重庆市松树桥中学高2026届高一数学
第三次诊断试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各角，与330°角的终边相同的角是（ ）
A. 510° B. 150° C. -150° D. -390°
2. 设，，则（ ）
A B. C. D.
3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则=（ ）
A. B. C. 或 D. 或
6. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 13 C. 12 D. 9
7. 若定义在R偶函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 是第二象限角
B. 第三象限角大于第一象限角
C. 若角为第三象限角，那么为第二象限角
D. 若角与角的终边在一条直线上，则
10. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. 已知，则的值为11
B. 若，则函数的最小值为
C. 函数是偶函数
D. 函数在区间内必有零点
11. 下列说法正确的是（ ）
A. “”的否定为“”
B. 函数的单调递增区间是
C. 已知扇形的面积是，半径是，则扇形的圆心角的弧度数为4
D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
12. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 函数的值域为
B. 方程有两个不等的实数解
C. 不等式的解集为
D. 关于的方程的解的个数可能为
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）．
13. 已知函数（且）图象恒过定点，则点的坐标为______.
14. 已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1时，至少需要进行__________次函数值的计算.
15. 函数，的值域是______．
16. 已知，且为第四象限角，则______．
四、解答题：本大题6个小题，共70分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．
17. 设函数的定义域为，集合（）.
（1）求集合；
（2）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18. 已知的最小正周期为π.
（1）求ω的值；
（2）求的单调递增区间；
（3）求在区间上的最大值.
19. 已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点.
（1）求的值；
（2）求的值.
20. 已知点在幂函数的图象上， .
（1）求的解析式；
（2）若，且方程有解，求实数取值范围；
（3）当时，解关于的不等式.
21. 华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完
（1）求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润=销售额-成本）
（2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
22. 已知函数.
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2），关于的方程在总有两个不同实数解，求实数的取值范围；重庆市松树桥中学高2026届高一数学
第三次诊断试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各角，与330°角的终边相同的角是（ ）
A. 510° B. 150° C. -150° D. -390°
【答案】D
【解析】
【分析】根据终边相同角的表示即可求解.
【详解】与330°角的终边相同的角为，
当时， ，
故选：D
2. 设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数的运算公式直接求解.
【详解】.
故选：A.
3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数、幂函数、对数函数、正切函数的性质一一判断.
【详解】对A，，在单调递减，单调递增，
且为偶函数，A错误；
对B，根据幂函数的性质可知，函数既是奇函数又是增函数，B正确；
对C，在定义域单调递增，为非奇非偶函数，C错误；
对D，函数是奇函数，在区间上单调递增，D错误；
故选:B.
4. 若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数单调性分析判断.
【详解】因为在上单调递减，且，则，
又因为在上单调递增，且，则，
所以，即.
故选：D.
5. 已知，则=（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】利用弦化切可得出关于的等式，即可求得的值.
【详解】因为
，解得.
故选：A.
6. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 13 C. 12 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为9.
故选：D.
7. 若定义在R的偶函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数奇偶性即单调性解不等式.
【详解】因为定义在R的偶函数在单调递增，且，
所以在单调递减，且，
由可得或，
解得，或，
所以满足的x的取值范围是
故选：B
8. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断函数奇偶性排除D，再根据时，，故排除AB即可得答案.
【详解】解：函数的定义域为，，
所以函数为奇函数，故排除D，
由于，故当时，，故排除AB，
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 是第二象限角
B. 第三象限角大于第一象限角
C. 若角为第三象限角，那么为第二象限角
D. 若角与角的终边在一条直线上，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据象限角的范围可以判断ABC，根据终边相同的角的范围可判断D.
【详解】对于A，，，是第二象限角，故A正确；
对于B，是第三象限角，是第一象限角，但，故B错误；
对于C，是第三象限角，是第四象限角，故C错误；
对于D，若角与角的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差的整数倍，故D正确；
故选：AD
10. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. 已知，则的值为11
B. 若，则函数的最小值为
C. 函数是偶函数
D. 函数在区间内必有零点
【答案】AD
【解析】
【分析】代入求值判断A，利用基本不等式求最值判断B，根据偶函数的定义判断C，根据零点存在性定理判断D.
【详解】对于A，由函数，令，可得，正确；
对于B，若，由，
当且仅当时，即时，等号显然不成立，错误；
对于C，由函数，则满足，解得，
即函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，错误；
对于D，由函数，可得，
所以，且函数连续不间断，所以函数在内必有零点，正确.
故选：AD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. “”的否定为“”
B. 函数的单调递增区间是
C. 已知扇形的面积是，半径是，则扇形的圆心角的弧度数为4
D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用命题的否定，复合函数的单调性，定义域，扇形等相关知识逐个分析即可.
【详解】对于A，命题的否定为，故A错，
对于B，定义域为，且的单增区间为，故的单调递增区间是，故B正确，
对于C，由扇形弧长与面积之间的公式得：扇形弧长为，设圆心角为，
故，故C正确，
对于D, 的定义域为，，解得，
故的定义域为，，解得，函数的定义域为，故D正确，
故选：BCD
12. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 函数的值域为
B. 方程有两个不等的实数解
C. 不等式的解集为
D. 关于的方程的解的个数可能为
【答案】ACD
【解析】
【分析】画出函数的图象，通过图象即可确定函数的值域求解A，根据与函数图象的交点个数即可求解B,根据时确定或，即可由或求解C，结合二次函数的性质即可求解D.
