 0.8 N
解析 从侧面对棒受力分析如图,
由左手定则可知安培力的方向水平向右,F=ILB=5×0.2×0.6 N=0.6 N。
由平衡条件得重力mg==0.8 N。
14.答案 (1)5×10-2 m (2)37° 74°
解析 (1)粒子射入磁场后,由于不计重力,洛伦兹力提供圆周运动需要的向心力,根据牛顿第二定律有
qv0B=
R==5×10-2 m。
(2)粒子在圆形磁场区域运动轨迹为一段半径R=5 cm的圆弧,要使偏转角最大,就要求这段圆弧对应的弦最长,即为图形区域的直径,粒子运动轨迹的圆心O'在ab弦的中垂线上,如图所示。由几何关系可知sin θ==0.6,θ=37°
最大偏转角β=2θ=74°。
15.答案 (1) (2) (3)v0t0
解析 (1)0~t0时间内粒子P在匀强磁场中做匀速圆周运动,当粒子所在位置的纵、横坐标相等时,粒子在磁场中恰好经过圆周,所以粒子P第一次离x轴的最远距离等于轨道半径R,即R=①
又qv0B0=m ②
代入
解得。 ③
(2)设粒子P在磁场中运动的周期为T,则T=④
联立①④解得T=4t0 ⑤
即粒子P做圆周运动后磁场变为电场,粒子以速度v0垂直电场方向进入电场后做类平抛运动,设t0~2t0时间内水平位移和竖直位移分别为x1、y1,则
x1=v0t0 ⑥
y1= ⑦
其中加速度a=
解得y1==R,因此t=2t0时刻粒子P的位置坐标为,如图中的b点所示。
(3)分析知,粒子P在2t0~3t0时间内,电场力产生的加速度方向沿y轴正方向,由对称关系知,在3t0时刻速度方向为x轴正方向,位移x2=x1=v0t0;在3t0~5t0时间内粒子P沿逆时针方向做匀速圆周运动,往复运动轨迹如图所示,由图可知,带电粒子在运动中距原点O的最远距离L,即O、d间的距离L=2R+2x1 ⑧习题课 安培力的应用
必备知识基础练
1.如图所示,在固定放置的条形磁铁S极附近悬挂一个金属线圈,线圈与水平磁铁位于同一竖直平面内,当在线圈中通入沿图示方向流动的电流时,将会看到( )
A.线圈向左平移
B.线圈向右平移
C.从上往下看,线圈顺时针转动,同时靠近磁铁
D.从上往下看,线圈逆时针转动,同时靠近磁铁
2.如图所示,用天平测量匀强磁场的磁感应强度。下列各选项所示的载流线圈匝数相同,边长MN相等,将它们分别挂在天平的右臂下方。线圈中通有大小相同的电流,天平处于平衡状态。若磁场发生微小变化,天平最容易失去平衡的是( )
3.如图所示,磁场方向竖直向下,通电直导线ab由水平位置1绕a点在竖直平面内转到位置2,通电导线所受安培力( )
A.数值变大,方向不变
B.数值变小,方向不变
C.数值不变,方向改变
D.数值、方向均改变
4.如图所示,等边三角形线框LMN由三根相同的导体棒连接而成,固定于匀强磁场中,线框平面与磁感应强度方向垂直,线框顶点M、N与直流电源两端相接。已知导体棒MN受到的安培力大小为F,则线框LMN受到的安培力大小为( )
A.2F B.1.5F
C.0.5F D.0
5.如图所示,一通电金属环固定在绝缘的水平面上,在其左端放置一可绕中点O自由转动且可在水平方向自由移动的竖直金属棒,中点O与金属环在同一水平面内,当在金属环与金属棒中通有图中所示方向的电流时,则( )
A.金属棒始终静止不动
B.金属棒的上半部分向纸面外转,下半部分向纸面里转,同时靠近金属环
C.金属棒的上半部分向纸面里转,下半部分向纸面外转,同时靠近金属环
D.金属棒的上半部分向纸面里转,下半部分向纸面外转,同时远离金属环
关键能力提升练
6.(多选)如图所示,有两根用超导材料制成的长直平行细导线a、b,分别通以80 A和100 A流向相同的电流,两导线构成的平面内有一点P,到两导线的距离相等。下列说法正确的是( )
A.两导线受到的安培力Fa=125Fb
B.导线所受安培力可以用F=ILB计算
C.移走导线b前后,P点的磁感应强度方向改变
D.在两导线所在的平面内,存在磁感应强度为零的位置
7.如图所示,U形平行金属导轨与水平面成37°角,金属杆ab横跨放在导轨上,其有效长度为0.5 m,质量为0.2 kg,与导轨间的动摩擦因数为0.1。空间存在竖直向上的磁感应强度为2 T的匀强磁场。已知最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。要使ab杆在导轨上保持静止,则ab中的电流大小应在什么范围内
