湖北省十堰市区县普通高中联合体2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题（含答案）

2023年12月十堰市区县普通高中联合体月度联考
高二数学试卷
考试时间：2023年12月28日下午14:30-16:30 试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时必须使用2B铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题的四个选项中，只有一个符合本题要求。
1.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
2.若直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（ ）
A.4 B. C. D.8
3.笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即文房四宝.“笔、墨、纸、砚”之名，起源于南北朝时期.历史上，“笔、墨、纸、砚”所指之物屡有变化.在宋朝时，“笔、墨、纸、砚”特指宣笔（安徽宣城）、徽墨（安徽徽州歙县）、宣纸（安徽宣城泾县）、歙砚（安徽徽州歙县）、洮砚（甘肃卓尼县）、端砚（广东肇庆，古称端州）.若从宋朝特指的六种文书工具中任取两种，则恰好这两种都是产自安徽的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.到直线的距离为1的直线方程为（ ）
A. B.或
C.或 D.或
5.已知直线：，：，，以下结论正确的是（ ）
A.不论为何值，与都互相垂直 B.当变化时，与都互相平行
C.时，与关于轴对称 D.直线与圆不能相切
6.已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
7.方程所表示的曲线为，有下列命题：
①若曲线为椭圆，则；②若曲线为双曲线，则或；③曲线不可能是圆；④若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则.
以上命题正确的是（ ）
A.②③ B.①④ C.②④ D.①②④
8.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（ ）
A.线段的三等分点，且靠近点 B.线段的中点
C.线段的三等分点，且靠近点 D.线段的四等分点，且靠近点
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题的四个选项中，有多个符合要求，全选得5分，部分选对得2分，有错选的得0分。
9.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论不正确的是（ ）
A.2个球都是红球的概率为 B.2个球不都是红球的概率为
C.至少有1个红球的概率为 D.2个球中恰有1个红球的概率为
10.下列结论正确的是（ ）
A.若直线：与圆：相交，则点在圆的外部
B.直线被圆所截得的最长弦长为
C.若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有
D.若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为
11.已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.平面
C.
D.以为球心，为半径的球被正方体表面所截的总弧长为
12.过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点（在第一象限），为线段的中点.在抛物线的准线上的射影为点，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小值为4 B.
C.面积的最小值为6 D.若直线的斜率为，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.一个总体分为，两层，用分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知层中每个个体被抽到的可能性为，则总体的个数为________.
14.直线与直线平行，且过直线与的交点，则直线的方程为________.
15.若圆与圆的公共弦的长为，则________.
16.已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，，则双曲线的离心率为________.
四、解答题（本题共6小题，共70分），解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）某位射击运动员射击1次，命中环数的概率如下表所示：
命中环数 ≤5环 6环 7环 8环 9环 10环
概率 0.05
（1）若规定射击1次，命中8环及以上为“成绩合格”，求该运动员射击1次“成绩合格”的概率；
（2）假设该运动员每次射击互不影响，求该名运动员射击2次，共命中18环的概率.
18.（12分）某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.
（1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；
（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在的学生至少有1人被抽到的概率.
19.（12分）已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）点为椭圆上的动点，且，求的面积。求的面积.
20.（12分）已知圆的圆心在第一象限，且在直线上，该圆与轴相切，过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）求证：直线：与圆相交；
（3）当直线被圆截得弦长最短时直线的方程及最短弦长.
21.（12分）如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小.
22.（12分）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，为的上顶点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，当为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值.
12月高二联考数学试卷答案
1.【答案】B
【解析】根据独立事件概率关系逐一判断
，，，，，，，，
故选：B
2.【答案】A
【解析】本题考查空间向量的坐标运算.∵，平面的法向量为，
∴，∴，∴.
3.【答案】C
【解析】本题考查古典概型.由题意可知宋朝“笔、墨、纸、砚”有6种，其中4种产自安徽，从6种当中选2种共有15种情况，且每种情况发生的概率相同，其中两种全部来自安徽的情况共有6种，所以所求概率为.
4.【答案】B
【解析】本题考查两直线间的距离.设所求的直线方程为.由题意得，解得或.
5.【答案】A
由两直线垂直的充要条件得，所以A正确
6.【答案】D
【解析】双曲线的渐近线为;由于它和已知圆相切，则圆心到该直线距离等于半径，即，又，所以，.D正确
7.【答案】C
【解析】本题考查双曲线的方程.当时，曲线表示圆，故排除①③.
8.【答案】B
【解析】设正方体的棱长为1，以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，的中点，
，，则，
设，，
由与共线，可得，所以，所以，其中，
因为，
，
所以，所以，即是动点到直线的距离，
由空间两点间的距离公式可得，
所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，
由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点.
故选：B
9.【答案】BD
【解析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，“从乙袋中摸出一个红球”为事件，
则，，且，相互独立；
在A中，2个球都是红球的概率为，A正确；
在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；
在C中，2个球中至少有1个红球的概率为，C正确；
在D中，2个球中恰有1个红球的概率为，D错误.
