8．4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
课标要求
1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．
2．会用符号语言表示空间点、直线、平面的位置关系．
3．根据有关概念，学会判断(证明)空间点、直线、平面的位置关系．
素养要求
在学习空间点、直线、平面之间的位置关系及定义的过程中，发展学生的数学抽象素养、直观想象和逻辑推理素养．
知识点 1 点与线和面的位置关系
(1)点与直线的位置关系：点在直线上和点在直线外．
(2)点与平面的位置关系：点在平面内和点在平面外．
知识点 2 空间中直线与直线的位置关系
1．异面直线的定义和画法
(1)定义：_不同在任何一个平面内__的两条直线叫做异面直线．
(2)画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个_平面__衬托．
2．空间中直线与直线的位置关系
位置关系 是否在同一平面内 公共点个数
共面直线 相交直线 _是__ 1
平行直线 是 0
异面直线 _否__ 0
想一想：
如何判断异面直线？
提示：(1)定义法；(2)两直线既不平行也不相交．
练一练：
1．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，则它与另一条( C )
A．相交 B．异面
C．相交或异面 D．平行
2．在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是( C )
A．SB B．SC
C．BC D．AB
3．平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关系是_相交或异面__.
知识点 3 空间中直线与平面的位置关系
位置关系 定义 图形语言 符号语言
直线在平面内 有_无数__个公共点 a α
直线与平面相交 _有且只有一个__公共点 _a∩α＝A__
直线与平面平行 没有公共点 _a∥α__
想一想：
直线a与平面α平行，直线b α，则a与b有怎样的位置关系？
提示：a与b平行或异面，如图所示．
练一练：
直线l与平面α有两个公共点，则( D )
A．l∈α B．l∥α
C．l与α相交 D．l α
知识点 4 空间中平面与平面的位置关系
位置关系 图形语言 符号语言 公共点
两个平面平行 _α∥β__ 没有公共点
两个平面相交 _α∩β＝l__ 有一条公共直线
想一想：
平面平行有传递性吗？
提示：有．若α，β，γ为三个不重合的平面，且α∥β，β∥γ，则α∥γ.
练一练：
正方体的六个面中互相平行的平面有( C )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
[解析] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，故六个面中互相平行的平面有3对．
题|型|探|究
题型一 直线与直线位置关系的判断
典例1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_平行__；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_异面__；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_相交__；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_异面__.
[解析] (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1綉BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．
[归纳提升] 判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l α，A α，B∈α，B l AB与l是异面直线(如图)．
对点练习 (1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( D )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行、相交或异面
(2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(2)(4)__.
[解析] (1)在如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，取D1C1＝a，BB1＝b，则a，b是异面直线，若取DC＝c，则b，c是异面直线，但a，c平行； 若取A1D1＝c，则b，c是异面直线，但a，c相交； 若取AD＝c，则b，c是异面直线，a，c也是异面直线．
(2)如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此，GH与MN共面；图(4)中，G，M，N共面，但H 平面GMN，所以GH与MN异面，所以图(2)、(4)中GH与MN异面.
题型二 直线与平面的位置关系
典例2 下列五个结论中正确结论的个数是( B )
①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α 内的任何一条直线平行；
③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；
④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α；
⑤如果直线a与平面α内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 如图所示，
在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面ABB′A′内，故①错；AA′∥平面BB′C′C，BC 平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②错；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′与A′D′相交，故③错；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′ 平面ABCD，则C′D′∥平面ABCD，故④正确；AA′显然与平面ABB′A′中的无数条直线平行，但AA′ 平面ABB′A′，故⑤错误，故选B.
[归纳提升] 直线与平面位置关系的判断：
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．
对点练习 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，指出B1C，BD1与各面的位置关系．
[解析] B1C 平面BCC1B1，
B1C∥平面ADD1A1，B1C与其余4个面相交．
BD1与6个面都相交.
题型三 平面与平面的位置关系
典例3 观察下面的两个图：
(1)一楼、二楼的地面所在平面的位置关系是什么？
(2)房顶所在平面的位置关系是什么？
(3)怎样用图形表示两平面的位置关系？
[解析] (1)平行．
(2)相交．
(3)①两平行平面的画法：画两平行的平面时要注意把表示平面的两个平行四边形画成对应边平行．
②两相交平面的画法：
先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图(1)．
再画表示两平面交线的线段，如图(2)．
再过图(1)中线段的端点分别画线段使它平行且等于(2)表示交线的线段，如图(3)．
再画表示平面的平行四边形的其他边，如图(4)．
[归纳提升] 平面与平面的位置关系的判断方法：
(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点．
(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点．
对点练习 (1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是( C )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
(2)已知平面α，β，且α∥β，直线a α，直线b β，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？画出图形．
(3)已知平面α，β，直线a，b，且a α，b β，α∩β＝l，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？画出图形．
[解析] (1)如图，
平面α与β的关系可以平行，也可以相交．
(2)直线a与直线b平行或异面．
(3)直线a与直线b平行，相交或异面．
易|错|警|示
对空间线面位置关系考虑不全面致误
典例4 设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平行的平面( C )
A．有且只有一个 B．恰有两个
C．没有或只有一个 D．有无数个
[错解] 如右图，过P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有一个平面．故选A.
[错因分析] 错解是因为对空间概念理解不透彻，对P点位置没有作全面地分析，只考虑了一般情况，而忽略了特殊情形．事实上，当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时，与a、b都平行的平面就不存在了．
[正解] C
[误区警示] 对于空间中的线面和面面位置关系问题，应注意结合实例，全面考虑，认真分析所有可能的情形，才能避免判断失误．
对点练面外一点，可作这个平面的平行线条数为( C )
A．1条 B．2条
C．无数条 D．不确定
[解析] 如图，
过P点可以作无数条直线与平面α平行．
1．如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b( D )
A．共面 B．平行
C．异面 D．平行或异面
[解析] 直线a、b没有公共点时，a、b可能平行，也可能异面．
2．(2022·无锡高一检测)用符号表示“点A在直线l上，l在平面α内”，正确的是( D )
A．A∈l，l α B．A l，l α
C．A l，l∈α D．A∈l，l α
[解析] 点与线的位置关系用“∈”或“ ”表示，线与面的位置关系用“ ”或“ ”表示，则“点A在直线l上，l在平面α内”可用A∈l，l α表示．
3．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( B )
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
[解析] EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
4．直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( C )
A．0条 B．1条
C．0条或1条 D．无数条
[解析] 过直线a和n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条直线是与b重合的，则此直线与直线a平行；若没有与b重合的直线，则与直线a平行的直线有0条．
5．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是_③__(填序号)．
[解析] ①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．8．5.1 直线与直线平行
课标要求
1．了解基本事实4和定理．
2．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系．
素养要求
在学习和应用基本事实4和定理的过程中，通过判定和证明空间两条直线的位置关系，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
知识点 1 基本事实4
(1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线 平行 .
(2)图形语言：
(3)符号语言：直线a，b，c，a∥b，b∥c a∥c .
(4)作用：证明两条直线平行．
(5)说明：基本事实4表达的性质通常叫做平行线的 传递性 .
[拓展] 对基本事实4的认识
(1)基本事实4，它表述的性质通常叫做平行线的传递性．
(2)基本事实4是论证平行问题的主要依据．
练一练：
1．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( C )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
[解析] 假设c与b平行，由于c∥a，根据基本事实4可知a∥b，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线．故选C.
2．已知在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为棱CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是_平行__.
[解析] 如图所示，∵M，N分别为CD，AD的中点，∴MN∥AC，
由正方体的性质可得AC∥A′C′，
∴MN∥A′C′，即MN与A′C′平行．
知识点 2 等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_相等__或_互补__
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
[拓展] 对等角定理的两点认识
(1)等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用．
(2)当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补．因此等角定理用来证明两个角相等或互补．
练一练：
已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝( C )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．大小无法确定
[解析] 当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时，∠B′A′C′＝30°，方向相反时，∠B′A′C′＝150°.故选C.
题|型|探|究
题型一 空间平行线的传递性的应用
典例1 如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形．
[证明] 设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1，
∵E是AA1的中点，
∴EQ綉A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綉B1C1，
∴EQ∥B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E綉C1Q.
又∵Q，F分别是矩形DD1C1C的两边DD1和CC1的中点，
∴QD綉C1F，
∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q綉DF.
又∵B1E綉C1Q，∴B1E綉DF，
∴四边形B1EDF为平行四边形．
[归纳提升] 证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等．
(2)定义法
用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点．
(3)基本事实4
用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本事实4即可得到a∥c.
对点练习 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
[证明] 因为梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，所以EF∥AB且EF＝(AB＋CD)．
又C′D′∥EF，EF∥AB，所以C′D′∥AB.
因为G，H分别为AD′，BC′的中点，
所以GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，所以GH綉EF，所以四边形EFGH为平行四边形.
题型二 等角定理的应用
典例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点．求证：
(1)EF綉E1F1；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
[分析] (1)→→
(2)→
[证明] (1)如图，连接BD、B1D1，在△ABD中，因为E、F分别为AB、AD的中点，所以EF綉BD.
同理，E1F1綉B1D1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1綉DD1，
所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BD綉B1D1，
又EF綉BD，E1F1綉B1D1，
所以EF綉E1F1.
(2)取A1B1的中点M，连接F1M、BM，则MF1綉B1C1.
