第2课时 向量的数量积(二)
课标要求
1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．
2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
素养要求
通过引入平面向量数量积的运算律，体会数学抽象及数学运算素养的生成过程.
知识点 1 向量数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝ b·a (交换律)．
(2)(λa)·b＝ λ(a·b) ＝ a·(λb) (结合律)．
(3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c (分配律)．
想一想：
若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c
提示：不可以．
练一练：
判断下列结论是否正确？
(1)a·0＝0.
(2)λ(a·b)＝λa·λb.
(3)·＋·＝·(＋)＝·.
(4)若a与b同向，则(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2.
(5)向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
知识点 2 平面向量数量积的运算性质
类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
多项式乘法 向量形式
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)(a－b)＝ a2－b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
题型探究
题型一 求数量积
典例1 已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)．
[解析] (2a＋3b)·(3a－2b)
＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6|a|2＋5a·b－6|b|2
＝6×42＋5×4×7×cos 120°－6×72＝－268.
[归纳提升] 根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
对点练习 已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝_－6__.
[解析] e1·e2＝，b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×－8＝－6.
题型二 向量的模
典例2 (1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝ 2 .
(2)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( B )
A．2 B．
C．1 D．
[解析] (1)(数形结合法)：由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.
又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
(2)由(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝0，a2＋a·b＝0,1＋a·b＝0，a·b＝－1.
由(2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)·b＝0,2a·b＋b2＝0，
∴b2＝2，|b|＝.
[归纳提升] 求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，忽忘记开方．
对点练习 已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；(3)|a＋b|；(4)|a－b|.
[解析] (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×cos 120°＝－3.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)|a＋b|＝
＝
＝
＝＝.
(4)|a－b|＝＝＝＝.
题型三 向量的夹角和垂直问题
典例3 (1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为 ；
(2)已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
[分析] (1)由向量的运算律结合向量的夹角公式求解．
(2)根据两向量垂直的充要条件建立关于m的方程进行求解．
[解析] (1)设a与b的夹角为θ，依题意有：(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝，因为0≤θ≤π，故θ＝.
(2)由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.
由c⊥d，得c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)
＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2
＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
所以m＝，即m＝时，c与d垂直．
[归纳提升] 1.求向量夹角的方法
(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝求解．
(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|代入公式求解．
(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．
2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ>0时，θ∈；当cos θ<0时，θ∈，当cos θ＝0时，θ＝.
3．当两向量垂直时，利用a·b＝0列方程(组)可求未知数．
对点练习 已知向量a，b的夹角为π，|a|＝1，|b|＝2.
(1)求a·b的值；
(2)若2a－b和ta＋b垂直，求实数t的值．
[解析] (1)a·b＝|a||b|cos＝1×2×＝－1.
(2)因为2a－b和ta＋b垂直，
所以(2a－b)·(ta＋b)＝0，
即2ta2＋(2－t)a·b－b2＝0，
所以2t－(2－t)－4＝0，所以t＝2.
易错警示
忽略向量共线的情形致错
典例4 设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 ∪ .
[错解] 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cos θ＝<0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简得2t2＋15t＋7<0.解得－7
∴t∈.
[错因分析] 由两个向量夹角的定义知，两个非零向量a与b的夹角θ的取值范围是[0，π]，它包括零角、锐角、直角、钝角和平角这些情况．特别地，当向量a与b同向时，θ＝0；当向量a与b垂直时，θ＝；当向量a与b反向时，θ＝π.在具体解题时，要根据题意排除不符合的情况．
[正解] 设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为θ，则
cos θ＝<0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简得2t2＋15t＋7<0.解得－7当2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π时，也有cos θ<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
因为e1，e2不共线，
所以解得
故实数t的取值范围是
∪.
对点练习 已知e1，e2是互相垂直的单位向量，a＝e1－3e2，b＝2e1＋λe2，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( C )
A．∪
B．
C．(－∞，－6)∪
D．
[解析] 因为a与b的夹角为锐角，所以cos θ>0且cos θ≠1，即a·b>0且a与b方向不同，
即a·b＝2－3λ>0且a≠mb(m>0)，解得λ∈(－∞，－6)∪.
1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( B )
A．4 B．3
C．2 D．0
[解析] a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
∵|a|＝1，a·b＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3.
故选B．
2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( C )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[解析] (2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝0，
所以2a·b＝－|b|2，
即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2，
又|a|＝|b|，∴cos〈a，b〉＝－，〈a，b〉＝120°.
3．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝_0__，·＝_－16__，·＝_－16__.
[解析] 由题意，得||＝4，||＝4，||＝4，所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16.
4．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝3，则|2a＋b|＝ .
[解析] |2a＋b|2＝4a2＋4a·b＋b2＝4|a|2＋4|a||b|cos 120°＋|b|2
＝4×4＋4×2×3×＋9＝13.
所以|2a＋b|＝.
5．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|.
[解析] 因为|2a＋b|＝，所以(2a＋b)2＝10，
所以4a2＋4a·b＋b2＝10，
又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，
所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，
整理得|b|2＋2|b|－6＝0，
解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)．6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
课标要求
借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量的加减运算．
素养要求
借助平面直角坐标系及平面向量基本定理，学会平面向量的坐标表示及加减运算，体会数学抽象及数学运算素养.
知识点 平面向量的正交分解及坐标表示
1．平面向量正交分解的定义
把一个向量分解为两个_垂直__的向量，叫做把向量作正交分解．
2．平面向量的坐标表示
(1)定义：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个_单位向量__分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝ xi＋yj .我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．此式叫做向量a的坐标表示．
(2)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
想一想：
点的坐标与向量坐标有什么区别？
提示：(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．因为向量坐标是a＝xi＋yj的简写．
(2)点A(x，y)的坐标(x，y)表示A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．
(3)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．
(4)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．
3．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_和__ a＋b＝_(x1＋x2，y1＋y2)__
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_差__ a－b＝_(x1－x2，y1－y2)__
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的_相应坐标__ λa＝_(λx1，λy1)__
向量坐标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝_(x2－x1，y2－y1)__
想一想：
将向量平移到另一个位置，向量的坐标变不变？
提示：向量平移后，向量不变，坐标也不变．
练一练：
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝( B )
A．(－2,1) B．(2，－1)
C．(2,0) D．(4,3)
[解析] b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)．
2．已知＝(1,2)，A(3,4)，则B点坐标是_(4,6)__.
[解析] 设B点的坐标为(x，y)，则＝(x－3，y－4)＝(1,2)．
∴解得
∴B点的坐标是(4,6)．
题型探究
题型一 平面向量的坐标表示
典例1 (1)已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，则向量a的坐标为( A )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(，) D．(－，－)
(2)如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是_①③__.(填序号)
①向量a可以表示为a＝mi＋nj；
②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)；
③若a＝，则终点A的坐标就是向量a的坐标．
[解析] (1)由题意，a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝i＋j＝(1,1)．
(2)由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数m，n，使得a＝mi＋nj，所以①正确．当a＝时，均有a＝(x，y)，所以②错，③正确．
[归纳提升] 求向量坐标的三个步骤：
对点练习 已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°.
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
[解析] (1)设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2，y＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，＝(2，6)．
(2)∵B(，－1)，∴＝(，－1)，则＝－＝(2，6)－(，－1)＝(，7).
