河北省石家庄市平山中学2015届高三上学期期中考试数学（文）试题

2014年秋季高三期中考试试卷数学（文科）试题
温馨提示：卷面整洁，格式规范附加分2分。
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）.
全卷满分150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，集合，则等于( )
A． B． C． D．
2．已知幂函数的图象经过点（2，4），则的解析式（ ）
A． B． C． D．
3. 已知等差数列的前项和为，若，则的值为（　）A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D.　
4．的三内角的对边边长分别为，若，则（ ）
　 Ａ.　　　 　Ｂ.　　　 Ｃ.　 　　Ｄ.
5．已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的
茎叶图(如图所示)，则 ( )
A.甲篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为26
B.甲篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为27
C.乙篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为31
D.乙篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为36
6.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，
则该三棱锥的体积为（ ）
A． B．
C． D．

7．在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
8.下列各数中，与函数的零点最接近的是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
9．如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ）
A．2 B．4
C．8 D．16

10．已知，是两条不重合的直线，是三个不重合的
平面，给出下列条件，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图为互相垂直的单位向量，向量可表示为（ ）
A． B．
C． D．

12．已知P是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在 内，则黄豆落在内的概率是 （ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．复数= .
14．已知实数x，y满足条件的最大值为 .
15．若直线始终平分圆，
则的最大值为 ．
16．下面有三个命题：
① 当时，的最小值为2；
③ 将函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象；
④ 在中，，则的外接圆半径；
类比到空间，若三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别
为a、b、c，则三棱锥S－ABC的外接球的半径．
其中错误命题的序号为______________（把你认为错误命题的序号都填上）．
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分12分）
在锐角
(I)求角C；
(II)设的面积.
18、（本小题满分12分）
已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图
为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.
(I)若M为CB中点，证明：；
(II)求这个几何体的体积.
19．（本小题满分12分）
某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组．
下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（Ⅰ）若成绩大于或等60且小于80，认为合格，
求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
（Ⅱ）从测试成绩在内的所有学生中
随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，
求事件“”概率.
20、（本小题满分12分）已知等差数列的公差大于0，其中是方程的两根，数列的前 项和为，且（N*）.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和为
21、（本题满分12分）
已知向量.
(Ⅰ)求函数的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．
22.（本小题满分14分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的图像在点处的切线方程；
（Ⅱ）若，且对任意恒成立，求的最大值。
2014年秋季期中考试试卷数学（文科）答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每题5分，满分60分.
1—5 CBBBD 6—10 AABDD 11-12 BC
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每题4分，满分16分.
13. 14．8 15.1 16.①③
三、解答题：本题共6大题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．本题主要考查同角三角函数值、诱导公式、两角和的三角函数、运用正弦定理解决与三角形有关问题的能力，考查学生的运算能力以及化归与转化的数学思想方法，满分12分
解：（I），
…………4分
…………5分
由 …………6分
（II）根据正弦定理得 …………10分
…………12分
18.本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象能、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想。满分12分。
解:（I）证：取的中点P,连已知M为CB中点,,且
由三视图可知，四边形为直角梯形， …………2分
，四边形ANPM为平行四边形， …………4分
，又平面平面，平面 …………6分
（II）该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
两两垂直
与BA相交于B，
平面,BC为三棱锥的高 …………8分
取的重点，连，四边形的直角梯形且
，四边形ABQN为正方形，，
又 平面，平面，
且与相交于B，平面 …………10分
为四棱锥的体积
. …………12分
19.本题主要考查在实际背景下，将统计与概率相结合，考查了样本的频数的计算，以及求随机事件的概率，考查了归纳推理、应用数学知识解决实际问题的能力，满分12分。
解：（I）由直方图知，成绩在内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29.
所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人. ………………3分
（II）由直方图知，成绩在内的人数为：50×10×0.004=2，
设成绩为x、y ……………………5分
成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c， ………………6分
若一种情况， ………………7分
若三种情况， ………………8分
若内时，有
共有6种情况，所以基本事件总数为10种， ………………9分
事件“”所包含的基本事件个数有6种 ………………10分
………………12分
20.（本小题满分12分）解: (Ⅰ)因为，
所以,所以…………..2分
因为，，解得
所以…………….4分
（II）
……………6分
所以时，,当时，…………8分
(Ⅲ) ………………9分
,令
……………10分
所以
则……………12分
21、解：（1） --2分
------4分
∴函数的最小周期 -----5分
由：
单调增区间为 ----------6分
（2）
是三角形内角，∴ 即： -------8分
∴ 即：． -------9分
将代入可得：，解之得：
∴, ---- --11分
,∴，． -------12分
22.解：（Ⅰ）因为，所以，
函数的图像在点处的切线方程；4分
（Ⅱ）解： 对任意恒成立，即对任意恒成立，
令，则，6分
令，则，8分
所以函数在上单调递增，
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足，10分
显然函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，12分
故．故整数的最大值是3 14分