又B1C1綉BC，所以MF1綉BC，
所以四边形BMF1C为平行四边形，
所以BM∥CF1.
因为A1M＝A1B1，BE＝AB，且A1B1綉AB，
所以A1M綉BE，
所以四边形BMA1E为平行四边形，
所以BM∥A1E，所以CF1∥A1E.
同理可证A1F∥CE1.
因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.
[归纳提升] 求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
对点练习 已知E、E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1.
[证明] 如图，连接EE1，
∵E1、E分别为A1D1、AD的中点，∴A1E1∥AE，且A1E1＝AE，
∴四边形A1E1EA为平行四边形，∴A1A∥E1E，且A1A＝E1E.
又∵A1A∥B1B，且A1A＝B1B，
∴E1E∥B1B，且E1E＝B1B，
∴四边形E1EBB1为平行四边形，
∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.
又∠C1E1B1与∠CEB方向相同，
∴∠C1E1B1＝∠CEB.
易|错|警|示
等角定理理解不准确
典例3 设已知空间两个角α，β且α，β的两边分别平行，α＝60°，则β＝_60°或120°__.
[错解] 60°
[错因分析] 在应用等角定理解题时一定要注意“两组边对应平行且方向相同”这一条件，在求解本题时容易忽略此条件而出错误答案60°.
[正解] 因为角α，β的两边分别平行，
所以α，β相等或互补，
又α＝60°，所以β＝60°或120°.
对点练习 下列结论中，正确的结论有( B )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] ②④是正确的．
1．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有( C )
A．∠BAC＝∠B′A′C′
B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
D．∠BAC＋∠B′A′C′＝90°
2．如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB与∠A1O1B1( C )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．以上均不对
[解析] 如图(1)所示，当OA与O1A1，且OB与O1B1同向时，此时∠AOB＝∠A1O1B1，
如图(2)所示，当OB与O1B1同向时，且OA与O1A1反向时，此时∠AOB＋∠A1O1B1＝180°，
即∠AOB与∠A1O1B1互补，
综上可得，∠AOB与∠A1O1B1相等或互补．
故选C.
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∠AD1B1和∠DBC1的关系为( A )
A．相等 B．互补
C．互余 D．相等或互补
[解析] ∵∠AD1B1与∠DBC1的两条边均对应平行，且方向都相反，所以两角相等．
4．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为_6__.
[解析] EH＝FG＝BD＝1.
同理EF＝GH＝AC＝2，
所以四边形EFGH的周长为6.
5．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别为棱CD、AD的中点，求证：四边形MNA′C′是梯形．
[证明] 如图，连接AC，
∵M、N分别为棱CD、AD的中点，∴MN綉AC.
由正方体性质可知AC綉A′C′，
∴MN綉A′C′，
∴四边形MNA′C′是梯形．8．5.2 直线与平面平行
课标要求
1．借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并加以证明．
2．会应用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行．
素养要求
通过线面平行问题的证明，培养逻辑推理核心素养；借助几何体判定直线与平面的位置关系，培养直观想象核心素养；通过根据平行关系进行数值计算，培养数学运算核心素养.
知识点 1 直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果_平面外__一条直线与此_平面内__的一条直线_平行__，那么该直线与此平面平行
符号语言 _a α，b α，且a∥b__ a∥α
图形语言
想一想：
若一直线与平面内的一条直线平行，一定有该直线与平面平行吗？
提示：不一定．也有可能直线在平面内，所以一定要强调直线在平面外．
练一练：
能保证直线a与平面α平行的条件是( D )
A．b α，a∥b
B．b α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D．a α，b α，a∥b
[解析] 由线面平行的判定定理可知，D正确．
知识点 2 直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面_平行__，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与_交线__平行
符号语言 a∥α，_a β，α∩β＝b__ a∥b
图形语言
想一想：
(1)一条直线平行于一个平面，则该直线平行于这个平面内的任意一条直线吗？
(2)若直线a∥平面α，过a与α相交的平面有多少个？它们与α的交线相互之间有什么关系？
提示：(1)一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但不能与平面内的任意一条直线平行，这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．
(2)过a与α相交的平面有无数多个，由线面平行的性质定理可知，这些交线都与a平行，故它们相互之间互相平行．
练一练：
已知a、b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( D )
A．b∥α B．b与α相交
C．b α D．b∥α或b与α相交
[解析] 由题意得b∥α和b与α相交都有可能．故选D.
题|型|探|究
题型一 理解线面平行
典例1 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( D )
A．相交 B．b∥α
C．b α D．b∥α或b α
[解析] 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.
[归纳提升] 线面平行的判定定理必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a α；
(2)直线b在平面α内，即b α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．
对点练习 下列说法正确的是( D )
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b＝ ，直线b α，则a∥α
D．若直线a∥b，b α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
[解析] 直线l还可以在平面α内，A错误；直线a在平面α外，包括平行和相交，B错误；a还可以与平面α相交或在平面α内，C错误．故选D.
题型二 直线与平面平行的判定
典例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为PD的中点，求证：PB∥平面ACM.
[证明] 连接BD，交AC于点O，连接OM，
∵M为PD的中点，
∴OM为△DPB的中位线，
∴OM∥PB.
又OM 平面ACM，而PB 平面ACM，
∴PB∥平面ACM.
[归纳提升] 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．
对点练习 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
[解析] 连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.
又AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
又EF 平面AD1G，AD1 平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
题型三 直线与平面平行的性质
典例3 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
[分析] 根据线面平行的性质定理，要证AP∥GH，只需证AP∥平面BDM，只需证AP与平面BDM中的某一条直线平行．
[证明] 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
又M是PC的中点，∴AP∥OM.
又AP 平面BMD，OM 平面BMD，
∴AP∥平面BMD.
又∵AP 平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴AP∥GH.
[归纳提升] (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．
对点练习 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1，B，C1的平面与平面ABC相交于l，则( A )
A．l∥AC B．l与AC相交
C．l与AC异面 D．以上均不对
[解析] ∵ABC－A1B1C1为三棱柱，
∴A1C1∥AC，又AC 平面ABC，A1C1 平面ABC，
∴A1C1∥平面ABC，又平面A1C1B∩平面ABC＝l，
∴A1C1∥l，∴l∥AC.故选A.
题型四 直线与平面平行的判定、性质的应用
典例4 如图，三棱锥A－BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD∥平面EFGH.
[证明] 因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥GH，
因为EF 平面BCD，GH 平面BCD，
所以EF∥平面BCD，
又因为EF 平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，所以EF∥CD，因为EF 平面EFGH，CD 平面EFGH，所以CD∥平面EFGH.
[归纳提升] 关于线面平行关系的综合应用
线面平行的判定是由线线平行→线面平行，性质定理是由线面平行→线线平行，因此线线平行与线面平行可以相互转化，也体现了平面和空间平行关系的相互转化．
对点练习 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M.求证：
(1)PD∥平面ANC；
(2)M是PC中点．
[证明] (1)连接BD，AC，设AC∩BD＝O，连接NO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，在△PBD中，N是PB的中点，
∴PD∥NO，
又NO 平面ANC，PD 平面ANC，
∴PD∥平面ANC.
(2)∵底面ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∵BC 平面ADMN，AD 平面ADMN，
∴BC∥平面ADMN.
∵平面PBC∩平面ADMN＝MN，BC在面PBC内，
∴BC∥MN，又N是PB的中点，
∴M是PC的中点．
易|错|警|示
忽视定理的必备条件
典例5 证明：已知平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于该平面．
已知：a∥b，a β，b β，a∥β.
求证：b∥β.
[错解] 因为a∥b，所以直线a，b确定平面γ，设β∩γ＝c.
因为a∥β，所以a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，
又因为c β，b β，所以b∥β.
出错的原因是此时直线a，b确定的平面γ与β不一定相交，也可能平行，所以直线c也可能不存在．
[错因分析] 使用定理证明或判断线线平行或线面平行时，一定要注意定理成立的条件，缺一不可．
[正解] 在平面β内任一点A，因为a∥β，所以A a.
设点A与直线a确定平面γ，β∩γ＝c.
又a∥β，由线面平行的性质定理可得a∥c，
又a∥b，所以b∥c，又c β，b β，所以b∥β.
对点练习 b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是( D )
A．b与α内的一条直线不相交
B．b与α内的两条直线不相交
C．b与α内的无数条直线不相交
D．b与α内的任何一条直线都不相交
[解析] ∵b∥α，∴b与α无公共点，从而b与α内任何一条直线无公共点．
1．三棱台ABC－A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是( B )
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．不确定
[解析] ∵AB∥A1B1，AB 平面A1B1C1，A1B1 平面A1B1C1，
∴AB∥平面A1B1C1.
2．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( D )
A．平面α内不存在与a平行的直线
B．平面α内所有直线与a相交
C．平面α内所有直线与a异面
D．直线a与平面α至少存在一个公共点
[解析] 由于直线a不平行于平面α，所以直线a与平面α相交或直线a在平面α内，直线a在平面α内时，平面α内存在与a平行的直线，故A错误；直线a与平面α相交时，平面α内存在直线与a异面，故B错误；直线a在平面α内时，平面α内存在与a平行或相交的直线，故C错误；直线a与平面α相交或直线a在平面α内，直线a与平面α至少存在一个公共点，故D正确．故选D.