8.如图所示,电源电动势为3 V,内阻不计,两个不计电阻的金属圆环表面光滑,竖直固定在等长的绝缘细杆上,金属圆环环面平行,相距1 m,两金属圆环分别与电源正负极相连。现将一质量为0.06 kg、电阻为1.5 Ω的导体棒轻放在金属圆环上,导体棒与金属圆环有良好电接触。两金属圆环之间有方向竖直向上、磁感应强度为0.4 T的匀强磁场。重力加速度g取10 m/s2,当开关闭合后,导体棒沿金属圆环上滑到某位置静止不动。
(1)求在此位置上棒对每一个金属圆环的压力大小。
(2)若已知金属圆环半径为0.5 m,求此位置与金属圆环底的高度差。
9.载流长直导线周围磁场的磁感应强度大小为B=,式中常量k>0,I为电流,r为距导线的距离。在水平长直导线MN正下方,矩形线框abcd通以逆时针方向的恒定电流,被两根等长的轻质绝缘细线静止地悬挂在MN上,如图所示。开始时MN内不通电流,此时两细线内的拉力均为FT0。当MN内电流为I1时,两细线的拉力均减小为FT1;当MN内电流变为I2时,两细线的拉力均大于FT0。
(1)分别说出电流I1、I2的方向。
(2)求MN内电流分别为I1和I2时,线框受到的安培力F1与F2的大小之比。
(3)当MN内的电流为I3时两细线恰好断裂,在此瞬间线框的加速度大小为a,已知重力加速度为g,求I3。
10.某电子天平原理如图所示,E形磁铁的两侧为N极,中心为S极,两极间的磁感应强度大小均为B,磁极宽度均为L,忽略边缘效应,一正方形线圈套于中心磁极,其骨架与秤盘连为一体,线圈两端C、D与外电路连接,当质量为m的重物放在秤盘上时,弹簧被压缩,秤盘和线圈一起向下运动(骨架与磁极不接触),随后外电路对线圈供电,秤盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止,由此时对应的供电电流I可确定重物的质量。已知线圈匝数为n,线圈电阻为R,重力加速度为g。
(1)供电电流I是从C端还是从D端流入 求重物质量与电流的关系。
(2)若线圈消耗的最大功率为P,求该电子天平能称量的最大质量。
答案：
1.C 把通电线圈等效成小磁针,等效小磁针的N极垂直于纸面向外,根据同名磁极相互排斥,异名磁极相互吸引可知,从上往下看,线圈顺时针转动,同时靠近磁铁,C正确。
2.A 由安培力F=BIL可知,线圈在磁场中的有效长度越大,天平越容易失去平衡,故A正确。
3.B 安培力F=BIL,电流不变,垂直直导线的有效长度减小,安培力减小,安培力的方向总是垂直B、I所构成的平面,所以安培力的方向不变,B正确。
4.B 导体棒MN受到的安培力为F=BIl。根据串、并联电路的特点可知,导体棒ML与LN的电阻之和是导体棒MN电阻的2倍,导体棒MN的电流是导体棒ML与LN电流的2倍,导体棒处在同一磁场中,导体棒ML与LN的有效长度与导体棒MN相同,导体棒ML与LN受到安培力的合力为0.5F。根据左手定则,导体棒ML与LN受到安培力的合力方向与导体棒MN受到的安培力方向相同,线框LMN受到安培力的合力为1.5F,故选B。
5.B 由通电金属环产生的磁场特点可知,其在金属棒的上半部分产生有水平向左的磁场分量,由左手定则可判断金属棒上半部分受到方向垂直纸面向外的安培力,故向纸面外转;同理可判断金属棒的下半部分向纸面里转。当金属棒转动到平行水平面时,由同向电流相吸,反向电流相斥可知,金属棒在靠近金属环,B正确。
6.BCD 两导线受到的安培力是相互作用力,大小相等,故A错误;因为磁场与导线垂直,导线所受的安培力可以用F=ILB计算,故B正确;移走导线b前,导线b电流较大,P点磁场方向与导线b产生的磁场方向相同,垂直纸面向里,移走导线b后,P点磁场方向与导线a产生的磁场方向相同,垂直纸面向外,故C正确;在两导线所在的平面内,由磁场叠加可知,存在磁感应强度为零的位置,故D正确。
7.答案 1.21 A≤I≤1.84 A
解析 先画出金属杆受力的侧面图,由于安培力的大小与电流有关,因此改变电流的大小,可以改变安培力的大小,也可以使导线所受的摩擦力方向发生变化。由平衡条件可知,当电流较小时,导线所受的摩擦力方向沿斜面向上,如图甲所示。
则mgsin θ=μ(mgcos θ+F1sin θ)+F1cos θ
又F1=BI1L,解得I1==1.21 A
当电流较大时,导线所受的摩擦力方向沿斜面向下,如图乙所示。
