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2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题11 三角形单元考点讲析
(
课标要求
)
（1）理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念, 了解三角形的稳定性。
（2）探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
（3）证明三角形的任意两边之和大于第三边。
（4）了解三角形重心的概念。
（5）了解多边形⑴的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对 角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式。
(
知识
点梳理
)
知识点1. 三角形的定义和分类
1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形的分类：
（1）按照角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
（2）按照边分类有不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）
知识点2.三角形三边的关系
定理：三角形任意两边的和大于第三边.
推论：三角形任意两边的差小于第三边.
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系.
知识点3.三角形的高、中线与角平分线
1．三角形的高。从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
（1）三角形的高是线段；
（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.
2．三角形的中线。三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.
（1）三角形的中线是线段；
(2)三角形三条中线全在三角形内部；
(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
3．三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
（1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
知识点4.三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
知识点5.三角形的内角和定理：
1.三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°
2.有两个角互余的三角形是直角三角形。
3.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
4.三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
知识点6.多边形
1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
7.多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°
8.多边形的外角和：多边形的外角和为360°。
9.多边形对角线的条数：
（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
（2）n边形共有条对角线。
(
方法总结
)
由三角形中的三条重要线段的想到的
三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.
(
例题解析
)
考点1.三角形三边关系问题
【例题1】（2023福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】B
【解析】根据三角形的三边关系求解即可．
由题意，得，即，
故的值可选5，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
考点2.三角形的高、中线与角平分线三线问题
【例题2】（2023福建） 阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
【答案】A
【解析】由作图过程可得：，再结合
可得，由全等三角形的性质可得即可解答．
【详解】由作图过程可得：，
∵，
∴．
∴．
∴A选项符合题意；
不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定,故C选项不符合题意，
不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．
考点3.体现三角形的内角和定理
【例题3】（2023甘肃兰州）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．
∵正八边形的外角和为，
∴，
故选A
【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为是解本题的关键．
【变式训练1】（2023山东东营）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据三角形的外角的性质求得，根据平行线的性质即可求解．
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练2】（2023山东聊城）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据两直线平行，同位角相等，得到，利用三角形内角和定理计算即可．
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
考点4.体现三角形的作图问题
【例题4】（2023山东滨州）（1）已知线段，求作，使得；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明．）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】【分析】（1）作射线，在上截取，过点作的垂线，在上截取，连接，则，即为所求；
（2）先根据题意画出图形，再证明．延长至使，连接、，因为是的中点，所以，因为，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形，根据矩形的性质可得出结论．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）已知：如图，为中斜边上的中线，，
求证：.
证明：延长并截取.
∵为边中线，∴，
∴四边形为平行四边形.
∵，
∴平行四边形为矩形，
∴，
∴
【点睛】本题考查了作直角三角形，直角三角形的性质，矩形的性质与判定，解答此题的关键是作出辅助线，构造出矩形，利用矩形的性质解答．
考点5.多边形问题
【例题5】（2023山东济宁）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形．
【答案】5
【解析】设这个多边形是n边形，由题意得，
(n-2) ×180°=540°，解之得，n=5．
【变式训练】（2023湖南永州）下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据n边形内角和公式分别求解后，即可得到答案
A．三角形内角和是，故选项不符合题意；
B．四边形内角和为，故选项符合题意；
C．五边形内角和为，故选项不符合题意；
D．六边形内角和为，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了n边形内角和，熟记n边形内角和公式是解题的关键．
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第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题11 三角形单元考点讲析
(
课标要求
)
（1）理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念, 了解三角形的稳定性。
（2）探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
（3）证明三角形的任意两边之和大于第三边。
（4）了解三角形重心的概念。
（5）了解多边形⑴的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对 角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式。
(
知识
点梳理
)
知识点1. 三角形的定义和分类
1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形的分类：
（1）按照角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
（2）按照边分类有不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）
知识点2.三角形三边的关系
定理：三角形任意两边的和大于第三边.
推论：三角形任意两边的差小于第三边.
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系.
知识点3.三角形的高、中线与角平分线
1．三角形的高。从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
（1）三角形的高是线段；
（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.
2．三角形的中线。三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.
（1）三角形的中线是线段；
(2)三角形三条中线全在三角形内部；
(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
3．三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
（1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
知识点4.三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
知识点5.三角形的内角和定理：
1.三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°
2.有两个角互余的三角形是直角三角形。
3.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
4.三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
知识点6.多边形
1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
7.多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°
8.多边形的外角和：多边形的外角和为360°。
9.多边形对角线的条数：
（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
（2）n边形共有条对角线。
(
方法总结
)
由三角形中的三条重要线段的想到的
三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.
(
例题解析
)
考点1.三角形三边关系问题
【例题1】（2023福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
考点2.三角形的高、中线与角平分线三线问题
【例题2】（2023福建） 阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
考点3.体现三角形的内角和定理
【例题3】（2023甘肃兰州）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ）
A. B. C. D.
【变式训练1】（2023山东东营）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【变式训练2】（2023山东聊城）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
考点4.体现三角形的作图问题
【例题4】（2023山东滨州）（1）已知线段，求作，使得；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明．）
考点5.多边形问题
【例题5】（2023山东济宁）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形．
【变式训练】（2023湖南永州）下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A. B. C. D.
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