3．如图甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E、F分别为AD、CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内(如图乙)，那么在以下3个结论中，正确结论的个数是( C )
①AF∥平面BCD；②BE∥平面CDF；
③CD∥平面BEF.
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 对于①，由题意得AB∥CF，AB＝CF，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∴AF∥BC，
∵AF 平面BCD，BC 平面BCD，
∴AF∥平面BCD，故①正确；
对于②，取DF中点G，连接EG，CG，
∵E是AD中点，AF∥BC，AF＝BC，
∴EG＝BC，EG∥BC
∴四边形BCGE为梯形，
∴直线BE与直线CG相交，
∴BE与平面CDF相交，故②错误；
对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE，
∵四边形ABCF是平行四边形，
∴O是AC中点，
∴OE∥CD，
∵OE 平面BEF，CD 平面BEF，
∴CD∥平面BEF，故③正确．
故选C.
4．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G、H分别为SB、BD上的点，若GH∥平面SCD，则( B )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
[解析] ∵GH∥平面SCD，GH 平面SBD，
平面SBD∩平面SCD＝SD，∴GH∥SD.
5．如图，三棱柱ABC－A′B′C′，点M、N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.
[证明] 连接AB′、AC′，则点M为AB′的中点．
又点N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.
又MN 平面A′ACC′，AC′ 平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′.8.5.3 平面与平面平行
课标要求
1．借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理和性质定理，并加以证明．
2．会应用平面与平面平行的判定定理和性质定理证明平面与平面平行、直线与平面平行、直线与直线平行．
素养要求
1．借助几何体判定平面与平面的位置关系，培养直观想象、逻辑推理核心素养．
2．通过根据平行关系进行相关计算，培养数学运算核心素养.
知识点 1 平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的_两条相交直线__都与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a α，b α，a∩b＝P，a∥β，b∥β α∥β
图形语言
[拓展] 剖析平面与平面平行的判定定理
(1)具备两个条件
判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件．
①平面α内两条相交直线a，b，即a α，b α，a∩b＝P.
②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.
(2)体现了转化思想
此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行．
(3)此定理可简记为：线面平行 面面平行．
练一练：
在正方体中，相互平行的面不会是( D )
A．前后相对侧面 B．上下相对底面
C．左右相对侧面 D．相邻的侧面
[解析] 由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D.
知识点 2 平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线_平行__
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b _a∥b__
图形语言
[拓展] 1.解读平面与平面平行的性质定理
(1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理．可简述为“若面面平行，则线线平行”．
(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可．
(3)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面内的一切直线”的错误．
2．两个平面平行的一些常见结论
(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行．
(2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交．
(3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等．
练一练：
已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是( A )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
[解析] 因为平面ABCD∥平面A′B′C′D′，所以EF∥E′F′.故选A.
题|型|探|究
题型一 面面平行判定定理的理解
典例1 (多选题)下列命题中正确的是( CD )
A．若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B．若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
C．若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行
D．若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行
[解析] 对A选项，这两个平面可能平行，也可能相交；对B选项，这两个平面可能平行，也可能相交；对C选项，平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则一定存在两条相交直线平行于另一个平面，所以两平面一定平行；对D选项，是面面平行的判定定理．所以选CD.
[归纳提升] 利用判定定理证明面面平行，必须具备两个条件：
(1)有两条直线平行于另一平面；
(2)这两条直线必须相交．
对点练习 已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( D )
A．l∥β，l α α∥β
B．l∥β，m∥β，l α，m α α ∥β
C．l∥m，l α，m β α∥β
D．l∥β，m∥β，l α，m α，l∩m＝M α∥β
题型二 平面与平面平行的判定
典例2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.
[分析] 要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可．
[证明] 如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.
又D、E分别为BC，B1C1的中点，
所以C1E∥DB，C1E＝DB，
则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D.
又C1D 平面ADC1，EB 平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1.
连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，
所以四边形EDBB1为平行四边形，
则ED∥B1B，ED＝B1B.
因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，
所以ED∥A1A，ED＝A1A，
则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.
又A1E 平面ADC1，AD 平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1.
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E 平面A1EB，EB 平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.
[归纳提升] 平面与平面平行的判定方法：
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
对点练习 (2023·哈尔滨高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．
求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
[证明] 连接SD，SB.因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD，
又SD 平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，
所以FG∥平面BDD1B1，同理可证直线EG∥平面BDD1B1，
又直线EG 平面EFG，直线FG 平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.
题型三 平面与平面平行的性质
典例3 (1)如图，已知平面α∥β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝ .
(2)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，设平面A1D1B∩平面ABC＝l1，平面ADC1∩平面A1B1C1＝l2，求证：l1∥l2.
[解析] (1)因为AC∩BD＝P，
所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，
所以AB∥CD.所以＝，即＝.所以BD＝.
(2)证明：连接D1D，
因为D与D1分别是BC与B1C2的中点，
所以DD1綉BB1，
又BB1綉AA1，所以DD1綉AA1，
所以四边形A1D1DA为平行四边形，
所以AD∥A1D1，
又平面A1B1C1∥平面ABC，且平面A1B1C1∩平面A1D1B＝A1D1，平面A1D1B∩平面ABC＝l1，
所以A1D1∥l1，同理可证：AD∥l2，
因为A1D1∥AD，所以l1∥l2.
[归纳提升] (1)面面平行的性质定理是由面面平行证明线线平行．证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面．有时需要添加辅助面．
(2)证明直线与平面平行，除了定义法，判定定理法以外，还可以用两平面平行的性质，也就是说为了证明直线与平面平行，也可以先证明两平面平行，再由两平面平行的性质得到线面平行．
对点练习 (1)将本例(1)改为：若点P位于平面α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．
(2)如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
[解析] (1)与典例3(1)同理，可证AB∥CD.
所以＝，即＝，所以BD＝24.
(2)因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.
题型四 平面与平面平行的综合应用
典例4 如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点．
求证：直线EE1∥平面FCC1.
[证明] 因为F为AB的中点，所以AB＝2AF，
又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，
因为AB∥CD，所以CD∥AF，
所以四边形AFCD为平行四边形，
所以FC∥AD，又FC 平面ADD1A1，
AD 平面ADD1A1，
所以FC∥平面ADD1A1，
因为CC1∥DD1，CC1 平面ADD1A1，
DD1 平面ADD1A1，
所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1 平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.
[归纳提升] 空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
对点练习 如图，在三棱柱BCF－ADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点．
(1)求证：GH∥平面BFC；
(2)在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP∥平面BCF，若存在，指出P的具体位置并证明；若不存在，说明理由．
[解析] (1)连接BD，∵四边形ABCD为平行四边形， G是线段BD的中点，
∵G，H分别是线段BD，DF的中点，故GH∥BF，
又BF 平面BFC，GH 平面BFC，故有GH∥平面BFC.
(2)存在，P是线段CD的中点，理由如下：
连接PG，PH，由(1)可知：GH∥BF，GH 平面GHP，BF 平面GHP，
∴BF∥平面GHP，
∵P、H分别是线段CD、DF的中点，则HP∥CF，HP 平面GHP，CF 平面GHP，
∴CF∥平面GHP，BF∩CF＝F，BF 平面BCF，CF 平面BCF，
故平面GHP∥平面BCF.
易|错|警|示
应用定理条件不足，推理论证不严密致误
典例5 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点，求证：平面EFGH∥平面ABCD.
[错解] ∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB，
又EF 平面ABCD，AB 平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，
同理可证，HG∥平面ABCD.
又EF 平面 EG，HG 平面EG，
∴平面EFGH∥平面ABCD.
[错因分析] 错解中，EF与HG是平面EG内的两条平行直线，不是相交直线，不符合面面平行的判定定理的条件，因此证明不正确．
[正解] ∵E、F分别是AA1和BB1的中点，
∴EF∥AB，又EF 平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
同理可证EH∥平面ABCD.
又EF 平面EG，EH 平面EG，EF∩EH＝E，
∴平面EFGH∥平面ABCD.
[误区警示] 利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时，所满足的条件必须是明显或已经证明成立的，并且要与定理条件保持一致，否则容易导致错误．
对点练习 如右图所示，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( A )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
[解析] ∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，
∴A1D1∥E1F1，又A1D1 平面BCF1E1，E1F1 平面BCF1E1，∴A1D1∥平面BCF1E1.
又E1和E分别是A1B1和AB的中点，
∴A1E1綉BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，
∴A1E∥BE1，
又A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，
∴A1E∥平面BCF1E1，
又A1E 平面EFD1A1，A1D1 平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
1．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有( D )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
[解析] 正六棱柱3对侧面和一对底面都是互相平行的．
2．下列结论中，错误的是( A )
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一平面的两直线关系不确定
D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
[解析] 如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，
BB1∥平面ADD1A1，
BB1∥平面DCC1D1，
而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1.故选A.
3．已知α，β是两个不重合的平面，直线a α，命题p：a∥β，命题q：α∥β，则p是q的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 充分性：如图所示在正方体中，取平面A1BCD1为面α，平面ABCD为面β，A1D1为直线a，满足直线a α， a∥β，但是α，β相交，不平行．故充分性不满足．
必要性：由面面平行的性质定理可知，若α∥β且a α，则a∥β.故必要性满足．
故p是q的必要不充分条件．
故选B.
4．已知异面直线l、m，且l∥平面α，m 平面α，l 平面β，α∩β＝n，则直线m、n的位置关系是_相交__.