题型二 平面向量的坐标运算
典例2 已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求、、＋、－的坐标．
[分析] 先计算出，的坐标，再进行向量的线性运算．
[解析] ∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，
∴＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)；＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；
＋＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)；
－＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)．
[归纳提升] 平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行．
对点练习 (1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( A )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
(2)设＝(2,3)，＝(m，n)，＝(－1,4)，则＝( A )
A．(－1－m，－7－n) B．(1＋m，－7＋n)
C．(1－m,7－n) D．(－1＋m，－7＋n)
[解析] (1)解法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)．
即x＝－4，y＝－2，故C(－4，－2)，则＝(－7，－4)，故选A．
解法二：＝－＝(－7，－4)．
(2)＝＋＋＝(2,3)＋(m，n)＋(－1,4)＝(1＋m,7＋n)，所以＝－＝(－1－m，－7－n)．
故选A．
题型三 平面向量坐标运算的综合应用
典例3 已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．
[分析] 利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，进而求出D点的坐标．
[解析] 设点D的坐标为(x，y)，
当平行四边形为ABCD时，由＝(1,2)，＝(3－x，4－y)，且＝，得D(2,2)．
当平行四边形为ACDB时，由＝(1,2)，＝(x－3，y－4)，且＝，得D(4,6)．
当平行四边形为ACBD时，由＝(5,3)，＝(－1－x,3－y)，且＝，得D(－6,0)，
故点D的坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．
[归纳提升] 平行四边形顶点坐标的求解
(1)已知平行四边形的三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标主要是利用平行四边形的对边平行且相等这个性质，则其对应的向量相等，即向量的坐标相等．
(2)当平行四边形的顶点顺序未确定时，要分类讨论．
对点练习 (2023·北京高三)AC为平行四边形ABCD的对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝_(－1，－1)__.
[解析] 如图在平行四边形ABCD中，
＝＝(2,4)，
在△ACD中，＝＋＝＋，
所以＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，
故答案为(－1，－1)．
易错警示
误把向量的坐标当作点的坐标
典例4 已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，试求当点P在第三象限时，λ的取值范围．
[错解] 由已知得＝＋λ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
又点P在第三象限，所以所以λ<－，
故λ的取值范围为.
[错因分析] 错解中误把向量的坐标当作点P的坐标，混淆了点的坐标与向量的坐标的概念．
[正解] 同错解得＝(3＋5λ，1＋7λ)，
设点P(x，y)，则＝(x－2，y－3)．
于是(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，即
又点P在第三象限，所以
解得λ<－1.
所以λ的取值范围为(－∞，－1)．
[误区警示] 向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向，与终点坐标无关，只有当向量的始点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标才是一致的．
对点练习 已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．
[解析] 由题知B，D分别是30°角，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，所以B.x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，所以D.所以＝，＝.
1．(2023·山东枣庄)已知O是坐标原点，若向量＝(3,2)，＝(－4,5)，则点A的坐标为( B )
A．(－1,7) B．(7，－3)
C．(－1，－3) D．(7,7)
[解析] 由题意，∵＝(3,2)，＝(－4,5)，
∴＝－＝(3,2)－(－4,5)＝(7，－3)，
∴A(7，－3)，故选B．
2．如图，{e1，e2}是一个基底，且e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，则向量a的坐标为( A )
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
[解析] 因为e1，e2分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1,3)．
3．如图所示，向量的坐标是( D )
A．(1,1)
B．(－1，－2)
C．(2,3)
D．(－2，－3)
[解析] 由图知，M(1,1)，N(－1，－2)，
则＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3)．
4．(2023·湖北武汉)设点A(1,2)，B(3,5)，将向量按向量a＝(－1，－1)的方向平移后得到为( B )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,7)
[解析] 因为A(1,2)，B(3,5)，所以＝(2,3)，向量是可以平移的，因为向量平移后仍是，故向量按向量a＝(－1，－1)的方向平移后得到为(2,3)，故选B．
5．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，则向量a＋b－c的坐标为( A )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(2，－1) D．(－1,2)
[解析] 由图可知a＝c＝(1,2)，b＝(1，－2)，所以a＋b－c＝(1，－2)．6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
课标要求
掌握数乘向量的坐标运算法则，理解用坐标表示平面向量共线的条件，掌握三点共线的判断方法．
素养要求
通过数乘向量的坐标运算，理解平面向量共线的坐标表示形式，体会数学运算及数学抽象素养.
知识点 1 平面向量数乘运算的坐标表示
设向量a＝(x，y)，则有λa＝_(λx，λy)__，这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
知识点 2 平面向量共线的坐标表示
利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b(b≠0)共线的充要条件是_x1y2－x2y1＝0__.
知识点 3 定比分点坐标公式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若＝λ(λ≠－1)，则点P(x，y)的坐标为特别地，线段P1P2的中点P0(x0，y0)的坐标为此公式为中点坐标公式．
[拓展] 两个向量共线条件的三种表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当b≠0时，a＝λb.
这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0.
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．
(3)当x2y2≠0时，＝.
即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
练一练：
1．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝_(5,7)__.
[解析] 因为a＝(2,4)，b＝(－1,1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)．
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b＝_(－2，－1)__.
[解析] ∵a∥b，∴x＝－4，∴a＋b＝(2,1)＋(－4，－2)＝(－2，－1)．
题型探究
题型一 向量数乘的坐标运算
典例1 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
[分析] 可先进行数乘向量的坐标运算，再进行向量坐标加减运算．
[解析] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)
＝－＝.
[归纳提升] 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
对点练习 (1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( A )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
(2)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则P点坐标为 .
[解析] (1)由3a－2b＋c＝0，∴c＝－3a＋2b＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，
∴c＝(－23，－12)．
(2)解法一：设P(x，y)，∴＝(x－3，y＋2)，＝(－8，1)，由＝得P.
解法二：由＝得P为MN中点，由中点坐标公式得P.
题型二 向量共线坐标表示的简单应用
典例2 (1)下列四组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( B )
A．a＝(1,2)，b＝(－2，－4)
B．a＝(3,4)，b＝(4,3)
C．a＝(2，－1)，b＝(－2,1)
D．a＝(3,5)，b＝(6,10)
(2)(2022·重庆高一检测)已知向量a＝(2，x)，b＝(1，x－1)，若(2a－b)∥a，则x＝( B )
A．－2 B．2
C． D．－
[解析] (1)对于A，因为1×(－4)－2×(－2)＝0，所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底；对于B，因为3×3－4×4＝－7≠0，所以可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底；对于C，因为2×1－(－1)×(－2)＝0，所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底；对于D，因为3×10－5×6＝0，所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底．
(2)根据题意，向量a＝(2，x)，b＝(1，x－1)，则2a－b＝(3，x＋1)，若(2a－b)∥a，则有2(x＋1)＝3x，解可得x＝2.
[归纳提升] 1.向量共线的判定方法
2．利用向量平行的条件求参数值的思路
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．
(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解．
对点练习 (1)已知向量a＝(t,4)，b＝(1，t)，若a∥b，则实数t＝_±2__.
(2)已知m∈R，三点A(－1，－1)、B(1,3)、C(m,2m＋t)共线，则t＝_1__.
[解析] (1)因为向量a＝(t,4)，b＝(1，t)且a∥b，
所以t×t－4×1＝0，解得t＝±2，
故答案为±2.