则mgsin θ+μ(mgcos θ+F2sin θ)=F2cos θ
又F2=BI2L,解得I2==1.84 A
所以1.21 A≤I≤1.84 A。
8.答案 (1)0.5 N (2)0.2 m
解析 (1)导体棒受的安培力F=BIL,棒中电流为I=
代入数据解得F==0.8 N
对导体棒受力分析如图所示(从右向左看)
两金属圆环支持力的总和为2FN=
代入数据解得FN=0.5 N
由牛顿第三定律知,导体棒对每一个金属圆环的压力为0.5 N。
(2)由图中几何关系有tan θ=,得θ=53°
则棒距环底的高度为h=r(1-cos θ)=0.2 m。
9.答案 (1)I1方向向左 I2方向向右 (2)I1∶I2
(3)I1
解析 (1)MN内电流为I1时,两细线的拉力减小,线框所受安培力方向向上,由左手定则可知,I1方向向左,同理可知,I2方向向右。
(2)当MN中电流为I时,线框受到的安培力大小为F=kIiL
式中r1、r2分别为ab、cd与MN的间距,i为线框中的电流,L为ab、cd的长度
所以F1∶F2=I1∶I2。
(3)设MN中电流为I3时,线框受到的安培力大小为F3,由题设条件有
2FT0=mg,2FT1+F1=mg,F3+mg=ma
则
解得I3=I1。
10.答案 (1)从D端流入 m=I (2)
解析 (1)设线圈受到的安培力为FA,由题意知,FA方向向上,故根据左手定则知,外加供电电流从D端流入
由FA=mg和FA=2nBIL,得m=I。
(2)设能称量的最大质量为m0习题课 带电粒子在复合场中的运动
必备知识基础练
1.(多选)如图所示,a为带正电的小物块,b是一不带电的绝缘物块,a、b叠放于粗糙的水平地面上,地面上方有垂直纸面向里的匀强磁场。现用水平恒力F拉b物块,使a、b一起无相对滑动地向左加速运动,在加速运动阶段( )
A.a、b一起运动的加速度减小
B.a、b一起运动的加速度增大
C.a、b物块间的摩擦力减小
D.a、b物块间的摩擦力增大
2.带电质点在匀强磁场中运动,某时刻速度方向如图所示,所受的重力和洛伦兹力的合力恰好与速度方向相反,不计阻力,则在此后的一小段时间内,带电质点( )
A.可能做直线运动
B.可能做匀减速运动
C.一定做曲线运动
D.可能做匀速圆周运动
3.(多选)如图所示,匀强磁场方向垂直纸面向里,匀强电场方向竖直向下,有一正离子恰能沿直线从左向右水平飞越此区域。不计重力,则( )
A.若电子以和正离子相同的速率从右向左飞入,电子也沿直线运动
B.若电子以和正离子相同的速率从右向左飞入,电子将向上偏转
C.若电子以和正离子相同的速率从左向右飞入,电子将向下偏转
D.若电子以和正离子相同的速率从左向右飞入,电子也沿直线运动
4.(多选)如图所示,ABC为竖直平面内的光滑绝缘轨道,其中AB为倾斜直轨道,BC为与AB相切的圆形轨道,并且圆形轨道处在匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里。质量相同的甲、乙、丙三个小球中,甲球带正电、乙球带负电、丙球不带电。现将三个小球在轨道AB上分别从不同高度处由静止释放,都恰好通过圆形轨道的最高点,则( )
A.经过最高点时,三个小球的速度相等
B.经过最高点时,甲球的速度最小
C.甲球的释放位置比乙球的高
D.运动过程中三个小球的机械能均保持不变
5.如图所示,空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向上(与纸面平行),磁场方向垂直于纸面向里。三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等,质量分别为ma、mb、mc。已知在该区域内,a在纸面内做匀速圆周运动,b在纸面内向右做匀速直线运动,c在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是( )
A.ma>mb>mc B.mb>ma>mc
C.mc>ma>mb D.mc>mb>ma
6.在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中,有一倾角为θ、足够长的光滑绝缘斜面,磁感应强度为B,方向垂直纸面向外,电场方向竖直向上,有一质量为m、电荷量为+q的小球静止在斜面顶端,这时小球对斜面的正压力恰好为零,如图所示。若迅速把电场方向反转为竖直向下,小球能在斜面上连续滑行多远 所用时间是多少