【详解】画出的图象，如下图所示：
令，解得或，
所以的图象与轴交于，
对于A，由图象可知，函数的值域为A对；
对于B，由图象可知，直线与函数图象有三个不同的交点，故方程有三个不等的实数解，B错；
对于C，由图象可知，当或时，，所以，由，可得或.
令，解得或；令，解得或，
由图象可知，不等式解集为C对；
对于D，令，则，则，
当时，，由图可知与的图象有两个交点，即方程解的个数为2个，
当时，即时，，则，
故，，
当时，则有两解，
当时，若，则有三解，若，则有两解，
故方程解的个数为4或5个，综上方程解的个数可能为个.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：函数零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）．
13. 已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据得出指数型函数恒过定点.
【详解】令，得，则.
所以函数（且）的图象恒过定点.
故答案为：.
14. 已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1时，至少需要进行__________次函数值的计算.
【答案】4
【解析】
【分析】根据二分法求零点的方法，计算一次，区间精度变为上一次的，根据精度要求即可求解.
【详解】设对区间二等分次，初始区间长度为1，
第1次计算后区间长度为；
第2次计算后区间长度为；
第3次计算后区间长度为；
第4次计算后区间长度为；
故至少计算4次
故答案为：4.
15. 函数，的值域是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，，可知，再根据正切函数的单调性，即可求出结果.
【详解】．
∵，∴．
由函数在上单调递增，所以，
故函数，的值域为．
故答案为：.
16. 已知，且为第四象限角，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出，再求的值.
【详解】因，且为第四象限角，
所以是第三象限角，
所以，
所以．
故答案为
【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系和诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
四、解答题：本大题6个小题，共70分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．
17. 设函数的定义域为，集合（）.
（1）求集合；
（2）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的定义域及根式有意义列出不等式组，求出集合；
（2）根据p是q的必要不充分条件，得到是的真子集，分与两种情况，进行求解.
【小问1详解】
要使得函数有意义，只需要解得，
所以集合.
【小问2详解】
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
当时，，解得；
当时，解得，
综上可知，实数的取值范围是.
18. 已知的最小正周期为π.
（1）求ω的值；
（2）求的单调递增区间；
（3）求在区间上的最大值.
【答案】（1）
（2）单调递增区间，
（3）2
【解析】
【分析】（1）由周期公式，即可求参数值；
（2）应用整体法，根据正弦函数的单调性求增区间；
（3）首先求得，再由正弦函数性质求值域，即可得最大值.
【小问1详解】
由，可得.
【小问2详解】
由（1）知：，
令，，则，，
所以的单调递增区间，.
【小问3详解】
由题设，，故，
所以，故最大值为2.
19. 已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据角的终边上点的坐标得到，，然后计算即可；
（2）利用诱导公式化简原式得到，然后根据角的终边上点的坐标求即可.
【小问1详解】
因为角的终边上有点，
所以，
，
所以.
【小问2详解】
.
20. 已知点在幂函数的图象上， .
（1）求的解析式；
（2）若，且方程有解，求实数的取值范围；
（3）当时，解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）或
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，即可求得的解析式；
（2）根据一元二次方程有解，，解出即可；
（3）结合条件把不等式化为，分类讨论的取值范围，即可得到不等式的解集.
【小问1详解】
设幂函数，
由点在幂函数图象上，
所以，解得，
所以；
【小问2详解】
时，，
由方程有解，
可得，
解得或；
【小问3详解】
由得 ，即 ，
所以，
当即时，的解集为，
当即时，的解集为，
当即时，的解集为.
21. 华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完
（1）求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润=销售额-成本）
（2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）2023年产量100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元
【解析】
【分析】（1）由题意得到，从而根据求出（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；
（2）时，配方求出的最大值，时，利用基本不等式求出的最大值，比较后得到结论.
【小问1详解】
由题意得：，
故当时，，
当时，，
故（万元）关于年产量（千部）的函数关系式为：
.
【小问2详解】
当时，，
故当时，取得最大值，最大值为万元；
当时，由基本不等式得：
（万元），
当且仅当，时，等号成立，
因为，所以2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元.
22. 已知函数.
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2），关于方程在总有两个不同实数解，求实数的取值范围；
（3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1），从而求解；
（2）由题意得化简得，则恒成立，从而可求解；
（3）由题意得在上恒成立，得，然后令并结合基本不等式从而求解.
【小问1详解】
当时，则，
由，则，解得或；
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
由题意得在总有两个不同实数解，
即在总有两个不同实数解，
由解得或，
所以，则，
因为对时在总有两个不同实数解恒成立，所以，
故的取值范围为.
【小问3详解】
由即在上恒成立，得，
令，则，
当且仅当，即时取等号，所以.
故实数的取值范围为.