10.【答案】AD
【解析】本题考查直线与圆的位置关系.对于A项，由题意可得，所以，从而点在圆的外部，故A项正确；
对于B项，直线与圆相交，则最长的弦为直径4故B项错；
对于C项，圆心到直线的距离为，如图，直线与圆相交，，与平行，且与直线的距离为1，故可以看出，圆的半径应该满足，故C项错误；
对于D项，过点作圆：的切线只有一条，则点在圆上，又，故切线的斜率为，
所以切线方程为，即，故D项正确.
11.【答案】BCD
【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，，，，，
所以，，，
由平面，
得，即，化简可得，
所以动点在直线上，
，，，所以与不垂直，A选项错误；
，平面，平面，所以平面，B选项正确；因面且在面内，所以，C正确；
球心是面和面的公共棱中点，在这两平面上截球面所得弧半径均为、圆心角均为，总弧长为；在面和上截球面得弧的半径均为1，截面小圆圆心分别为、，圆心角均为，总弧长为，这四段弧长之和为.
D选项正确；
故选BCD.
12.【答案】ABD
【解析】由题意知，设直线方程为，，，
联立，可得，，
故，，
则，
故当时，的最小值为4，故A正确；
又，即点纵坐标为，故，
当时，轴，在轴上，此时；
当时，，，故，
综合可知，，故B正确；又点到直线的距离为，
故，当时，取最小值4，故C错误；
若直线的斜率为，则直线方程为，即，
则，，由于在第一象限，故解得，，
故，由于，同向，故，故D正确，
故选ABD.
13.【答案】120
【解析】由题意可知总体中每个个体被抽到的可能性都是，故总体中的个体数为.
14.【答案】
【解析】解出直线和的交点.设直线方程为，将点坐标代入得，∴直线方程为.
15.【答案】1
【解析】本题考查两相交圆的公共弦长问题.两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程：.又，结合图象（图略），可知.
16.【答案】
【解析】不妨假设点在双曲线右支上，则，
由于，，故，
故，，而，
故，故答案为：.
17.【答案】（1）0.7；（2）0.165.
【解析】（1）记“运动员射击1次，成绩合格”为事件；
记“射击1次，命中环”为事件，（，且），
则，且事件两两互斥.
由题意知，，，，……3分
所以.
答：该名运动员射击1次，成绩合格的概率为0.7……5分
（2）记“该名运动员射击2次，共命中18环”为事件；
记“第一次射击，命中环”为事件，（，且）；
“第二次射击，命中环”为事件，（，且），则与相互独立.
事件，，两两互斥，，
所以
，……9分
该名运动员射击2次，共命中18环的概率为0.165.…….10分
18.【答案】见解析
【解析】（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，
∴.……1分
估计所抽取的50名学生成绩的平均数为，……3分
由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，
∴中位数在第3组中，
设中位数为，则有，解得，
即所求的中位数为……5分
（2）由（1）知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，……6分
用样本估计总体，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为，……8分
（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15，10，5，∴这三组中所抽取的人数分别为3，2，1.
记成绩在的3名学生分别为，，，成绩在的2名学生分别为，，成绩在的1名学生为，则从中随机抽取3人的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，……10分
其中成绩在的学生没人被抽到的可能结果为，只有1种，
故成绩在的学生至少有1人被抽到的概率…….12分
19.【解析】（1）解：由题意可知，，
设椭圆方程为，将点代入椭圆方程，得，解得（舍），，所以椭圆方程为……6分
（2）设，，有余弦定理得
，解得……9分
所以，点与椭圆上下顶点重合，即或，…11分
则三角形面积为…….12分
20.【解析】（1）设圆的方程为;依题意得，所以圆的方程为;
把点坐标代入上式得，解得
所以圆的方程为；……4分
（2）直线:可化为，又，
∴，解得，∴直线恒过定点.而，所以定点在圆内，故直线:与圆相交;……8分
（3）由题意，直线被圆截得弦长最短时，所以，即，得，故的方程为，化为一般式为.……10分
圆心到l的距离为，弦长为……12分
21.【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】解法一：（1）依题意，平面，且四边形是正方形.
以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，.取的中点，连接.
∴，则，，……3分
∴，∴，……5分
又∵平面，平面，∴平面……6分
解法二：连接，设与相交于，取中点，连，则且，所以四边形为平行四边形，因此……3分
又∵平面，平面，∴平面……6分
（2）∵，F为的中点，∴
则，，∴，∴.
又，∴平面，故为平面的一个法向量，……8分
设平面的法向量为，因为，，
∴，即，令，得，，
故.……10分
设二面角的大小为，则，
由图知，所求二面角为钝角，所以二面角的大小是……12分
22.【答案】（1）；
（2），面积的最大值为1.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为.因为的周长为，
所以，①
因为椭圆的离心率为，所以，②由①②解得，.
则.所以椭圆的方程为……4分
（2）设，，
联立，消元得，
当，即时，
则，，则
，……6分
当为定值时，即与无关，故，得，…8分
此时，
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，……10分
经检验，此时成立，
所以面积的最大值为1……12分