(2)因为m∈R，三点A(－1，－1)、B(1,3)、C(m,2m＋t)共线，则∥，
且＝(2,4)，＝(m＋1,2m＋t＋1)，
所以2(2m＋t＋1)＝4(m＋1)，解得t＝1.
故答案为1.
题型三 向量共线的应用
典例3 (1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；
(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，∥？
[解析] (1)证明：∵＝－＝(4,8)，＝－＝(6,12)，
∴＝，即与共线．
又∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．
(2)∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.
解得k＝－2或k＝11.
[归纳提升] 若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法：
①直接利用上述条件，计算(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)·(y2－y1)是否为0；
②任取两点构成向量，计算出两向量，如，，再通过两向量共线的条件进行判断．
对点练习 已知A(－2,4)，B(1,3)，C(m，n)，若A，B，C三点共线，则m，n的关系式为_3n＋m＝10__.
[解析] 由A(－2,4)，B(1,3)，C(m，n)可得：
＝(3，－1)，＝(m－1，n－3)，
因为A，B，C三点共线，所以∥，
所以3(n－3)＝1－m，整理得：3n＋m＝10.
故答案为3n＋m＝10.
拓展应用
定比分点问题
典例4 已知线段M1M2的端点的坐标分别为M1(1,2)，M2(2,3)，点P(x，y)在直线M1，M2上．
(1)若＝2，则P点坐标为 .
(2)若＝－2，则P点坐标为_(3,4)__.
[解析] (1)解法一：由＝2，
得(x－1，y－2)＝2(2－x,3－y)，
∴
∴P.
解法二(利用定比分点坐标公式)：
x＝＝，y＝＝，
∴P.
(2)同(1)中两种方法，可得P(3,4)．
[归纳提升] 涉及定比分点的问题的两种思路
①利用向量共线定理列方程组求解；
②利用定比分点坐标公式求解．
本例(1)中定比λ＝2>0，P在线段M1M2上，为内分点；
本例(2)中定比λ＝－2<0，P在线段M1M2的延长线上，为外分点．
对点练习 若过点P1(2,3)，P2(6，－1)的直线上一点P使||∶||＝3∶1，则点P的坐标为_(8，－3)或(5,0)__.
[解析] 设O为坐标原点，连接OP，OP1，OP2.
∵||∶||＝3∶1，
∴||＝3||，
∴＝3或＝－3.
设P(x，y)，
若＝3，即＝－3，
∴
若＝－3即＝3，
∴
故点P的坐标为(8，－3)或(5,0)．
1．(2023·贵州贵阳)已知a＝(0,1)，b＝(1,2)，c＝(2,3)，则( B )
A．a＋b＝c B．a＋c＝2b
C．2a＋b＝c D．a＋2b＝c
[解析] a＋b＝(1,3)≠c，故A错误；a＋c＝(2,4)＝2b，故B正确；2a＋b＝(1,4)≠c，故C错误；a＋2b＝(2,5)≠c，故D错误．故选B．
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( D )
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
[解析] 因为c＝λ1a＋λ2b，
所以(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
所以
解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．已知向量a＝(－1，m)，b＝(－m,2m＋3)，且a∥b，则m等于( C )
A．－1 B．－2
C．－1或3 D．0或－2
4．已知a＝(2,1)，b＝(x，－1)且a－b与b共线，则|x|＝_2__.
[解析] a－b＝(2－x,2)，∵(a－b)∥b，∴(2－x)×(－1)－2x＝0，解得x＝－2，∴|x|＝2.
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝ .
[解析] 2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
课标要求
1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．
2．能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直．
素养要求
通过推导数量积的坐标运算及求夹角和模及向量垂直的判断中体会逻辑推理素养及数学运算素养.
知识点 1 平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
数量积 两个向量的数量积等于_它们对应坐标的乘积的和__，即a·b＝_x1x2＋y1y2__
两个向量垂直 a⊥b _x1x2＋y1y2＝0__
想一想：
公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2有什么区别与联系？
提示：公式a·b＝|a||b|cos 与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
[提醒] 对比记忆平行与垂直的条件
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：
a∥b x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.
两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
练一练：
1．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是( C )
A．{2,3} B．{－1,6}
C．{2} D．{6}
[解析] ∵a⊥b，∴2(x－5)＋3x＝0，∴x＝2.故选C．
2．设a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，则(a＋b)·(a－c)等于( A )
A．11 B．5
C．－14 D．10
[解析] a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)．所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.故选A．
知识点 2 平面向量的模与夹角的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：
坐标表示
模 |a|2＝_x＋y__或|a|＝
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝
夹角 cos θ＝＝ (a，b为非零向量)
[拓展] 向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得＝a＝(x，y)，∴||＝|a|＝，即|a|为点A到原点的距离．同样，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，∴||＝，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．
想一想：
若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角，对吗？
提示：不对，当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角．
练一练：
在平面直角坐标系中，O为原点，已知A(16,12)，B(－5,15)，则||＝_20__，||＝ 15 .
[解析] 由题意可得||＝＝＝20，||＝＝＝15.
题型探究
题型一 数量积的坐标运算
典例1 (1)(2023·辽宁朝阳期中)已知a＝(－2,1)，b＝(3,2)，则a·(a＋b)＝( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2023·北京高一检测)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则·＝_0__.
(3)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是 .
[解析] (1)因为a＝(－2,1)，b＝(3,2)，
所以a·(a＋b)＝(－2,1)·(1,3)＝－2＋3＝1.
故选A．
(2)由已知得＝(1,1)，＝(－3,3)，所以·＝1×(－3)＋1×3＝0.
(3)以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，
则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)．
可设F(x,2)，因为·＝(，0)·(x,2)＝x＝，
所以x＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝.
[归纳提升] 平面向量数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；
二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
对点练习 (1)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( C )
A．12 B．0
C．－3 D．－11
(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝( C )
A．6 B．5
C．4 D．3
(3)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14，|c|＝5，则向量c的坐标为_(3,4)或(4,3)__.
[解析] (1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.
(2)由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.
(3)因为2b＝(a＋2b)－a＝(6,3)－(2，－1)＝(4,4)，所以b＝(2,2)．设c＝(x，y)，则由题可知解得或所以c＝(3,4)或c＝(4,3).
题型二 与平面向量模有关的问题
典例2 (1)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( B )
A． B．2
C．4 D．12
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－1)，则|a－2b|＝ .
(3)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为 2＋ .
[解析] (1)|a|＝＝2.
|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2
＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12.
|a＋2b|＝2.
(2)解法一：因为a＝(1,2)，b＝(3，－1)，
所以a－2b＝(－5,4)，
于是|a－2b|＝＝.
解法二：因为a＝(1,2)，b＝(3，－1)，
所以|a|＝，|b|＝，a·b＝1.
于是|a－2b|＝
＝
＝＝.
(3)2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，
|2a－b|＝
＝
＝，
当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.
[归纳提升] 求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
对点练习 (1)已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a与b平行，则|a－b|＝ .
(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,2)，且a⊥b，则|ma＋b|＝_10__.
[解析] (1)已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a与b平行，
所以2×x＝1×4，所以x＝2，
所以b＝(2,4)，所以a－b＝(－1，－2)，
所以|a－b|＝＝.
故答案为.
