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2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题06 实数单元考点讲析
(
课标要求
)
（1）了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。
（2）能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。
（3）能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。
（4）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
（5）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数） 的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。
（6）能用有理数估计一个无理数的大致范围。
（7）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算, 会按问题的要求进行近似计算。
(
知识
点梳理
)
知识点1. 平方根
1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
2. 平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±”（a称为被开方数）。
3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
4. 平方根和算术平方根的区别与联系：
区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。
联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。
5.平方表：（自行完成）
12= 62= 112= 162= 212=
22= 72= 122= 172= 222=
32= 82= 132= 182= 232=
42= 92= 142= 192= 242=
52= 102= 152= 202= 252=
知识点2. 立方根
1. 立方根：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“”（a称为被开方数）。
2. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
4. 立方根与平方根的区别：
一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.
知识点3. 实数分类
1.有理数：任何有限小数或者无限循环小数都是有理数。
2.无理数：无限不循环小数叫做无理数。
3.实数：有理数和无理数统称实数。
4.设a表示实数，则a的相反数是-a
|a|≥0
当a>0时， |a|=a
当a=0时，|a|=0
当a<0时，|a|=-a
5.实数大小比较的三种方法：
（1）法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
（2）数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
（3）作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
(
方法总结
)
实数部分主要要求学生了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。重点是实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。
（1）平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
（2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
（3）本身为非负数，有非负性，即≥0；有意义的条件是a≥0。
（4）公式：⑴()2=a（a≥0）；⑵=（a取任何数）。
（5）区分()2=a（a≥0），与 =
（6）非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
(
例题解析
)
考点1.实数的分类
【例题1】有下列四个论断：①﹣是有理数；② 是分数；③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点2. 平方根
【例题2】求下列各数的平方根：
(1)1；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5).
【变式训练1】已知一个正数的两个平方根分别是2m+1和5-3m,求m的值和这个正数.
【变式训练2】（2023甘肃兰州）如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则______．
【变式训练3】（﹣2）2的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C．﹣2 D．
【变式训练4】利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ）
A．按键即可进入统计计算状态
B．计算的值，按键顺序为：
C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果
D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333
考点3. 立方根
【例题3】（2023湖南郴州） 计算：___．
考点4. 实数与数轴
【例题4】（2023山东菏泽） 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【变式训练】（2023江苏扬州）已知，则a、b、c的大小关系是( )
A. B. C. D.
考点5.实数的混合运算
【例题5】（2023福建）计算：．
【变式训练】（2022浙江嘉兴）计算：
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2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题06 实数单元考点讲析
(
课标要求
)
（1）了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。
（2）能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。
（3）能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。
（4）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
（5）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数） 的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。
（6）能用有理数估计一个无理数的大致范围。
（7）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算, 会按问题的要求进行近似计算。
(
知识
点梳理
)
知识点1. 平方根
1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
2. 平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±”（a称为被开方数）。
3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
4. 平方根和算术平方根的区别与联系：
区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。
联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。
5.平方表：（自行完成）
12= 62= 112= 162= 212=
22= 72= 122= 172= 222=
32= 82= 132= 182= 232=
42= 92= 142= 192= 242=
52= 102= 152= 202= 252=
知识点2. 立方根
1. 立方根：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“”（a称为被开方数）。
2. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
4. 立方根与平方根的区别：
一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.
知识点3. 实数分类
1.有理数：任何有限小数或者无限循环小数都是有理数。
2.无理数：无限不循环小数叫做无理数。
3.实数：有理数和无理数统称实数。
4.设a表示实数，则a的相反数是-a
|a|≥0
当a>0时， |a|=a
当a=0时，|a|=0
当a<0时，|a|=-a
5.实数大小比较的三种方法：
（1）法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
（2）数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
（3）作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
(
方法总结
)
实数部分主要要求学生了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。重点是实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。
（1）平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
（2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
（3）本身为非负数，有非负性，即≥0；有意义的条件是a≥0。
（4）公式：⑴()2=a（a≥0）；⑵=（a取任何数）。
（5）区分()2=a（a≥0），与 =
（6）非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
(
例题解析
)
考点1.实数的分类
【例题1】有下列四个论断：①﹣是有理数；② 是分数；③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．根据无理数的概念即可判定选择项．
①﹣是有理数，正确；②是无理数，故错误；
③2.131131113…是无理数，正确；④π是无理数，正确；正确的有3个．
考点2. 平方根
【例题2】求下列各数的平方根：
(1)1；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5).
【答案】见解析。
【解析】把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．
(1)∵1＝，(±)2＝，∴1的平方根为±，即±＝±；
(2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±＝±0.01；
(3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±＝±4；
(4)∵(±10－3)2＝10－6，∴10－6的平方根是±10－3，即±＝±10－3；
(5)∵(±3)2＝9＝，∴的平方根是±3.
方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(5)中是求9的平方根．
【变式训练1】已知一个正数的两个平方根分别是2m+1和5-3m,求m的值和这个正数.
【答案】169
【解析】因为一个正数的两个平方根互为相反数,所以(2m+1)+(5-3m)=0,解得m=6.此时 2m+1=2×6+1=13,5-3m=5-3×6=-13.因为(±13)2=169,所以这个正数是169.
【变式训练2】（2023甘肃兰州）如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则______．
【答案】
【解析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可．
∵正方形的面积为7，正方形的面积为9
∴，
即，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．
【变式训练3】（﹣2）2的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C．﹣2 D．
【答案】A．
【解析】首先求得（﹣2）2的值，然后由4的算术平方根为2，即可求得答案．
∵（﹣2）2=4，4的算术平方根为2，
∴（﹣2）2的算术平方根是2．
【变式训练4】利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ）
A．按键即可进入统计计算状态
B．计算的值，按键顺序为：
C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果
D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333
【答案】B
【解析】本题考查了科学计算器，熟练了解按键的含义是解题的关键．根据计算器的按键写出计算的式子．然后求值．
A．按键即可进入统计计算状态是正确的，故选项A不符合题意；
B．计算的值，按键顺序为：，故选项B符合题意；
C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的，故选项C不符合题意；
D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0．333333333是正确的，故选项D不符合题意；故选：B．
考点3. 立方根
【例题3】（2023湖南郴州） 计算：___．
【答案】3
【解析】求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根，根据立方根的定义计算可得．
【详解】解： ∵33=27，
∴．
故答案为3．
【点睛】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键．
考点4. 实数与数轴
【例题4】（2023山东菏泽） 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据数轴可得，，再根据逐项判定即可．
由数轴可知，
∴，故A选项错误；
∴，故B选项错误；
∴，故C选项正确；
∴，故D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴，根据进行判断是解题关键．
【变式训练】（2023江苏扬州）已知，则a、b、c的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，，进行判断即可．
∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
考点5.实数的混合运算
【例题5】（2023福建）计算：．
【答案】3
【解析】根据算术平方根，绝对值，零指数幂，有理数的混合运算法则计算即可．
原式
．
【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值，零指数幂，有理数的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
【变式训练】（2022浙江嘉兴）计算：
【答案】
【解析】先计算零次幂与算术平方根，再合并即可；
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