[解析] 由于l∥平面α，l 平面β，α∩β＝n，则l∥n.又直线l、m异面，则直线m、n相交．
5．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1.
[证明] ∵AB綉A1B1，C1D1綉A1B1，∴AB綉C1D1.
∴四边形ABC1D1为平行四边形．∴AD1∥BC1.
又AD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.同理BD∥平面AB1D1.
又∵BD∩BC1＝B，∴平面AB1D1∥平面BDC1.8．6.1 直线与直线垂直
课标要求
1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系．
2．掌握两异面直线所成的角的求法．
素养要求
在计算两异面直线所成的角及证明直线与直线垂直的过程中，要利用空间的线、面位置关系，并进行计算，发展学生的逻辑推理素养、数学运算素养和直观想象素养.
知识点 1 空间两条直线的位置关系有三种
(1)平行直线；
(2)相交直线；
(3)异面直线．
知识点 2 异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线_a′__与_b′__所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)空间两条直线所成角α的取值范围：_[0°，90°]__.
[拓展] 对异面直线所成的角的认识理解的注意点
(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．
(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算．
练一练：
已知正方体ABCD－EFGH，则AH与FG所成角的大小为_45°__.
[解析] 如图，连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角．因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°.
知识点 3 异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是_直角__，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作_a⊥b__.
[提醒] 两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.
题|型|探|究
题型一 理解异面垂直
典例1 (1)如图，观察长方体ABCD－A′B′C′D′，有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？
(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？
(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
[解析] (1)如题图中，棱AA′与BC，AA′与CD，AA′与B′C′，AA′与C′D′等所在的直线均是互相垂直的异面直线．
(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条也与这条直线垂直．
(3)垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，也可能相交或异面．
[归纳提升] (1)两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直．
(2)研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，把空间角问题转化为平面角问题，这是研究立体几何问题的一种基本思想．
对点练习 (1)如图，正方体AC1中，与AB垂直的棱有_8__条．
(2)如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，并且AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是_矩形__.
[解析] (1)与AB垂直的棱有BC以及与BC平行的棱，还有BB1以及与BB1平行的棱，共8条．
(2)由EH綉BD，FG綉BD，所以EH綉FG，四边形EFGH为平行四边形．由于HG∥AC，EH∥BD，所以∠EHG即为异面直线BD与AC所成角，AC⊥BD，故∠EHG＝90°，所以四边形EFGH为矩形.
题型二 求异面直线所成的角
典例2 如图1，P是平面ABC外的一点，PA＝4，BC＝2，D，E分别为PC，AB的中点，且DE＝3，则异面直线PA与BC所成的角的大小为_90°__.
[分析] →→
[解析] 如图2，取AC的中点F，连接DF，EF，在△PAC中，∵D是PC的中点，F是AC的中点，∴DF∥PA.
同理可得EF∥BC.
∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)．
在△DEF中，DE＝3，又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，
∴DE2＝DF2＋EF2，
∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.
[归纳提升] 求两异面直线所成的角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．
(2)证：证明作出的角就是要求的角．
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
对点练习 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠AD1D＝45°，∠CDC1＝30°，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是 .
[解析] 如图：设AD＝1，
∵∠AD1D＝45°，
∴DD1＝AD＝1，
又∵∠CDC1＝30°，∴C1D＝2，CD＝，
因为长方体ABCD－A1B1C1D1中，所以AB∥C1D1，AB＝C1D1，
所以四边形ABC1D1 是平行四边形，所以AD1∥BC1，
∴∠DC1B即为异面直线AD1与DC1所成的角(或补角)，
在△C1DB中，BD＝2，BC1＝，C1D＝2，
∴cos∠DC1B＝＝＝，
故答案为.
题型三 异面直线垂直的证明
典例3 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.
[证明] 如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，
所以BC＝b2＋h2，AB2＝a2＋b2，
A1B2＝a2＋b2＋h2，
所以A1B2＝A1C＋BC，
则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.
又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，
所以AC⊥BC1.
[归纳提升] (1)要证明两异面直线垂直，可根据两条异面直线垂直的定义，证明这两条异面直线所成的角为90°.
(2)在证明两条异面直线垂直时，和求两条异面直线所成的角类似，一般也是通过平移法找到与之平行的直线．
对点练习 如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.
[证明] 如图，取CC′的中点F，连接EF，BF，
∵E为AC的中点，F为CC′的中点，
∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角为∠BEF(其补角)，
即为异面直线BE与AC′所成角，且EF＝AC′.
在正三棱柱ABC－A′B′C′中，AC′＝2，EF＝.
在等边三角形ABC中，BE＝＝，
在Rt△BCF中，BF＝＝.
在△BEF中，BE2＋EF2＝BF2，
∴BE⊥EF，∴BE⊥AC′.
易|错|警|示
忽略异面直线所成的角的范围致误
典例4 如图1，已知空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．
[错解] 如图2，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，
∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC与AD所成的角为120°.
[错因分析] 解本题时易忽略异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°，从而由∠MEN＝120°直接得出BC与AD所成的角为120°这一错解．事实上，在未判断出∠MEN是锐角、直角还是钝角之前，不能断定它就是两条异面直线所成的角，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角．
[正解] 以上解答同错解；∵异面直线所成角θ∈(0,90°]，∴BC与AD所成的角为60°.
[误区警示] 求异面直线所成的角θ的时候，要注意它的取值范围是0°<θ≤90°.
两条异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两条异面直线所成的角，也可能等于其补角．
对点练习 若∠AOB＝135°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a与OB所成的角的大小为_45°__.
[解析] 平移直线a使之与OA重合，由∠AOB＝135°可知，异面直线a与OB所成的角应为45°.
1．已知空间中的三条直线a，b，c满足a⊥c且b⊥c，则直线a与直线b的位置关系是( D )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或相交或异面
[解析] 如图，直三棱柱ABC－DEF中，
BE⊥BC，BE⊥EF，BC∥EF，
BE⊥DE，BE⊥EF，DE∩EF＝E，
BE⊥DE，BE⊥BC，DE，BC异面，
所以，空间中的三条直线a，b，c满足a⊥c且b⊥c，则直线a与直线b的位置关系是平行或相交或异面．
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1垂直的条数为( A )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BA1垂直的直线有AD，A1D1，B1C1，BC，共4条．
3．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( A )
A．有无数条 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
[解析] 如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，B1D1的中点，则直线EF与直线AA1所成角的正切值为( A )
A. B．
C． D．
[解析] 如图，取BD的中点G，连接EG，FG，则AA1∥FG，且AA1＝FG，
故直线EF与直线AA1所成的角为∠EFG.
因为AA1⊥平面ABCD，EG 平面ABCD，所以AA1⊥EG，FG⊥EG，
设AA1＝FG＝2a，EG＝AD＝a，则tan∠EFG＝＝.
故选A.8．6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
课标要求
1．借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明．
2．会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直．
素养要求
在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
知识点 1 直线与平面垂直的定义与判定定理
1．直线与平面垂直的定义
定义 一般地，如果直线l与平面α内的_任意一条__直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 _l⊥α__
有关概念 直线l叫做平面α的_垂线__，平面α叫做直线l的_垂面__，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做_垂足__
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边_垂直__
图示
性质 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
垂线段与点面距 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与_垂足__间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的_长度__叫做这个点到该平面的距离
2.直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的_两条相交直线__垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，_a∩b__＝P l⊥α
图形语言
[拓展] 1.对直线与平面垂直的几点说明
(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义词，与“无数条直线”不是同义词．
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形．
(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．这是判断两条直线垂直的一种重要方法．
2．理解直线与平面垂直的判定定理
不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直”．实际上，由基本事实4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直．
3．判定定理所体现的数学思想
直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想，即将线面垂直转化为线线垂直．
练一练：
1．直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能( A )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
[解析] 因为l⊥α，所以l垂直于平面α内的每一条直线，又m α，所以l⊥m，所以直线l与m不可能平行．
2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( C )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
[解析] 由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC，故选C.
3．(多选题)下列说法中，正确的是( CD )
A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α
C．若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α
D．若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α
[解析] 对于A、B，不能判定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．C、D是正确的，故选C、D.
知识点 2 直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与平面α_相交__，但不与这个平面_垂直__，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的_交点__叫做斜足
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引_垂线__PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的_射影__所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是_90°__；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是_0°__.直线与平面所成的角θ的取值范围是_[0°，90°]__
[拓展] 直线与平面所成的角的理解和判断
(1)对斜线和平面所成的角的定义的理解
斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角．
(2)判断方法
首先，判断直线和平面的位置，若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0°的角；若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90°.
其次，若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际操作过程中，这一点的选取要有利于求角)，找出直线在平面内的射影，从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角形中求解．
练一练：
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于_45°__；
AB1与平面ADD1A1所成的角等于_45°__；
AB1与平面DCC1D1所成的角等于_0°__.
[解析] ∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.
题|型|探|究
题型一 直线与平面垂直的定义及判定定理的理解
典例1 下列说法正确的有_②__(填序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．
[解析] 因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确．
由线面垂直的定义可得，②正确．
因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确．
如图，l与α不垂直，但a α，l⊥a，故④不正确．
[归纳提升] (1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．
(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．
对点练习 (多选题)下列命题中，不正确的是( ABD )
A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可平行
C．若直线l不垂直于平面α ，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
[解析] 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α垂直时，l可能与α内的直线垂直异面，但不可能平行，所以B不正确；若l在α内，l可以和α内的无数条直线垂直，故D错误.