(2)因为向量a＝(1，－2)，b＝(m,2)，且a⊥b，所以1·m－2×2＝0，解得m＝4.
所以b＝(4,2)．故ma＋b＝(4，－8)＋(4,2)＝(8，－6)，
所以|ma＋b|＝＝10.
故答案为10.
题型三 向量夹角和垂直问题
典例3 已知点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
[解析] (1)证明：因为A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，所以＝(1,1)，＝(－3,3)，
所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，
所以⊥，即AB⊥AD．
(2)因为⊥，四边形ABCD为矩形，
所以＝，设C点的坐标为(x，y)，
则由＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
得解得所以C点的坐标为(0,5)，
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，
且||＝2，||＝2.
·＝8＋8＝16，设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
所以矩形的两条对角线的夹角的余弦值为.
[归纳提升] 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝计算出这两个向量的模．
(3)由公式cos θ＝直接求出cos θ的值．
(4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ.
对点练习 (1)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为_19__.
(2)已知2a－b＝(－1，)，c＝(1，)，且a·c＝3，|b|＝4，则b与c的夹角为_60°__.
[解析] (1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)．
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
又ka＋b与a－3b垂直，
故(ka＋b)·(a－3b)＝0，
即(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0，得k＝19.
(2)(2a－b)·c＝2a·c－b·c
＝(－1，)·(1，)＝2.
∵a·c＝3，∴b·c＝4.
∴cos〈b，c〉＝＝＝.
故〈b，c〉＝60°.
易错警示
忽视向量共线致误
典例4 已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( A )
A．(－∞，－2)∪
B．
C．∪
D．
[错解] ∵a与b的夹角θ为锐角，
∴cos θ>0，即a·b＝1－2λ>0，得λ<，故选D．
[错因分析] 由于0≤θ≤π，利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.本题错解中就是忽略了θ＝0这种情况，此时cos θ＞0成立，但夹角不是锐角．
[正解] ∵a与b的夹角θ为锐角，
∴cos θ>0且cos θ≠1，即a·b>0且a与b方向不同，
即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，解得λ∈(－∞，－2)∪，故选A．
[误区警示] 对于非零向量a与b，设其夹角为θ，则θ为锐角 cos θ>0，且cos θ≠1 a·b>0，且a≠mb(m>0)；θ为钝角 cos θ<0，且cos θ≠－1 a·b<0，且a≠mb(m<0)；θ为直角 cos θ＝0 a·b＝0.
对点练习 已知向量＝(0，－6)，＝(8,0)，＝(x，y)．
(1)若点A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；
(2)若x＝1且∠ACB为钝角，求实数y的取值范围．
[解析] (1)因为A，B，C三点共线，即∥，
＝(－x，－6－y)，＝(8－x，－y)，所以xy－(－6－y)(8－x)＝0，
即3x－4y－24＝0.
(2)因为∠ACB为钝角，所以·<0且，不共线，
由(1)得：当x＝1，且∥时，y＝－，
因为，不共线，所以y≠－，
＝(－1，－6－y)，＝(7，－y)，
·＝－7＋6y＋y2<0，
解得：－7所以实数y的取值范围为∪.
1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于( A )
A．3 B．－3
C． D．－
[解析] a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
2．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是( D )
A．|a|＝|b| B．a·b＝0
C．a∥b D．(a－b)⊥b
[解析] a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b.
3．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于( D )
A．4 B．5
C．3 D．4
[解析] 由a∥b得y＋4＝0，
所以y＝－4，b＝(－2，－4)，所以2a－b＝(4,8)，所以|2a－b|＝4.
4．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( B )
A． B．
C． D．
[解析] ∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5.
∴cos 〈a，b〉＝＝＝.
又∵a，b的夹角范围为[0，π]，∴a与b的夹角为.
5．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)2；
(3)(a＋b)·(a－b)．
[解析] (1)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5.
(2)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a＋b＝(4，－3)，
因此，(a＋b)2＝42＋(－3)2＝25.
(3)由已知可得a－b＝(2,1)，则(a＋b)·(a－b)＝4×2＋(－3)×1＝5.6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
课标要求
1．掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．
2．体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具．
3．培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．
素养要求
通过合作探究用向量方法解决平面几何问题的实际过程，体会数学建模及逻辑推理素养.
知识点 1 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点 2 向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与位移s的数量积．
练一练：
1．若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是( C )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
[解析] ∵＝3a，＝－5a，∴∥，||≠||，∵||＝||，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故选C．
2．某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|>|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为( C )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D．
[解析] 题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数．故逆风行驶的速度的大小为|v1|－|v2|.
题型探究
题型一 平行(共线)问题
典例1 如图，在平行四边形ABCD中，已知DE＝AB，DF＝DB，求证：A，E，F三点共线．
[证明] 要证明A，E，F三点共线，只需证明∥即可．
证法一：因为DE＝AB，DF＝DB，
所以＝，＝＝.
于是＝－＝－＝＋＝＝－，因此∥，
又因为，有公共点F，所以A，E，F三点共线．
证法二：以A为原点，以为x轴正方向建立平面直角坐标系如图：
则A(0,0)，设B(3a,0)，D(m，n)，则E(m＋a，n)．
∵＝，∴＝3，设F(x，y)，则
即F，
又＝(m＋a，n)，＝＝(m＋a，n)＝，
∴∥.又A为公共点，
∴A，E，F三点共线．
[归纳提升] (1)证明A，B，C三点共线的步骤
①证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线．
②说明两向量有公共点．
③下结论，即A，B，C三点共线．
(2)证明三点共线的方法
①基底法．
②坐标法．
对点练习 (1)已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( A )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC．
[解析] (2)设＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，
则a·b＝|a||b|cos 60°＝1，
＝a＋b.
设＝λ＝λb，则＝－＝λb－a.
由AE⊥BD，得·＝0，
即(λb－a)·(a＋b)＝0，
解得λ＝，
所以BE∶EC＝∶＝2∶3.
题型二 垂直问题
典例2 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
[证明] 证法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°
＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
∴⊥，即DP⊥EF.
证法二：设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)，
由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，
所以⊥，即DP⊥EF.
[归纳提升] 向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，题目中已建好坐标系或易建坐标系的问题适合用坐标法．
对点练习 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
[证明] 证法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，
所以·＝·＝－a2－a·b＋
＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
证法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
题型三 长度与距离问题
典例3 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.
[分析] 设＝a，＝b，利用a、b表示、，然后带入||2＋||2中计算即可完成证明．
[证明] 不妨设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b，
||2＝|a|2，||2＝|b|2，得||2＝·＝(a＋b)·(a＋b)＝|a|2＋|b|2＋2a·b①
同理||2＝·＝(a－b)·(a－b)＝|a|2＋|b|2－2a·b②，
①＋②得：
||2＋||2＝2(|a|2＋|b|2)＝2(||2＋||2)＝||2＋||2＋||2＋||2
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．得证．
[归纳提升] 利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝.
对点练习 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
[解析] (1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，∴D，
∴||＝，||＝，
∴||＝||，即CD＝AB．
(2)∵E为CD的中点，∴E，
设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴＝λ.
即(x，－m)＝λ，
则
故λ＝，即x＝，∴F，
∴||＝，
即AF＝.