关键能力提升练
7.(2021山东泰安期中)如图所示,空间中存在着水平向右的匀强电场,电场强度大小E=5 N/C,同时存在着垂直于纸面向里的匀强磁场,其方向与电场方向垂直,磁感应强度大小B=0.5 T。有一带正电的小球,质量m=1×10-6 kg,电荷量q=2×10-6 C,正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动,当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象),g取10 m/s2。求:
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向;
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。
8.如图所示的平面直角坐标系xOy,在第一象限内有平行于y轴的匀强电场,方向沿y轴正方向;在第四象限的正方形abcd区域内有匀强磁场,方向垂直于xOy平面向里,正方形边长为l且ad边与x轴重合,ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子,从y轴上的P(0,h)点,以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场,通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第四象限的磁场区域,不计粒子所受的重力。
(1)求电场强度E的大小。
(2)求粒子到达a点时速度的大小和方向。
(3)磁感应强度B满足什么条件时,粒子经过磁场后能到达y轴上,且速度与y轴负方向成45°角
9.如图所示,绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场,电场方向水平向右,电场强度大小为E,磁场方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑,到达C点时离开MN做曲线运动。A、C两点间距离为h,重力加速度为g。
(1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC。
(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf。
(3)若D点为小滑块在静电力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置,当小滑块运动到D点时撤去磁场,此后小滑块继续运动到水平地面上的P点。已知小滑块在D点时的速度大小为vD,从D点运动到P点的时间为t,求小滑块运动到P点时速度的大小vP。
10.(2021山东卷)某离子实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d,左边界与x轴垂直交于坐标原点O,其内充满垂直于xOy平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B0;Ⅱ区宽度为L,左边界与x轴垂直交于O1点,右边界与x轴垂直交于O2点,其内充满沿y轴负方向的匀强电场。测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界,其中心C与O2点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子,加速后沿x轴正方向过Q点,依次经Ⅰ区、Ⅱ区,恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为θ。忽略离子间的相互作用,不计重力。
甲
乙
(1)求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v。
(2)求Ⅱ区内电场强度的大小E。
(3)保持上述条件不变,将Ⅱ区分为左右两部分,分别填充磁感应强度大小均为B(数值未知)方向相反且平行y轴的匀强磁场,如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C点,需沿x轴移动测试板,求移动后C到O1的距离s。