题型二 直线与平面垂直的判定
典例2 (1)如图，已知P是菱形ABCD所在平面外的一点，且PA＝PC，求证：AC⊥平面PBD.
(2)如图，已知PA⊥平面ABC，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的任一点．求证：PC⊥BC.
[分析] (1)要证AC垂直平面PBD，则需让AC与平面PBD内的两条相交直线垂直，由已知可知，AC⊥BD，再由PA＝PC，可证AC与PO垂直．(O为AC中点)
(2)要证BC⊥PC，可通过先证BC⊥平面PAC来实现．
[证明] (1)∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD；
设AC∩BD＝O，∵PA＝PC，
∴△PAC为等腰三角形，且O为AC中点，
∴AC⊥PO；
又∵BD∩PO＝O，BD 平面PBD，PO 平面PBD，
∴AC⊥平面PBD.
(2)∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵∠ACB为直径所对的圆周角，
∴∠ACB＝，即BC⊥AC，
又PA∩AC＝A，且PA 平面PAC，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又∵PC 平面PAC，∴BC⊥PC.
[归纳提升] (1)应用直线与平面垂直的判定定理是证明直线与平面垂直的主要方法．如果在一个问题的条件中，出现较多的线线垂直，或线面垂直，那么证线面垂直常会选择直线与平面垂直的判定定理．关键是找好平面内的两条相交直线与已知直线垂直．
(2)①计算也是论证的一种方法；
②勾股定理、余弦定理是常用的工具．
(3)线线垂直 线面垂直 线线垂直，这是经常用到的转化方法．
对点练习 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，△PAD为正三角形，且E是AD的中点．
求证：BC⊥平面PEB.
[证明] 连接BD.因为E是正三角形PAD边AD的中点，则PE⊥AD.
因为四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
所以正三角形BAD中，BE⊥AD，
因为AD∥BC，所以BC⊥PE，BC⊥BE，
又因为PE∩BE＝E，
所以BC⊥平面PEB.
题型三 直线与平面所成的角
典例3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中．
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
[分析] (1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．
(2)过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．
[解析] (1)连接AC，∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝，
∴tan ∠A1CA＝.
(2)连接A1C1交B1D1于O，连接BO，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，∴∠A1BO＝30°.
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
[归纳提升] 求线面角的方法：
(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．
对点练习 (2022·济南高一检测)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( D )
A. B．
C． D．
[解析] 过点C1作C1O⊥B1D1于点O，连接OB，由长方体的性质知，BB1⊥平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥C1O，
因为B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1 平面BB1D1D，
所以C1O⊥平面BB1D1D，
所以∠C1BO即为直线BC1与平面BB1D1D所成角．
在Rt△B1C1D1中，B1C1·C1D1＝B1D1·C1O，
即1×2＝×C1O，
所以C1O＝，在Rt△C1BO中，
sin∠C1BO＝＝＝.
所以BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.
易|错|警|示
逻辑推理不严密致误
典例4 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB的中点，连接CD.求证：CD⊥平面ABB1A1.
[错解] ∵AA1⊥平面ABC，CD 平面ABC，∴CD⊥AA1.
又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，
又AA1 平面ABB1A1，BB1 平面ABB1A1，
∴CD⊥平面ABB1A1.
[错因分析] 错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线，不是相交直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件．
[正解] ∵AA1⊥平面ABC，CD 平面ABC，∴CD⊥AA1.
又AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB.∵AB 平面ABB1A1，AA1 平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，
∴CD⊥平面ABB1A1.
[误区警示] 用判定定理证明线面垂直时，必须要找全条件，这些条件必须是已知的、或明显成立的、或已经证明的．
对点练习 直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( D )
A．l和平面α相互平行
B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内
D．不能确定
[解析] 如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.
1．如图，将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于( C )
A．150° B．135°
C．90° D．60°
[解析] 依题意可知AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，所以AD⊥平面α，
所以折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于90°.
故选C.
2.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
[解析] ∵A∈α，C∈α，AC α，
又∵PB⊥α，∴PB⊥AC，
又∵PC⊥AC，PB∩PC＝B，∴AC⊥平面PBC，
又∵BC 平面PBC，∴AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形．故选B.
3．如果一条直线垂直于一个平面内的：
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
则能保证该直线与平面垂直的序号有( A )
A．①③ B．①②
C．②④ D．①④
[解析] 三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.
4．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有_4__个．
[解析] ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.
∴△PAB、△PAC为直角三角形．
∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AC，BC⊥PC.
∴△ABC、△PBC为直角三角形．
5．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且
PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与平面ABCD所成的角的大小．
[解析] 如图，连接AC，因为PA⊥平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．
在△PAC中，PA⊥AC，PA＝5，
AC＝＝＝5.则∠PCA＝45°，即直线PC与平面ABCD所成的角的大小为45°.第2课时 直线与平面垂直的性质
课标要求
1．借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面垂直的性质定理，并加以证明．
2．会应用直线和平面垂直的性质定理证明一些空间的简单线面关系．
素养要求
在发现、推导和应用直线与平面垂直的性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养．
知识点 1 直线与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_平行__
符号语言 _a∥b__
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行，②作平行线
练一练：
1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能
推出a∥b的是( C )
A．b∥α B．b α
C．b⊥α D．b与α相交
[解析] 由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.故选C.
2．如图，已知AF⊥平面ABCD，平面DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝_6__.
[解析] ∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.
∵AF＝DE，
∴四边形ADEF是平行四边形，∴EF＝AD＝6.
知识点 2 距离
1．直线与平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上_任意一点__到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
2．两个平行平面间的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都_相等__，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
想一想：
1．l∥平面α，A∈l，B∈l，则A，B到平面α的距离有什么关系？
提示：相等．
2．在棱柱、棱台的体积公式中，它们的高的本质是什么？
提示：它们的高的本质就是它们的上、下底面间的距离．
练一练：
1．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为( B )
A．1 B．
C．2 D．2
[解析] 如图，连接AC，与DB交于点O，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，AC⊥平面BDD1B1.
∴点C到平面BDD1B1的距离为CO.
∵AB＝2，∴AC＝2，
∴CO＝AC＝.
2．线段AB在平面α的同侧，点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为_4__.
[解析] 如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.
题|型|探|究
题型一 直线与平面垂直的性质定理的理解
典例1 已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：
① n∥α； ② m∥n；
③ α∥β； ④ m∥n.
其中正确命题的序号是( A )
A．②③ B．③④
C．①② D．①②③④
[解析] ①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直线m，n平行或异面，故选A.
[归纳提升] 判定两条直线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．
(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线．
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
对点练习 已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面．下列命题中正确的个数为( B )
①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；
③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.
A．1 B．2
C．3 D．0
[解析] 对于①，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正确；对于②，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正确；对于③，因
为l∥α，l⊥m，所以m∥α或m α或m⊥α或m与α斜交，即③错误.
题型二 直线与平面垂直性质的应用
典例2 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，∠PDA＝45°，M∈AB，N∈PC，且MN⊥AB，MN⊥CP，E为PD中点．求证：AE∥MN.
[证明] ∵PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，
∴△PAD为等腰三角形．
∵E为中点，∴AE⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AD⊥CD，且PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD.
又AE 平面PAD，∴CD⊥AE.
又AE⊥PD，且CD∩PD＝D，
∴AE⊥平面PCD.
又MN⊥AB，
且AB∥CD，所以MN⊥CD，
又∵MN⊥CP，且CP∩CD＝C，
∴MN⊥平面PCD.
∵AE⊥平面PCD，∴AE∥MN.
[归纳提升] (1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直．
(2)在证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．
对点练习 如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
[证明] 如图所示，连接AB1，B1C，BD.
因为DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，
所以AC⊥平面BDD1.
又BD1 平面BDD1，
所以AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C.
又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥AC，EF⊥A1D，
又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C.
又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C.
所以EF∥BD1.
题型三 空间中的距离问题
典例3 如图，在直三棱柱ABC－DEF中，AC＝BC＝2，AB＝2，AD＝4，M，N分别为AD，CF的中点．
(1)求证：AN⊥平面BCM；
(2)设G为BE上一点，且BG＝BE，求点G到平面BCM的距离．
[分析] (1)根据AC2＋BC2＝AB2得AC⊥BC，并且得出四边形ACNM为正方形，进而即可求证；
(2)利用等体积法的思想求点到平面的距离．
[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC－DEF中，AC＝BC＝2，AB＝2，AD＝4，M，N分别为AD，CF的中点，
∵AC＝BC＝2，AB＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC，
又ABC－DEF是直三棱柱，
所以AD⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以AD⊥BC，
AC，AD 平面ACFD，AC∩AD＝A，
∴BC⊥平面ACFD，AN 平面ACFD，则BC⊥AN，
∵M，N分别为AD，CF的中点，且AD＝4，AC＝2，
∴四边形ACNM为正方形，则CM⊥AN，又BC∩CM＝C，
BC，CM 平面BCM，∴AN⊥平面BCM.
(2)由(1)知，即AC⊥BC，又ABC－DEF是直三棱柱，∴AC⊥平面BCFE，
∴MA∥FC，则点M到平面GBC的距离即为AC＝2，
∴VG－BCM＝VM－BCG＝S△BCG·AC＝×·BC·BG·AC＝×2×3×2＝2，
由(1)知，BC⊥CM，且CM＝2，∴S△BCM＝×2×2＝2，
设点G到平面BCM的距离为h，则VG－BCM＝×2h，∴×2h＝2，则h＝，
即点G到平面BCM的距离为.