题型四 向量在物理中的应用
典例4 (1)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小；
(2)已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功(力的单位：N，位移的单位：m)．
[分析] (1)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算．
(2)物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos 〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积．
[解析] (1)如图，两根绳子的拉力之和＋＝，且||＝||＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，则∠OAC＝90°，
从而||＝||·cos 30°＝150(N)，
||＝||·sin 30°＝150(N)，
所以||＝||＝150(N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
(2)设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.
∵＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．
∴W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．
[归纳提升] 用向量方法解决物理问题的“三步曲”
对点练习 (1)河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 km/h，求小船的实际航行速度；
(2)一物体在力F1＝(2,4)和F2＝(－5,3)的作用下，由点A(1,0)移动到点B(2,4)，在这个过程中这两个力的合力对物体所做的功等于( A )
A．25 B．5
C．－5 D．－25
[解析] (1)设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作＝a，＝b，以，为邻边作矩形OACB，连接，如图，
则＝a＋b，并且即为小船的实际航行速度．
∴||＝＝＝20(km/h)，
tan ∠AOC＝＝，
∴∠AOC＝60°，
∴小船的实际航行速度为20 km/h，按北偏东30°的方向航行．
(2)∵F1＋F2＝(－3,7)，＝(1,4)，∴(F1＋F2)·＝－3×1＋7×4＝25，
即两个力的合力对物体所做的功等于25.
故选A．
易错警示
做功问题因对角度认识不清而致错
典例5 如图所示，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为30°的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m．求此人对物体所的功．
[错解] 记沿斜面向上方向的单位向量为e，则位移s＝6e，W＝F·s＝|F||s|cos θ＝25×6×＝75(J)，
所以此人对物体所做的功为75 J.
[错因分析] 要求此人对物体所做的功，可以转化为求解作用力F与物体的位移s两者之间的数量积，根据向量数量积的公式，关键是求解作用力F与物体的位移s两者之间的夹角的大小，进而根据公式求得此人对物体所做的功．错解中错误地利用了题目中给出的角度，此角度不是作用力F与物体的位移s两者之间的夹角．
[正解] 因为绳索长1.5 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m，斜面坡度为30°，所以作用力F与斜面之间所成的角度θ满足sin θ＝＝，所以cos θ＝＝，记沿斜面向上方向的单位为e，则位移s＝6e，
W＝F·s＝|F||s|cos θ＝25×6×＝30(J)，
所以此人对物体所做的功为30 J.
对点练习 如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为_0__J，重力对物体m所做的功为_98__J(g＝9.8 m/s2)．
[解析] 物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F|·|s|cos 90°＝0(J)；
重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|·cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．
1．若＝2e1，＝－3e1，||＝||，则四边形ABCD是( C )
A．平行四边形 B．梯形
C．等腰梯形 D．菱形
[解析] 由于＝－，所以∥且||≠||，所以四边形ABCD是梯形．又因为||＝||，即梯形的腰长相等，因此四边形ABCD是等腰梯形，故选C．
2．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是( B )
A．(8,0) B．(9,1)
C．(－1,9) D．(3,1)
[解析] ∵F＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)，故选B．
3．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( D )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
[解析] 由＋＝0，得＝－＝，∴四边形ABCD为平行四边形．又·＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形，故选D．
4．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F做的功为( B )
A．100焦耳 B．50焦耳
C．50焦耳 D．200焦耳
[解析] F做的功为|F|cos 60°×10＝10××10＝50(焦耳)．
5．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是( B )
A．2 B．
C．3 D．
[解析] ∵BC的中点为D，＝，∴||＝.6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
课标要求
1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法．
2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
素养要求
借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，体会逻辑推理及数学运算素养.
知识点 1 余弦定理
文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和_减去__这两边与它们的夹角的余弦的积的 _两__倍
符号语言 在△ABC中，a2＝_b2＋c2－2bccos_A__，b2＝_c2＋a2－2cacos_B__，c2＝_a2＋b2－2abcos_C__
推论 在△ABC中，cos A＝ ，cos B＝ ，cos C＝
[提醒] (1)利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题
①已知两边及其夹角，解三角形；
②已知三边，解三角形．
(2)余弦定理和勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，若角C＝90°，则cos C＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
练一练：
在△ABC中，符合余弦定理的是( A )
A．c2＝a2＋b2－2abcos C
B．c2＝a2－b2－2bccos A
C．b2＝a2－c2－2bccos A
D．cos C＝
[解析] 由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A．
知识点 2 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的_元素__.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_解三角形__.
想一想：
已知三角形内角的余弦值求角时，是否存在多解的情况？
提示：在已知三角形内角的余弦值求角时，由于函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，所以角的余弦值与角一一对应，故不存在多解的情况．
练一练：
1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c＝( D )
A． B．8
C．10 D．7
[解析] 由余弦定理得：
c＝＝＝7.故选D．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝_150°__.
[解析] 由余弦定理，得cos B＝＝＝－.又0°题型探究
题型一 已知两边及一角解三角形
典例1 (1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝_60__cm；
(2)在△ABC中，若c＝，b＝5，且cos C＝，则a＝_4或5__.
[分析] (1)由余弦定理可直接求第三边；
(2)先由余弦定理建立方程，从中解出a的长．
[解析] (1)由余弦定理得：
a＝
＝＝60(cm)．
(2)由余弦定理得：()2＝52＋a2－2×5×a×，
所以a2－9a＋20＝0，解得a＝4或a＝5.
[归纳提升] 已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
对点练习 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝2，cos B＝，则b＝ .
(2)(2022·成都高一检测)在△ABC中，C＝，AB＝7，BC＝3，则AC＝( B )
A． B．5
C． D．6
[解析] (1)在△ABC中，a＝1，c＝2，cos B＝，
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝12＋22－2×1×2×＝3，则b＝.故答案为.
(2)在△ABC中，C＝，AB＝7，BC＝3，如图所示：
由余弦定理得72＝AC2＋32－2·3·AC·cos，
整理得AC2＋3·AC－40＝0，
解得AC＝5或AC＝－8(不合题意，舍去)，所以AC＝5.
题型二 已知三边解三角形
典例2 (1)在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C；
(2)在△ABC中，a2－(b－c)2＝bc，则A＝( B )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[解析] (1)根据余弦定理，
cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
cos C＝
＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
∴B＝π－A－C＝π－－＝，
∴A＝，B＝，C＝.
(2)由题意知a2－b2－c2＋2bc＝bc，
∴b2＋c2－a2＝bc
cos A＝＝＝，
所以A＝60°.
[归纳提升] 已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角．
对点练习 (1)在△ABC中，AB＝3，BC＝5，AC＝7，则角B的余弦值是 － .
(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于( B )
A．90° B．60°
C．120° D．150°
[解析] (1)在△ABC中，AB＝3，BC＝5，AC＝7，
则cos B＝＝－.故答案为－.
(2)因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝.
因为A∈(0°，180°)，所以A＝60°.
题型三 判断三角形的形状
典例3 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状．
[分析] 利用余弦定理将已知等式化为边的关系．
[解析] 已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos B·cos C，
∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccos B·cos C，
∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccos Bcos C＝
(bcos C＋ccos B)2＝a2，
∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
[归纳提升] 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
对点练习 在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状．
[解析] 由余弦定理知cos A＝，
cos B＝，cos C＝，
代入已知条件得
a·＋b·＋c·＝0，
通分得
a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
易错警示
忽略三角形三边关系导致出错
典例4 设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．
[错解] ∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，
∴解得a>，
∴2a＋1是三边长中最长的边，设其所对角为θ，
∵2a＋1，a,2a－1是钝角三角形的三边，
∴cos θ<0，
即＝<0，
解得∴a的取值范围是.