答案：
1.AC 以a为研究对象,分析a的受力情况,a向左加速→受洛伦兹力方向向下→对b的压力增大。以a、b整体为研究对象,分析整体受到的合外力,b对地面压力增大→b受的摩擦力增大→整体合外力减小→加速度减小。再分析a,b对a的摩擦力是a受到的合外力,a的加速度减小→a受到的合外力减小→a、b间的摩擦力减小。故选A、C。
2.C 带电质点在运动过程中,重力做功,速度大小和方向发生变化,洛伦兹力的大小和方向也随之发生变化,故带电质点不可能做直线运动,也不可能做匀减速运动和匀速圆周运动,一定做曲线运动,C正确。
3.BD 若电子从右向左飞入,静电力向上,洛伦兹力也向上,所以向上偏,B正确,A错误;若电子从左向右飞入,静电力向上,洛伦兹力向下,由题意知电子受力平衡将做匀速直线运动,D正确,C错误。
4.CD 设磁感应强度为B,圆形轨道半径为r,三个小球质量均为m,它们恰好通过最高点时的速度分别为v甲、v乙和v丙,则mg+Bv甲q甲=,mg-Bv乙q乙=,mg=,显然,v甲>v丙>v乙,选项A、B错误;三个小球在运动过程中,只有重力做功,即它们的机械能守恒,选项D正确;甲球在最高点处的动能最大,因为势能相等,所以甲球的机械能最大,甲球的释放位置最高,选项C正确。
5.B 设三个微粒的电荷量均为q,a在纸面内做匀速圆周运动,说明洛伦兹力提供向心力,重力与静电力平衡,即mag=qE;b在纸面内向右做匀速直线运动,三力平衡,则mbg=qE+qvB;c在纸面内向左做匀速直线运动,三力平衡,则mcg+qvB=qE。比较各式可得mb>ma>mc,选项B正确。
6.答案
解析 电场反转前,有mg=qE
电场反转后,小球先沿斜面向下做匀加速直线运动,到对斜面压力减为零时开始离开斜面,此时有
qvB=(mg+qE)cos θ
小球在斜面上滑行距离
s=vt=at2
a=
联立得s=
所用时间为t=。
7.答案 (1)20 m/s,方向与电场方向成60°角斜向上
(2)2 s
解析 (1)小球匀速直线运动时受力如图所示,其所受的三个力在同一平面内,合力为零,
有qvB=
代入数据解得v=20 m/s
速度v的方向与电场E的方向之间的夹角θ满足tan θ=
代入数据解得
tan θ=
θ=60°。
(2)撤去磁场后,由于静电力垂直于竖直方向,它对竖直方向的分运动没有影响,以P点为坐标原点,竖直向上为正方向,小球在竖直方向上做匀减速运动,其初速度为vy=vsin θ
若使小球再次穿过P点所在的电场线,仅需小球的竖直方向上分位移为零,
则有vyt-gt2=0
联立解得t=2 s。
8.答案 (1) (2)v0,方向与x轴正方向成45°角
(3)B≥
解析 (1)粒子做类平抛运动,如图所示
沿y轴方向h=t2
沿x轴方向2h=v0t
解得E=。
(2)到达a点时水平速度为v0,竖直速度为vy
水平方向2h=v0t,
竖直方向h=vyt
得vy=v0
所以到达a点的速度va=v0,方向与x轴正方向成45°角。
(3)粒子到达y轴上,且速度与y轴负方向成45°角,必须要从ab边射出,从b点射出时对应的磁感应强度B最小,粒子在磁场中的轨迹是以O1为圆心的一段四分之一圆弧,设半径为r1,r1=l
由Bqva=m得B=
所以磁感应强度须满足的条件为B≥。
9.答案 (1)
(2)mgh-
(3)
解析 (1)小滑块沿MN运动过程,水平方向受力满足
qvB+FN=qE
小滑块在C点离开MN时,FN=0
解得vC=。
(2)由动能定理得mgh-Wf=-0
解得Wf=mgh-。
(3)小滑块的运动轨迹如图所示
小滑块速度最大时,速度方向与静电力、重力的合力方向垂直。撤去磁场后小滑块将做类平抛运动,等效加速度为g',g'=+g'2t2
解得vP=。
10.答案 (1)
(2)
(3)L
解析 (1)设离子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为r,由牛顿第二定律得qvB0=m
根据几何关系得sin θ=
联立解得v=。
(2)离子在Ⅱ区内只受静电力,x方向做匀速直线运动,y方向做匀变速直线运动,设从进入电场到击中测试板中心C的时间为t,y方向的位移为y0,加速度大小为a,由牛顿第二定律得qE=ma
由运动的合成与分解得L=vtcos θ,y0=-r(1-cos θ),y0=vtsin θ-at2