[归纳提升] 空间中距离的转化
(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．
(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．
(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．
对点练习 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1.
(1)证明：BC1∥平面D1AC；
(2)求直线BC1到平面D1AC的距离．
[解析] (1)证明：因为ABCD－A1B1C1D1为长方体，故AB∥C1D1，AB＝C1D1，故四边形ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，显然BC1 面D1AC，于是直线BC1∥平面D1AC.
(2)直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离，设为h，
考虑三棱锥D1－ABC的体积，以平面ABC为底面，可得V＝××1＝，
而△AD1C中，AC＝D1C＝，AD1＝，
cos∠ACD1＝，sin∠ACD1＝，
故S△AD1C＝×××＝.
所以，V＝××h＝，故h＝，
即直线BC1到平面D1AC的距离为.
题型四 直线与平面垂直关系的综合应用
典例4 如图所示，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.
求证：AE⊥SB.
[证明] 因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因为AE 平面SAB，所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB 平面SBC，所以AE⊥SB.
[归纳提升] 线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面．
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．
对点练习 本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G”改为“过A作AF⊥SC于点F，过点F作EF⊥SC交SB于点E”，结论不变，如何证明？
[解析] 因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因为AE 平面SAB，所以BC⊥AE.
又因为AF⊥SC于点F，EF⊥SC交SB于点E，
所以SC⊥平面AEF，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB 平面SBC，所以AE⊥SB.
易|错|警|示
考虑不周全而致误
典例5 已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别为1和2，A，B两点在平面α内的射影之间的距离为，求直线AB和平面α所成的角．
[错解] 如图所示．
分别过A、B向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，设直线AB和平面α所成角为θ，则tan θ＝＝. ∵θ∈，∴θ＝30°.
[错因分析] 解答本题时只考虑A，B在平面同一侧的情况，没有考虑A，B在平面两侧的情况而出现漏解．
[正解] ①当点A，B在平面α的同侧时，由题意知直线AB与平面α所成的角为30°.
②当点A，B位于平面α的两侧时，如右图，过点A，B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB与平面α相交于点C，A1B1为AB在平面α上的射影，
∴∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角．
在Rt△BCB1中，BB1＝2.在Rt△ACA1中，AA1＝1.
由题意可知△BCB1∽△ACA1，
∴＝＝2，∴B1C＝2A1C.
∵B1C＋A1C＝，∴B1C＝.
∵tan∠BCB1＝＝＝，∴∠BCB1＝60°，
∴AB与平面α所成的角为60°.
综合①②可知，直线AB与平面α所成的角为30°或60°.
对点练习 在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝_13__.
[解析] 如图，连接CD，则在Rt△ABC中，CD＝AB.因为AC＝6，BC＝8，所以AB＝＝10.所以CD＝5.因为EC⊥平面ABC，CD 平面ABC，所以EC⊥CD.
所以ED＝＝＝13.
1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( C )
A．平行 B．相交
C．垂直 D．互为异面直线
[解析] 在平面α内必有直线m和直线l所成的角为90°，所以二者垂直．
2．已知△ABC所在的平面为α，l，m是两条不同的直线，l⊥AB，l⊥AC，m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( C )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
[解析] ∵l⊥AB，l⊥AC，AB α，AC α，且AB∩AC＝A，
∴l⊥α，同理可证m⊥α，∴l∥m，
∴直线l，m的位置关系是平行．故选C.
3．已知PA垂直平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是( D )
A．平行四边形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
[解析] 因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD.因为PC⊥BD，且PA∩PC＝P，
所以BD⊥平面PAC，所以AC⊥BD.
4．若构成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为BA，BC，BD，教室内一点P到三墙面α，β，γ的距离分别为3 m，4 m，1 m，则P与墙角B的距离为 m.
[解析] P与墙角B的距离为＝(m)．
5．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，如图所示，A1A＝AB＝a，G，E，F分别是A1C1，AB，BC的中点，求证：直线EF⊥直线GB.
[证明] 连接B1G.在三角形A1B1C1中，G是A1C1的中点，所以B1G⊥A1C1.
因为B1B⊥平面A1B1C1，A1C1 平面A1B1C1，
所以B1B⊥A1C1，
因为B1G∩B1B＝B1，B1G，B1B 平面B1BG，
所以A1C1⊥平面B1BG，
因为BG 平面B1BG，
所以A1C1⊥BG，
又因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以EF∥A1C1，
所以直线EF⊥直线GB.8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定
课标要求
1．借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判定定理，并加以证明．
2．会应用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直．
素养要求
在发现、推导和应用平面与平面垂直的判定定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
知识点 1 二面角
定义 从一条直线出发的_两个半平面__所组成的图形
相关概念 ①这条直线叫做二面角的_棱__；②这两个半平面叫做二面角的_面__
画法
记法 二面角_α－l－β__或_α－AB－β__或_P－l－Q__或P－AB－Q
二面角的平面角 在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作_垂直于__棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的 _∠AOB__叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角α的取值范围是_[0°，180°]__
想一想：
二面角的平面角的大小与棱上取的点的位置有关吗？
提示：二面角的平面角的大小是唯一确定的，与棱上取点的位置无关．
练一练：
1．如图所示的二面角可记为( B )
A．α－β－l B．M－l－N
C．l－M－N D．l－β－α
[解析] 根据二面角的记法规则可知B正确．故选B.
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角D1－AB－D的平面角的大小是_45°__.
[解析] ∵AB⊥平面ADD1A1，∴AB⊥AD，AB⊥AD1，
∴∠D1AD为二面角D1－AB－D的平面角．
易知∠D1AD＝45°.
知识点 2 平面与平面垂直的定义与判定定理
1．平面与平面垂直的定义
定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直二面角__，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作：_α⊥β__
画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成_垂直__
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
符号语言 l⊥α，l β α⊥β
图形语言
[拓展] 剖析平面与平面垂直
(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况．例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的．
(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的．
3．详解平面与平面垂直的判定定理
(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直 面面垂直．
(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．
练一练：
1．直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是( C )
A．平行 B．可能重合
C．垂直 D．相交不垂直
[解析] 由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与平面ABCD垂直的面有( C )
A．1个 B．3个
C．4个 D．5个
[解析] 与平面ABCD垂直的平面有平面ABB1A1，平面BCC1B1，平面CDD1C1，平面DAA1D1，共4个．
题|型|探|究
题型一 二面角及其平面角的概念的理解
典例1 下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( B )
A．①③ B．②④
C．③④ D．①②
[解析] 由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确．故选B.
[归纳提升] 1.要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致．
2．要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别．
3．可利用实物模型，作图帮助判断．
对点练习 下列说法不正确的是( A )
A．只有过二面角棱上的某一特殊点，分别在两个半平面内引垂直于棱的射线，这两条射线所成的角才为二面角的平面角
B．和二面角的棱垂直的平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角
C．在锐二面角的一个面内引棱的垂线，该垂线与其在另一个面内的射影所成的角是二面角的平面角
D．二面角的平面角可以是一个锐角、一个直角或一个钝角
[解析] 二面角平面角的大小与其顶点在棱的哪个位置是无关的.
题型二 二面角的求法
典例2 四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；
(2)求二面角B－PA－D的平面角的度数；
(3)求二面角B－PA－C的平面角的度数；
(4)求二面角B－PC－D的平面角的度数．
[分析] 求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解．
[解析] (1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.
所以二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.
(2)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA.所以∠BAD为二面角B－PA－D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，所以二面角B－PA－D的平面角的度数为90°.
(3)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA.所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°.
所以二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.
(4)作BE⊥PC于E，连接DE、BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图．由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE.
所以∠DEP＝∠BEP＝90°，
且BE＝DE.
所以∠BED为二面角B－PC－D的平面角．
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.
设AB＝a，则PA＝AB＝BC＝a，
所以PB＝a，PC＝a，
所以BE＝＝a，BD＝a.
所以sin∠BEO＝＝＝.
因为∠BEO∈(0°，90°)，
所以∠BEO＝60°.所以∠BED＝120°.
所以二面角B－PC－D的平面角的度数为120°.
[归纳提升] 1.求二面角大小的步骤：
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．
2．作二面角的平面角的方法：
解法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
如右图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．
解法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．
如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．
解法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
如图所示，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
对点练习 (1)如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝AD，二面角A－BD－C的大小为_30°__；
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．
[解析] (1)因为AC⊥平面BCD，BD 平面BCD，所以BD⊥AC.
又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，
所以BD⊥平面ACD.
因为AD 平面ACD，所以AD⊥BD，
所以∠ADC即为二面角A－BD－C的平面角．
在Rt△ACD中AC＝AD，所以∠ADC＝30°.
(2)取A1C1的中点O，连接B1O，BO.
由题意知B1O⊥A1C1，
又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1 平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥OB1.
设正方体的棱长为a，则OB1＝a，
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，
所以二面角B－A1C1－B1的正切值为.
题型三 平面与平面垂直的证明
典例3 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a.
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD.