[错因分析] 解题时，易忽略三角形的三边满足两边之和大于第三边，而使某些字母的范围变大，本题中a＋(2a－1)>2a＋1，即a>2，而不是a>.
[正解] ∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，
∴解得a>，此时2a＋1最大．
要使2a＋1，a,2a－1表示三角形的三边，
还需a＋(2a－1)>2a＋1，解得a>2.
设最长边2a＋1所对的角为θ，
则cos θ＝＝<0，
解得∴a的取值范围是(2,8)．
[误区警示] 由于余弦定理及公式的变形较多，且涉及平方和开方等运算，可能会因不细心而导致错误．在利用余弦定理求出三角形的三边时，还要判断一下三边能否构成三角形．
对点练习 在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，求t的取值范围．
[解析] 因为a，b，c是△ABC的三边，
所以b－a所以2－1又△ABC是钝角三角形，且C是最大角，
所以90°所以cos C<0，所以cos C＝＝<0，
所以t2>5.又t>0，所以t>.
所以t的取值范围为(，3)．
1．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于( C )
A．60° B．45°
C．120° D．30°
[解析] 由cos A＝＝－，∴A＝120°.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，则sin(B＋C)＝( B )
A．－ B．
C．± D．
[解析] 因为b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝，A∈(0，π)，
所以sin A＝＝，
所以sin(B＋C)＝sin A＝.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC( C )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
[解析] 由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．
4．已知在△ABC中，AB＝BC，AC＝3，cos B＝，则AB＝_5__.
[解析] 设BC＝4t，则AB＝5t(t>0)，由余弦定理可得AC2＝BC2＋AB2－2AB·BCcosB，
整理可得41t2－2×5t×4t×＝9，
解得t＝1，因此AB＝5t＝5.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝
(1)若B＝，求b；
(2)若A＝，求b.
[解析] (1)由余弦定理，得cos B＝＝＝，
解得b＝1(负值舍去)，
故b＝1.
(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即1＝b2＋3－2b×，
整理得b2－3b＋2＝0，
解得b＝1或b＝2.第2课时 正弦定理
课标要求
借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题．
素养要求
通过对任意三角形边角关系的探索，证明正弦定理并运用正弦定理解三角形，提升逻辑推理素养及数学运算素养.
知识点 1 正弦定理的表示
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦__的比相等
符号语言 ＝ ＝
想一想：
在△ABC中，已知两边与其中一边的对角时，怎样确定三角形解的个数？
提示：已知△ABC的两边a，b和角A解三角形时，有以下方法：根据三角函数的性质来判断．
由正弦定理，得sin B＝.
当>1时，则无解；
当＝1时，则有一解；
当<1时，若a≥b，即A≥B，则B一定为锐角，则有一解；若a[提醒] 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题
(1)已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．
练一练：
在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由＝.
故＝，解得sin B＝.
知识点 2 正弦定理的常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)．
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．
(4)＝＝＝.
(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B．
想一想：
如图所示，在Rt△ABC中，斜边c等于Rt△ABC外接圆的直径2R，故有＝＝＝2R，这一关系对锐角三角形和钝角三角形也成立吗？
提示：(1)如图，△ABC为锐角三角形，圆O为△ABC的外接圆，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD．
因为∠A＝∠D，则在△BCD中，＝＝2R.
同理，＝＝2R，所以＝＝＝2R成立．
(2)如图，△ABC为钝角三角形，圆O为△ABC的外接圆，连接AO并延长交圆O于点B′，连接CB′，则∠B＝180°－∠B．
则＝＝＝2R.同理＝2R，＝2R.
所以＝＝＝2R仍成立．
练一练：
在△ABC中，一定成立的式子是( C )
A．asin A＝bsin B B．asin A＝bcos B
C．asin B＝bsin A D．acos B＝b cos A
[解析] 由正弦定理，asin B＝bsin A sin Asin B＝sin Bsin A．故选C．
题型探究
题型一 已知两角及一边解三角形
典例1 在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，a＝2，解此三角形．
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理可求出第三个角，已知一边可由正弦定理求其他两边．
[解析] 由三角形内角和定理得
C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
根据正弦定理得，b＝＝＝＝，
c＝＝＝＝＝＋1.
[归纳提升] 已知任意两角和一边，解三角形的步骤：
(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角．
(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．
对点练习 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝4，cos A＝，cos B＝，则c＝ .
[解析] 因为cos A＝，cos B＝，所以sin A＝，sin B＝，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，
因为＝，所以c＝＝＝.
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
典例2 在△ABC中，解三角形．
(1)b＝4，c＝8，B＝30°；
(2)a＝，b＝2，A＝30°.
[分析] 在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．
[解析] (1)由正弦定理，得sin C＝＝＝1.
∵30°从而A＝180°－(B＋C)＝60°.
a＝＝4.
∴C＝90°，A＝60°，a＝4.
(2)由＝，
得sin B＝＝＝，
∵aA＝30°，∴B＝45°或B＝135°.
当B＝45°时，
C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
又＝，
∴c＝＝＝＝＝＋1.
当B＝135°时，
C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋135°)＝15°，
∴c＝＝＝＝－1.
∴B＝45°，C＝105°，c＝＋1或B＝135°，C＝15°，c＝－1.
[归纳提升] 已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况．基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值，判断解的情况．(2)求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角．(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度．
对点练习 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝4，b＝4，B＝60°，则角A＝( A )
A．30° B．45°
C．30°或150° D．45°或135°
(2)(多选题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数判断正确的是( BC )
A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解
B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C．a＝，b＝，A＝60°，无解
D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
[解析] (1)根据正弦定理＝可得，sin A＝＝＝.
又a故选A．
(2)由正弦定理得＝，
所以sin B＝.
sin B＝＝＝1，则B＝，只有一解，故A错；
sin B＝＝＝，又a>b，则只有一解，故B正确；
sin B＝＝＝>1，则无解，故C正确；
sin B＝＝＝>1，则无解，故D错；故选BC．
题型三 判断三角形的形状
典例3 在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状．
[分析]
[解析] 解法一：(角化边)因为(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，
所以·b＝·a，
整理得：b2(a2－c2＋b2)＝a2(b2－c2＋a2)，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
所以a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
所以a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
解法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：
(sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)·sin A，
即sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A．
因为sin C≠0，所以sin Bcos B＝sin Acos A．
所以sin 2B＝sin 2A．所以2B＝2A或2B＋2A＝π，
即A＝B或A＋B＝.
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．
[归纳提升] 在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变形：一个方向是边，走的是代数变形途径，通常是正、余弦定理结合；另一个方向是角，走的是三角变换途径．由于高考重点考查的是三角变换，故解决此类问题时，可先考虑把边转化成角，若用此种方法不好解决问题，再考虑把角转化成边，但计算量常较大．
对点练习 (1)在△ABC中，已知acos B＝bcos A，则△ABC一定是( A )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
(2)已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若＝，试判断△ABC的形状．
[解析] (1)由正弦定理得：acos B＝bcos A sin Acos B＝sin Bcos A sin(A－B)＝0，
由于－π(2)因为＝，
所以＝，
所以sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B．
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
题型四 正、余弦定理的简单综合
典例4 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
[分析] (1)对条件用正弦定理可转化统一成角的关系，进而求出B．(2)由正弦定理可知c＝2a，再用余弦定理列方程可求得a，c.