联立得E=。
(3)Ⅱ区内填充磁场后,离子在垂直y轴的方向做匀速圆周运动,如图所示,设左侧部分的圆心角为α,圆周运动半径为r',运动轨迹长度为l',由几何关系得α=,l'=×2πr'+×2πr'
离子在Ⅱ区内的运动时间不变,故有
C到O1的距离s=2r'sin α+r'
联立得s=L。习题课 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
必备知识基础练
1.如图所示,比荷为的电子垂直射入宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场区域,则电子能从右边界射出这个区域至少应具有的初速度大小为( )
A. B. C. D.
2.一正电荷q在匀强磁场中,以速度v沿x轴正方向进入垂直纸面向里的匀强磁场中,磁感应强度为B,如图所示,为了使电荷能做直线运动,则必须加一个电场进去,不计重力,此电场的电场强度应该是( )
A.沿y轴正方向,大小为
B.沿y轴负方向,大小为Bv
C.沿y轴正方向,大小为
D.沿y轴负方向,大小为
3.如图所示,水平放置的平行板长度为L、两板间距也为L,两板之间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场,在两板正中央P点有一个不计重力的电子(质量为m、电荷量为-e),现在给电子一水平向右的瞬时初速度v0,欲使电子不与平行板相碰撞,则( )
A.v0>或v0<
B.C.v0>
D.v0<
4.如图所示,半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场,P为磁场边界上的一点,大量质量为m、电荷量为q的带正电的粒子,在纸面内沿各个方向以速率v从P点射入磁场,这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ圆弧上且Q点为最远点,已知PQ圆弧长等于磁场边界周长的,不计粒子重力和粒子间的相互作用,则该匀强磁场的磁感应强度大小为( )
A. B.
C. D.
5.(多选)如图所示,在x>0,y>0的空间有恒定的匀强磁场,磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里,大小为B,现有四个质量及电荷量均相同的带电粒子,由x轴上的P点以不同的初速度平行于y轴射入此磁场,运动轨迹如图所示,不计重力的影响,则( )
A.初速度最大的粒子是沿①射出的粒子
B.初速度最大的粒子是沿②射出的粒子
C.在磁场中运动时间最长的是沿③射出的粒子
D.在磁场中运动时间最长的是沿④射出的粒子
6.如图所示,在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后,沿平行于x轴的方向射入磁场;一段时间后,该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点,N点在y轴上,OP与x轴的夹角为30°,粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d,不计重力。求:
(1)带电粒子的比荷;
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
关键能力提升练
7.如图所示,圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场,经过Δt时间从C点射出磁场,OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为,仍从A点沿原方向射入磁场,不计重力,则粒子在磁场中的运动时间变为( )
A.Δt B.2Δt
C.Δt D.3Δt
8.(2020全国Ⅲ卷)真空中有一匀强磁场,磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面,磁场的方向与圆柱轴线平行,其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m,电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,磁场的磁感应强度最小为( )