[分析] (1)根据已知的线段长度，证明PD⊥DC，PD⊥AD，即可得到PD⊥平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理证得结论．(2)根据(1)问得到PD⊥平面ABCD，从而有PD⊥AC，然后结合底面ABCD为正方形得到AC⊥BD，从而找出平面PDB的垂线AC，最后利用判定定理证得结论．
[证明] (1)因为PD＝a，DC＝a，PC＝a，
所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，
所以PD⊥平面ABC.
因为PD 平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，又BD∩PD＝D，
所以AC⊥平面PDB.
同时，AC 平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.
[归纳提升] 证明平面与平面垂直的方法：
(1)定义法：根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角为直角．
(2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．
(3)利用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面”．
对点练习 如图，PA⊥平面ABC，AB为圆O的直径，E，F分别为棱PC，PB的中点．
(1)证明：EF∥平面ABC.
(2)证明：平面EFA⊥平面PAC.
[证明] (1)因为E，F分别为棱PC，PB的中点，所以EF∥BC.
因为EF 平面ABC，BC 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为AB为圆O的直径，所以BC⊥AC.
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以BC⊥PA.
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.
由(1)知EF∥BC，所以EF⊥平面PAC.
又因为EF 平面EFA，所以平面EFA⊥平面PAC.
易|错|警|示
判断面面位置关系时主观臆断
典例4 如图所示，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，试问截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗？试说明理由．
[错解] 由题意可知，D1B1与AB1不垂直，D1B1与B1C不垂直，所以D1B1与平面ACB1不垂直，故平面BB1D1D与平面ACB1不垂直．
[错因分析] 判断两个平面垂直，只需说明其中一个平面经过另一个平面的垂线即可，判断线面、面面位置关系时，必须给出严格的推理过程，不能只凭图形直观妄加判断，要全面理解垂直关系的实质．
[正解] 因为四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，
因为BB1⊥底面ABCD，AC 底面ABCD，
所以AC⊥BB1，
又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，
又AC 截面ACB1，
所以截面ACB1⊥平面BB1D1D.
对点练习 如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有几对( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ∵AB⊥平面BCD，且AB 平面ABC和AB 平面ABD，
∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
∵CD 平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.
故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.
1．二面角是指( C )
A．一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形
B．一个半平面与另一个半平面组成的图形
C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形
D．两个相交的平行四边形组成的图形
[解析] 根据二面角的定义可知，选C.
2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面( C )
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．不存在
[解析] 经过l的平面都与α垂直，所以经过l的平面有无数个，故选C.
3.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是( C )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
[解析] ∵AB＝CB，且E是AC的中点，∴BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.∵AC在平面ABC内，∴平面ABC⊥平面BDE.又AC 平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE，故选C.
4．已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为_60°__.
[解析] 设正四棱锥为S－ABCD，
如图所示，高为h，底面边长为a，
则2a2＝(2)2，∴a2＝12.
又a2h＝12，∴h＝＝3.
设O为S在底面上的投影，作OE⊥CD于E，连接SE，
可知SE⊥CD，∠SEO为所求二面角的平面角．
tan∠SEO＝＝＝，∴∠SEO＝60°.
∴侧面与底面所成二面角的大小为60°.
5.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，AD＝2AB＝2BC，E是PD中点．求证：
(1)CE∥平面PAB；
(2)平面PCD⊥平面ACE.
[证明] (1)取线段AP的中点F，连接EF，BF，
∵E，F分别为PD，AP中点，
∴EF∥AD，EF＝AD，
又BC∥AD，BC＝AD，∴EF∥BC，EF＝BC，
∴四边形BCEF为平行四边形，∴CE∥BF，
∵BF 平面PAB，CE 平面PAB，∴CE∥平面PAB.
(2)∵PC⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴PC⊥AC；
设AD＝2，则AB＝BC＝1，
∵BC∥AD，AB⊥AD，
∴AB⊥BC，
∴AC＝，CD＝＝，
∴AC2＋CD2＝AD2，∴AC⊥CD；
∵PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴AC⊥平面PCD，
∵AC 平面ACE，
∴平面PCD⊥平面ACE.第2课时 平面与平面垂直的性质
课标要求
1．借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明．
2．能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题．
素养要求
在发现、推导和应用平面与平面垂直的性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
知识点 平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的_交线__，那么这条直线与另一个平面_垂直__
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，_a α__，_a⊥l__ a⊥β
图形语言
[提醒] 对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理成立的条件有三个：
①两个平面互相垂直；
②直线在其中一个平面内；
③直线与两平面的交线垂直．
(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
[拓展] 平面与平面垂直的其他性质与结论
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β b α.
(2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面．即α⊥β，γ∥β γ⊥α.
(3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．即α⊥β，b⊥β b∥α或b α.
(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ l⊥γ.
(5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直．即α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n l⊥m，m⊥n，l⊥n.
练一练：
平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是_平行__.
[解析] 因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.
又m⊥α，所以m∥n.
题|型|探|究
题型一 理解面面垂直
典例1 (多选题)已知两个平面垂直，下列命题中不正确的是( ACD )
A．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线
C．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面
D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
[解析] 一个平面内只有垂直交线的线和另一个平面垂直，才和另一个平面内任意一条直线垂直，所以A，C错误；因为一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面，都与该直线是垂直的，所以B正确；过平面内任意一点作交线的垂线，该垂线在平面内时，则此垂线必垂直于另一个平面，若点在交线上时，作交线的垂线，则垂线不一定在平面内，此垂线不一定垂直于另一个平面．
[归纳提升] 对于D，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过平面内一点作的直线不一定在平面内．
对点练习 对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( C )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
[解析] 对于C选项，在β内取两条相交直线a与b，因为n⊥β，所以n⊥a，n⊥b，又m∥n，所以m⊥a，m⊥b，又a与b相交，所以m⊥β，又m α，所以α⊥β，所以C正确.
题型二 平面与平面垂直的性质及应用
典例2 如图，在六面体ABCDEF中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1，四边形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.
证明：平面BCE⊥平面BDE.
[证明] 因为AB∥CD，AB⊥AD且AB＝AD＝CD＝1，所以BD＝BC＝，CD＝2，所以BC⊥BD，
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
四边形ADEF是正方形，ED⊥AD，ED 平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD，因为BC 平面ABCD，
所以BC⊥ED，因为BD，ED 平面BDE，BD∩ED＝D，所以BC⊥平面BDE，
因为BC 平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE.
[归纳提升] 若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
对点练习 如图，在四棱锥P－ABCD中，AD＝BD＝BC＝1，AB＝CD＝，PA＝PB，平面PBD⊥平面ABCD.求证：PD⊥AB.
[解析] 因为AD＝BD＝BC＝1，AB＝CD＝，
所以四边形ABCD是平行四边形，且AD⊥BD.
因为平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AD 平面ABCD，
所以AD⊥平面PBD，所以AD⊥PD，
因为PA＝PB，所以△PAD≌△PBD，
所以∠PDB＝∠PDA＝90°，即BD⊥PD，
又因为AD∩BD＝D，所以PD⊥平面ABCD，
因为AB 平面ABCD，所以PD⊥AB.
题型三 面面垂直的综合应用
典例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．
求证：(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
[证明] (1)∵AD∥BC，BC 平面PBC，
AD 平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，
∴AD∥MN.
又∵BC∥AD，∴MN∥BC.
又∵N是PB的中点，∴点M为PC的中点．
∴MN∥BC且MN＝BC，
又∵E为AD的中点，
∴MN∥DE且MN＝DE.
∴四边形DENM为平行四边形．
∴EN∥DM，且DM 平面PDC，EN 平面PDC，
∴EN∥平面PDC.
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.
又∵侧面PAD是正三角形，且E为中点，
∴PE⊥AD，
又∵PE∩BE＝E，
∴AD⊥平面PBE.
又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE，
又PB 平面PBE，
∴AD⊥PB.
又∵PA＝AB，N为PB的中点，∴AN⊥PB.
且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB 平面PBC.
∴平面PBC⊥平面ADMN.
[归纳提升] 垂直关系的转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
对点练习 如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，且平面PAC⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、PC的中点．
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：BD⊥PC.
[证明] (1)证法一：取PD中点G，连接FG，AG，在△PDC中，因为F、G分别是PC，PD的中点，
所以FG∥CD，FG＝CD；
因为E是正方形ABCD边AB的中点，
所以AE∥CD，AE＝CD；
所以AE∥GF，AE＝GF；
即四边形AEFG是平行四边形，
所以EF∥AG，
又因为AG 平面PAD，EF 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
证法二：延长DA交CE延长线于H，连接PH，
由于AE∥CD，AE＝CD，所以A是DH的中点，E是HC的中点，
所以EF∥PH，
又因为PH 平面PAD，EF 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
证法三：取CD中点I，连接EI，FI，
由于E，F，I均为中点，所以FI∥PD，EI∥AD，
FI∩EI＝I，FI，EI 平面FIE，PD∩AD＝D，PD，AD 平面PAD，
平面EFI∥平面PAD，
EF 平面FIE，
所以EF∥平面PAD.
(2)因为正方形ABCD中，BD⊥AC，
又平面ABCD⊥平面PAC;
平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，
所以BD⊥平面PAC，
因为PC 平面PAC，
所以BD⊥PC.
拓|展|应|用
垂直的综合应用
典例4 如图所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
(3)若截面MBC1⊥侧面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．
[分析] (1)根据面面垂直的性质定理易证AD⊥CC1；
(2)先证C1N⊥侧面BB1C1C，根据面面垂直的判定定理即可得证；
(3)先证M，E，D，A四点共面，再证四边形AMED是平行四边形，进而即可证明．
[解析] (1)因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.