[解析] (1)∵bsin A＝acos B，
由正弦定理得sin Bsin A＝sin Acos B．
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝，∴B＝.
(2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即9＝a2＋4a2－2a·2acos ，
解得a＝，∴c＝2a＝2.
对点练习 (1)若b2＋c2－bc＝a2，且＝，则△ABC的形状为( D )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c(sin B－1)＝b－c，则角C为( B )
A． B．或
C． D．或
[解析] (1)因为b2＋c2－bc＝a2，所以cos A＝＝，
因为A，B，C∈(0，π)，所以A＝，
又因为＝，所以＝，
即cos B＝cos C，所以B＝C，
故△ABC是等边三角形，
故选D．
(2)∵c(sin B－1)＝b－c，
∴csin B＝b，
由正弦定理，∴sin Csin B＝sin B，
由角B为三角形内角，则sin B≠0，可得sin C＝，
由0故选B．
易错警示
利用正弦定理解三角形
典例5 在△ABC中，若A＝60°，BC＝4，AC＝4，则角B的大小为( B )
A．30° B．45°
C．135° D．45°或135°
[错解] 根据正弦定理得＝，即＝，
解得sin B＝.
又B为三角形的内角，
所以角B为45°或135°(忽略了对角大小的判断)．
[错因分析] 本题最易犯的错误就是：
(1)由sin B＝得B＝45°或135°，而忽视AC＝4(2)在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍．
[正解] 根据正弦定理得＝，
即＝，
解得sin B＝.
又BC>AC，所以A>B，
所以角B为45°.
对点练习 已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于( C )
A．135° B．90°
C．45° D．30°
[解析] 在△ABC中，由正弦定理，得＝，
即＝，
∴sin A＝＝.
∵a1．在△ABC中，若a＝，sin A＝，B＝，则b＝( A )
A．1 B．2
C．2 D．
[解析] 由正弦定理可得，＝，
所以＝，
解得b＝＝1.
故选A．
2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝( B )
A．4 B．2
C． D．
[解析] 由正弦定理可得＝，
∴AC＝＝2.
3．在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝_2__.
[解析] 在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝45°，
所以∠C＝60°，
由正弦定理知＝，
所以AC＝＝＝2.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝ .
[解析] 因为A＋B＋C＝180°，
且A＋C＝2B，所以B＝60°，由正弦定理得sin A＝＝＝.
5．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状．
[解析] 根据正弦定理，得＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
∴sin B＝.
∵0°∴△ABC是等腰直角三角形．第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
课标要求
1．能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题．
2．巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法．
素养要求
通过分析问题，利用余弦、正弦定理解决实际问题，体会数学建模及数学运算素养.
知识点 1 基线的概念与选择原则
(1)基线的定义
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
(2)选择基线的原则
在测量过程中，为使测量工具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度，一般来说，基线_越长__，测量的精确度越高．
知识点 2 相关术语
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_上方__时叫仰角，目标视线在水平视线_下方__时叫俯角，如图所示．
(2)方位角
指从_正北方向__顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示)．
(3)方位角的其他表示——方向角
①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上．依此可类推正北方向、正东方向和正西方向．
②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示)．
练一练：
若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的( C )
A．东偏北45°10′方向上
B．东偏北44°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上
D．西偏南44°50′方向上
[解析] 如图所示．
题型探究
题型一 测量距离问题
典例1 为测量河对岸两个建筑物A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B之间的距离为 km .
[解析] 在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝ km.
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，
∴BC＝＝.在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝()2＋2－2··cos 75°＝5.∴AB＝(km)．
故A、B之间的距离为 km.
[归纳提升] 测量距离的基本类型及方案
类型 A，B两点间不可通或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达
图形
方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB
对点练习 (1)海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( D )
A．10海里 B．海里
C．5海里 D．5海里
(2)已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C北偏西65°且到C的距离为 km，则A，B两船的距离为( D )
A．2 km B．3 km
C． km D． km
[解析] (1)根据题意，可得如图所示．
在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，所以C＝45°.
由正弦定理可得＝，
即＝，所以BC＝5(海里)．
(2)如图可知∠ACB＝85°＋65°＝150°，
AC＝2 km，BC＝ km，
所以AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 150°＝13，所以AB＝ km.
题型二 测量高度问题
典例2 如图，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在点A测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中点D是点C到水平面的垂足，求山高CD．
[解析] 由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD．
因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由＝，
得AD＝＝＝800(＋1)(m)．
即山的高度为800(＋1)m.
[归纳提升] 测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
对点练习 如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一．小强同学学以致用，欲测量大运塔AB的高度．他选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝120°，CD＝112 m，在C，D两观测点处测得大运塔顶部A的仰角分别为45°，30°，则大运塔AB的高为( B )
A．56 m B．112 m
C．112 m D．112 m
[解析] 由题意得，在直角△ABC中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB，
在直角△ABD，∠ADB＝30°，所以＝tan 30°，即BD＝AB，
在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝112，
由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos 120°，
即3AB2＝AB2＋1122－2×112··AB，因为AB>0，所以解得AB＝112.
即大运塔AB的高为112 m.
故选B．
题型三 测量角度问题
典例3 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
[解析] 设所需时间为t小时，则AB＝10t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°，
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)．
所以护航舰需要1小时靠近货船．
此时AB＝10，BC＝10，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以sin ∠CAB＝＝＝，
所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.
[归纳提升] 解决角度问题时的方法：
1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在上时，用正、余弦定理皆可．
对点练习 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
[解析] 如图所示．
设经过t小时两船在C处相遇，则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)，B＝90°＋30°＝120°，
由＝，得
sin ∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
易错警示
利用余弦定理产生增根致误
典例4 某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31 km，正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，问：这人还要走多少千米才能到达A城？
[错解] 本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路才可到达A城，即求AD的长，
在△ACD中，已知CD＝21 km，∠CAD＝60°，只需再求出一个量即可．
如图，设∠ACD＝α，∠CDB＝β，
在△CBD中，由余弦定理，得cos β＝＝＝－，
∴sin β＝.∴在△ACD中，＝＝＝14，
∴AC＝14sin (180°－β)＝14sin β＝24，
∴CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos 60°，
即212＝242＋AD2－2×24×·AD，
整理，得AD2－24AD＋135＝0，解得AD＝15或AD＝9，
故这个人再走15 km或9 km就可到达A城．
[错因分析] 本题在解△ACD时，由于先求AC的长，再用余弦定理求AD，产生了增解．
[正解] 如图，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理得
cos β＝＝＝－，
∴sin β＝.
又sin α＝sin (β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°·cos β
＝×＋×＝，
在△ACD中，＝，∴AD＝＝15(km)．
故这个人再走15 km就可以到达A城．
对点练习 (多选题)如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北60°方向，C在B的东偏北30°方向，B在A的正东方向，已知A，B相距(－1)a km，B，C相距 a km，则( BC )
A．D在C的北偏西60°方向
B．D在C的北偏西30°方向
C．D，C相距a km
D．D，C相距a km
[解析] 如图所示，
∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠DBC＝∠CBE＝30°，∠ADB＝15°，
又sin 15°＝sin (45°－30°)＝，
所以在△ABD中，＝，解得BD＝2a，
在△BDC中，DC2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos ∠DBC＝a2，
所以DC2＋BC2＝BD2，则∠C＝90°，
所以D在C的北偏西30°方向，且D，C相距a km.