A. B. C. D.
9.(多选)电荷量分别为q和-q的两个带电粒子a、b分别以速度va和vb射入匀强磁场,两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°,磁场宽度为d且AB=d,两粒子同时由A点射入,同时到达B点,如图所示,则( )
A.a粒子带负电,b粒子带正电
B.两粒子的轨道半径之比ra∶rb=∶1
C.两粒子的速度之比va∶vb=1∶2
D.两粒子的质量之比ma∶mb=1∶2
10.如图所示,在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场,一质量为m=5.0×10-8 kg、电荷量为q=1.0×10-6 C的带正电的粒子由静止开始经U0=10 V的电压加速后,从P点沿图示方向进入磁场,已知OP=30 cm,粒子重力不计,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求带电粒子到达P点时的速度v的大小。
(2)若粒子不能进入x轴上方,求磁感应强度B满足的条件。
答案：
1.B 要使电子能从右边界射出这个区域,则有R≥d,根据洛伦兹力提供向心力,可得R=≥d,则至少应具有的初速度大小为,B正确。
2.B 要使电荷能做直线运动,必须使静电力抵消洛伦兹力,本题正电荷所受洛伦兹力的方向沿y轴正方向,故静电力必须沿y轴负方向且qE=qvB,即E=Bv,B正确。
3.A 电子在磁场中做匀速圆周运动,半径为R=。当R1=时,电子恰好与下板相切;当R2=时,电子恰好从下板右边缘飞出两平行板(即飞出磁场)。由R1=,解得v1=,由R2=,解得v2=,所以欲使电子不与平行板相碰撞,电子初速度v0应满足v0>或v0<,故选项A正确。
4.D 从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为Q,最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点,PQ圆弧长等于磁场边界周长的,设磁场圆心为O,则∠POQ=90°,粒子轨迹半径r=R,又因为r=,所以B=,D正确。
5.AD 显然图中四条圆弧中①对应的半径最大,由半径公式r=可知,质量和电荷量相同的带电粒子在同一个磁场中做匀速圆周运动的速度越大,半径越大,A正确,B错误;根据周期公式T=知,当圆弧对应的圆心角为θ时,带电粒子在磁场中运动的时间为t=,圆心角越大,则带电粒子在磁场中运动时间越长,圆心均在x轴上,由题图可知④的圆心角为π,且最大,故在磁场中运动时间最长的是沿④射出的粒子,C错误,D正确。
6.答案 (1) (2)
解析 (1)设带电粒子的质量为m、电荷量为q,加速后的速度大小为v。由动能定理有qU=mv2 ①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qvB=m ②
由几何关系知
d=r ③
联立①②③式得
。 ④
(2)由几何关系知,带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为s=+rtan 30°⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为t= ⑥
联立②④⑤⑥式得t=。 ⑦
7.B 设带电粒子以速度v进入磁场做圆周运动,圆心为O1,半径为r1,则根据qvB=,得r1=,根据几何关系得=tan ,且φ1=60°。当带电粒子以v的速度进入时,轨道半径r2=r1,圆心在O2,则=tan ,即tan =3tan 。故=60°,φ2=120°;带电粒子在磁场中运动的时间t=T,所以,即Δt2=2Δt1=2Δt,故选项B正确,A、C、D错误。
8.C 根据题意,电子的运动被限制在实线圆区域内的条件是轨迹圆与实线圆相切,画出临界状态电子的运动轨迹如图所示,根据图中几何关系可得+r=3a,解得r=a;电子在匀强磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,evB=m,解得B=,选项C正确。
9.AD 根据左手定则可判断出,a粒子带负电,b粒子带正电,故A正确;两粒子在磁场中做圆周运动,如图所示,Oa、Ob分别为其轨迹圆心,磁场宽度为d,由几何关系可知ra=,rb=d,所以ra∶rb=1∶,故B错误;两粒子的轨迹所对圆心角分别为θa=120°和θb=60°,两粒子在磁场中的运动时间相等,即,则Tb=2Ta,洛伦兹力提供向心力,运动周期T=,两粒子的电荷量相同,在同一磁场中,B相同,周期与质量成正比,所以ma∶mb=Ta∶Tb=1∶2,故D正确;由qvB=m得v=,即速度与轨迹半径成正比,与质量成反比,所以,故C错误。
10.答案 (1)20 m/s (2)B≥ T
解析 (1)对于带电粒子的加速过程,由动能定理得qU0=mv2,解得v=20 m/s。
(2)带电粒子不从x轴射出的临界情况如图所示