因为底面ABC⊥侧面BB1C1C，底面ABC∩侧面BB1C1C＝BC，所以AD⊥侧面BB1C1C.又CC1 平面BB1C1C，
所以AD⊥CC1.
(2)证明：延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.
因为AM＝MA1，所以NA1＝A1B1.因为A1C1＝A1N＝A1B，
所以C1N⊥B1C1，
所以C1N⊥侧面BB1C1C.
所以截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
(3)结论正确．证明如下：过M作ME ⊥BC1于点E，连接DE.
因为截面MBC1⊥侧面BB1C1C，
所以ME⊥侧面BB1C1C，
又AD⊥侧面BB1C1C，所以ME∥AD，所以M，E，D，A四点共面．
因为MA∥侧面BB1C1C，
所以AM∥DE.
所以四边形AMED是平行四边形，
又AM∥CC1，所以DE∥CC1.
因为BD＝CD，所以DE＝CC1，
所以AM＝CC1＝AA1.
所以AM＝MA1.
对点练习 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，M，N分别为线段PC，AD的中点．
(1)求证：AD⊥平面PBN；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P－NBM的体积．
[解析] (1)证明：连接BD，易得△ABD和△PAD都是边长为2的正三角形，
∵N为AD的中点，∴AD⊥PN，AD⊥BN，
∵PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PBN.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，PN 平面PAD，
∴PN⊥平面ABCD，
∵BN 平面ABCD，∴PN⊥BN，
易得PN＝BN＝.
∴S△PBN＝××＝.
由(1)知AD⊥平面PBN，
∵底面ABCD为菱形，∴BC∥AD，
∴BC⊥平面PBN.
又M为PC的中点，
∴VP－NBM＝VM－PBN＝VC－PBN＝×××2＝.
1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( D )
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直
D．以上都有可能
2．(2022·长春高一检测)已知直线a和平面α、β有如下关系：①α⊥β，②α∥β，③a⊥β，④a∥α，则下列命题为真的是( C )
A．①③ ④ B．①④ ③
C．③④ ① D．②③ ④
[解析] 由α⊥β，a⊥β，可得a∥α或a α，故A错误；由α⊥β，a∥α，可得a β或a∥β或a与β相交，故B错误；由a∥α，过a作平面γ与α相交，交线为b，则a∥b，因为a⊥β，所以b⊥β，而b α，可得α⊥β，故C正确；由α∥β，a⊥β，可得a⊥α，故D错误．
3．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( C )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
[解析] 因为α∩β＝l，所以l β，又n⊥β，所以n⊥l.
4．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是_直角__三角形．
[解析] 设P在平面ABC上的射影为O，
∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴O∈AB.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，
∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，
∴△ABC是直角三角形．
5．如图，在直二面角α－AB－β中，AC和BD分别在平面α和β上，它们都垂直于AB，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD＝ 2 .
[解析] 连接BC，在直二面角α－AB－β中BD⊥AB，α∩β＝AB，BD β，
所以BD⊥α，又BC α，则BD⊥BC，又AC⊥AB，
所以，在Rt△ABC、Rt△DBC中CD＝＝2.
故答案为2.章末知识梳理
一、空间几何体的结构特征
1．多面体及其结构特征
(1)棱柱：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行．
(2)棱锥：①有一个面(底面)是多边形；
②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．
(3)棱台：①上、下底面互相平行，且是相似图形；
②各侧棱延长线相交于一点．
2．旋转体及其结构特征
(1)圆柱：①圆柱的轴垂直于底面；②圆柱的轴截面是矩形；③圆柱的所有母线相互平行且相等，且都与圆柱的轴平行；④圆柱的母线垂直于底面．
(2)圆锥：①圆锥的轴垂直于底面；②圆锥的轴截面为等腰三角形；③圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线都是圆锥的母线，圆锥的母线有无数条；④圆锥的底面是一个圆面．
(3)圆台：①圆台的上、下底面是两个半径不等的圆面；②圆台两底面圆所在平面互相平行且和轴垂直；③圆台有无数条母线；④圆台的母线延长线交于一点．
二、空间几何体的直观图
1．斜二测画法中“斜”和“二测”
“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．
2．斜二测画法中的建系原则
在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．
三、空间几何体的表面积和体积
1．多面体的表面积
各个面的面积之和，也就是展开图的面积．
2．旋转体的表面积
圆柱：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)．
圆锥：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．
圆台：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．
球：S＝4πR2.
3．柱体、锥体、台体的体积公式
(1)柱体的体积公式：
V柱体＝Sh(S底面面积，h为高)．
(2)锥体的体积公式V锥体＝Sh(S底面面积，h为高)．
(3)台体的体积公式
V台体＝(S＋＋S′)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)．
(4)球的体积公式V＝πR3.
四、空间点、线、面之间的位置关系
1．平面的基本性质
四个基本事实及其作用
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
作用：可用来证明点、直线在平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
作用：判断空间两条直线平行的依据．
2．空间中两直线的位置关系
空间中两直线的位置关系
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
五、直线、平面平行的判定与性质
1．直线与平面平行
(1)判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行 线面平行)．
(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行 线线平行”)．
2．平面与平面平行
(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”)．
(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
六、直线、平面垂直的判定及其性质
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义：
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)异面直线所成的角：
定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(3)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
(4)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
2．平面与平面垂直
(1)平面和平面垂直的定义：
两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直．
(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直．
(3)性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
要点一 几何体的表面积与体积
1.空间几何体的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体表面积注意衔接部分的处理．
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
2．空间几何体体积问题常见类型
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
典例1 如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
[解析] 由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面，
S半球＝8π(cm2)，S圆台侧＝35π(cm2)，S圆台底＝25π(cm2)，
故所求几何体的表面积为68π cm2.
由V圆台＝×[π×22＋＋π×52]×4＝52π(cm3)，V半球＝π×23×＝π(cm3)，
所以所求几何体的体积为
V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3)．
对点练习 (2023·上海格致中学期中)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如不计容器的厚度，则球的体积为( A )
A. cm3 B． cm3
C. cm3 D． cm3
[解析] 设球的半径为R cm，则由题意知球被正方体上底面截得的圆面的半径为4 cm，球心到截面圆的距离为(R－2)cm，则R2＝( R－2)2＋42，解得R＝5 cm.
∴球的体积为＝ cm3.
要点二 空间中的平行关系
1.判断线面平行的两种常用方法
面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：
(1)利用线面平行的判定定理．
(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．
2．判断面面平行的常用方法
利用面面平行的判定定理．
典例2 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
[解析] 当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：
如图连接BD与AC交于点O，连接FO，则PF＝PB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，∴OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且MA＝PB，
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四边形AFPM是平行四边形，
∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
对点练习 (2023·江苏苏州大学附属中学段考)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：MN∥PE.
[证明] (1)如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ.
因为N，Q分别是PC，DC的中点，所以NQ∥PD.
因为NQ 平面PAD，PD 平面PAD，
所以NQ∥平面PAD.
因为M，Q分别是AB，DC的中点，
四边形ABCD是平行四边形，所以MQ∥AD.
又MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
所以MQ∥平面PAD.
因为MQ∩NQ＝Q，MQ 平面MNQ，NQ 平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PAD.
因为MN 平面MNQ，
所以MN∥平面PAD.
(2)因为平面MNQ∥平面PAD，
且平面PEC∩平面MNQ＝MN，
平面PEC∩平面PAD＝PE，
所以MN∥PE.
要点三 空间中的垂直关系
1.判定线面垂直的方法
(1)线面垂直定义．
(2)线面垂直判定定理．
(3)平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α a⊥α)．
(4)面面垂直性质(α⊥β，α∩β＝l，a β，a⊥l a⊥α)．
2．判定面面垂直的方法
(1)面面垂直的定义．
(2)面面垂直的判定定理．
典例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
[证明] (1)因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA 平面PAD，PA⊥AD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形，
所以BE∥AD.
又因为BE 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，
所以AP⊥CD.
又因为AP∩AD＝A，AP，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
对点练习 如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.
(1)求证：AC⊥平面BCE；
(2)求证：AD⊥AE.
[证明] (1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)因为AF⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF.
又AE 平面ABEF，所以AD⊥AE.
要点四 空间中的角
1.空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角．这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置关系进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何的知识熟练解题．空间角的题目一般都是各种知识的交汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应引起足够重视．
2．求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．
3．求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．
4．常用的三种二面角的平面角的作法：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法．
总之，求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．
典例4 如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求证：PD⊥平面PBC；
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
[解析] (1)由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，PD 平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝，故cos∠DAP＝＝.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
(2)证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD 平面PDC，所以AD⊥PD.又BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB 平面PBC，所以PD⊥平面PBC.
(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC.
在Rt△DCF中，可得DF＝＝2.
在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝.
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
对点练习 如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的大小；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小．
[解析] (1)∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面BC′，OC 平面BC′，∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO 平面ABO，
∴OC⊥平面ABO.
又OA 平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成角为30°.
(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE 平面BC′，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝，
AE＝＝，
∴tan∠OAE＝＝.
即AO与平面ABCD所成角的正切值为.
(3)由(1)可知OC⊥平面AOB.
又∵OC 平面AOC，
∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.