故选BC．
1．如图，为了测量障碍物两侧A、B之间的距离，给定下列四组数据，测量时应该用的数据为( C )
A．α，a，b B．α，β，a
C．a，b，γ D．α，β，b
[解析] 由余弦定理，得
|AB|＝.故选C．
2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( B )
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
[解析] 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如图．知α＝β，故选B．
3．已知两座建筑A，B与规划测量点C的距离相等，A在C的北偏东40°，B在C的南偏东60°，则A在B的( B )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
[解析] 如图，由题意可知△ABC为等腰三角形，∠ACB＝80°，
所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，
又60°－50°＝10°.
所以A在B的北偏西10°.
4．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( D )
A．12 m B．8 m
C．3 m D．4 m
[解析] 由题意知，∠A＝∠B＝30°，
所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理得，＝，即
AB＝＝＝4.
5．如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝_32__米．
[解析] 过A作AE⊥CD(图略)，垂足为E，ED＝AB＝24米，
则AE＝＝＝8(米)．
在Rt△ACE中，CE＝AE·tan 30°＝8×＝8(米)，
∴CD＝CE＋ED＝8＋24＝32(米).章末知识梳理
1．五种常见的向量
(1)单位向量：模为1的向量．
(2)零向量：模为0的向量．
(3)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量．
(4)相等向量：模相等，方向相同的向量．
(5)相反向量：模相等，方向相反的向量．
2．两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
3．两个非零向量平行、垂直的等价条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b a＝λb(λ≠0) x1y2－x2y1＝0，
(2)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
4．平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则||＝.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
则cos θ＝＝.
5．向量的投影
向量a在b方向上的投影为|a|cos θ＝，其中θ为a与b的夹角．
6．向量的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a.
(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c，a－b－c＝a－(b＋c)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
(4)重要公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
7．正弦定理与余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2accos B；c2＝a2＋b2－2abcos C
变形公式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；④＝ cos A＝；cos B＝；cos C＝
要点一 平面向量的线性运算及应用
向量线性运算的基本原则和求解策略
(1)基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．
(2)求解策略
①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．
②字符表示下线性运算的常用技巧
首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝.
典例1 若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 因为＝4＝r＋s，
所以＝＝(－)＝r＋s，
所以r＝，s＝－，所以3r＋s＝－＝.
对点练习 如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于( B )
A． B．
C． D．2
[解析] 因为＝λ＋μ
＝λ(＋)＋μ(＋)
＝λ＋μ(－＋)
＝(λ－μ)＋，
且＝＋，所以得
所以λ＋μ＝，故选B．
要点二 向量的数量积
数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b x1y2－x2y1＝0，
a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的夹角和模的问题
①设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)
cos θ＝＝.
典例2 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小．
[解析] (1)由|ka＋b|＝|a－kb|，
得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝＝1，
|b|＝＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
∴a·b＝＝(k>0)．
(2)a·b＝＝.
由对勾函数的单调性可知，f(k)＝在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
∴当k＝1时， f(k)min＝f(1)＝×(1＋1)＝，
此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝＝，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
对点练习 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( B )
A．－ B．
C． D．
[解析] ∵＝－，＝＋
＝＋＝＋，
∴·＝(－)·
＝2－2－·
＝×1×1－×1×1－×1×1×cos 60°＝.
要点三 平面向量在几何中的应用
把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性．
典例3 如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于( A )
A． B．
C． D．2
[解析] 由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则O(0,0)，A(0，)，C(，0)，
B(cos 30°，－sin 30°)，
因为＝λ＋μ，
所以(，0)＝λ(0，)＋μ，
即则
所以λ＋μ＝.
对点练习 如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为 ，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为 .
[解析] ∵＝λ，∴AD∥BC，∴∠BAD＝180°－60°＝120°，
·＝λ·＝λ||·||cos 120°
＝λ×6×3×＝－9λ＝－，
解得λ＝，
以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xBy，
∵BC＝6，∴C(6,0)，
∵AB＝3，∠ABC＝60°，∴A的坐标为A，
又∵＝，则D，设M(x,0)，则N(x＋1,0)(其中0≤x≤5)，
＝，＝，
·＝＋2＝x2－4x＋＝(x－2)2＋，
所以，当x＝2时，·取得最小值.
要点四 综合利用正弦、余弦定理解三角形
1．已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形．
2．已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是不确定的．如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解．
3．很多考题是在正、余弦定理的应用下聚焦于简单的三角恒等变换．
典例4 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0.
(1)求B；
(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋2，求△ABC的面积．
[解析] (1)由已知及正弦定理得
(sin A＋2sin C)cos B＋sin Bcos A＝0，
即(sin Acos B＋sin Bcos A)＋2sin C·cos B＝0，
即sin (A＋B)＋2sin Ccos B＝0，
又sin (A＋B)＝sin C，
且C∈(0，π)，sin C≠0，
∴cos B＝－，∵0(2)由余弦定理，得
9＝a2＋c2－2accos B．
∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.
∵a＋b＋c＝3＋2，b＝3，
∴a＋c＝2，∴ac＝3，∴S△ABC＝acsin B
＝×3×＝.
对点练习 在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于_2__，AC的取值范围为 (，) .
[解析] 根据正弦定理得：＝，因为B＝2A，化简得＝，即＝2.
因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，所以A＋B>，由B＝2A得到A＋2A>且2A＝B<，从而解得：要点五 余弦、正弦定理在实际问题中的应用
正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验．
典例5 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s)
[分析] 由声速可得AC和BC之间的关系，再结合已知A，B之间的距离，可在△ABC中求解得到AC的长，进而在△ACH中，根据条件由正弦定理求得高度CH.
[解析] 由题意，设AC＝x m，则BC＝x－×340＝(x－40)(m)．
在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos ∠BAC，
即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°.
由正弦定理得＝，
所以CH＝AC·＝140(m)．
故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.
对点练习 (1)如图所示，某学生社团在公园内测量某建筑AE的高度，E为该建筑顶部．在B处测得仰角∠ABE＝30°，当沿一固定方向前进60米到达C处时测得仰角∠ACE＝45°，再继续前进30米到达D处时测得仰角∠ADE＝60°，已知该建筑底部A和B、C、D在同一水平面上，则该建筑高度AE为( D )
A．(30＋20)米 B．(20＋30)米
C．45米 D．90米
(2)如图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行 h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是( B )
A．10 km B．10 km
C．15 km D．15 km
[解析] (1)设AE＝x，由题意知＝tan∠ADE＝，所以AD＝x，
同理＝tan∠ACE＝1，＝tan∠ABE＝，即AC＝x，AB＝3x.
在△ADC和△ABC中，∠ACD＋∠ACB＝180°.
由余弦定理可得：cos ∠ACD＝，
cos ∠ACB＝，
即＋＝0，
解得x＝30，∴x＝90.
故选D．
(2)在△ABC中，BC＝40×＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，
则A＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得
AC＝＝＝10(km)．