10．1.1 有限样本空间与随机事件
课标要求
结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系．
素养要求
能够在实际问题中抽象出随机现象与随机事件的概念，能够用样本空间去解释相关问题，发展数学抽象及逻辑推理素养.
知识点 1 随机试验及样本空间
1．随机试验的概念和特点
(1)随机试验：我们把对_随机现象__的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示．
(2)随机试验的特点：
①试验可以在相同条件下_重复__进行；
②试验的所有可能结果是_明确可知__的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间
定义 字母表示
样本点 我们把随机试验E的_每个可能的基本结果__称为样本点 用_w__表示样本点
样本空间 全体_样本点__的集合称为试验E的样本空间 用_Ω__表示样本空间
有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间 Ω＝{w1，w2，…，wn}
[拓展] 关于样本点和样本空间
(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；
(2)只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间．
练一练：
从标有1,2,3,4,5的5张卡片中任取两张，观察取出的卡片上的数字．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“数字之和为5”这一事件包含哪几个样本点？
[解析] (1)这个试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}((1,2)表示抽出标有1,2的两张卡片)．
(2)样本点的总数是10.
(3)“数字之和为5”这一事件包含以下两个样本点：(1,4)，(2,3)．
知识点 2 三种事件的定义
随机事件 我们将样本空间Ω的_子集__称为随机事件，简称事件，并把只包含_一个__样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然事件 Ω作为自身的子集，包含了_所有的__样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件
[提醒] (1)随机事件是样本空间的子集．随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件．
(2)必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形．
练一练：
(多选题)下列事件中是随机事件的是( AD )
A．连续掷一枚硬币两次、两次都出现正面朝上
B．异性电荷相互吸引
C．在标准大气压下，水在1 ℃结冰
D．买一注彩票中了特等奖
[解析] A、D是随机事件，B为必然事件，C为不可能事件．
题型探究
题型一 事件类型的判断
典例1 在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；
(3)没有水分，种子发芽；
(4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话；
(5)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时会沸腾；
(6)同性电荷相互排斥．
[分析] 依据事件的分类及其定义，在给出的条件下，判断事件是否发生．
[解析] 结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知．
(1)对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件．
(2)从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件．
(3)适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件．
(4)电话总机在60秒内接到至少15个电话，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件．
(5)在标准大气压下，水的温度达到100 ℃时，开始沸腾，水温达到50 ℃，水不会沸腾，故此事件是不可能事件．
(6)根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件．
[归纳提升] 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
对点练习 (1)(多选题)下列现象中，是随机现象的有( ACD )
A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆
B．若a为整数，则a＋1为整数
C．发射一颗炮弹，命中目标
D．检查流水线上一件产品是合格品
(2)从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个．
①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必然事件是_⑥__，不可能事件是_④__，随机事件是_①②③⑤__.(填序号)
(3)下列事件中，不可能事件为( C )
A．钝角三角形两个小角之和小于90°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
[解析] (1)当a为整数时，a＋1一定为整数，是必然现象，其余3个均为随机现象．故选ACD.
(2)从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个，可能结果是“三个全是正品”“两个正品一个次品”“一个正品两个次品”．
(3)若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，所以C为不可能事件，而A，B，D均为必然事件.
题型二 确定试验的样本空间
典例2 下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间．
(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素；
(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取2个元素．
[解析] (1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}．
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}．
(3)一次试验是指“从集合A中一次选取2个元素”，试验的样本空间为：{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}．
[归纳提升] 不重不漏地列举试验的所有样本点的方法
(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件．
(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决．
对点练习 从含有6件次品的200件产品中任取7件，观察其中次品数，写出对应的样本空间，并说出事件A＝{1,2}，B＝{0}的实际意义．
[解析] 样本空间为Ω＝{0,1,2,3,4,5,6}，事件A＝{1,2}表示抽取的7件产品中，恰有一件次品或恰有两件次品，事件B＝{0}表示抽取的7件产品中，没有次品.
题型三 随机事件的表示
典例3 一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．
(1)一共有多少个样本点？
(2)写出“2个球都是白球”这一事件的集合表示．
[解析] (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个[其中(1,2)表示摸到1号球和2号球]．
(2)记A表示“2个球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}．
[归纳提升] 1.判断随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错．
对点练习 做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)指出事件A＝{(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)}的含义；
(3)写出“点数之和大于8”这一事件的集合表示．
[解析] (1)这个试验的样本空间Ω为{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
(2)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7.
(3)记B＝“点数之和大于8”，则B＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
易错警示
忽视试验结果与顺序的关系而致误
典例4 已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，从这两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件的总数．
[错解] (1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)}．
(2)这个试验的基本事件的总数是6.
[错因分析] 题中要求从两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标，所以集合N中的元素也可以作为横坐标，错解中少了以下基本事件：(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)．
[正解] (1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)}．
(2)这个试验的基本事件的总数是12.
对点练习 同时抛掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是( D )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] (1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个样本点．
1．给出下列事件：①任取一个整数，能被2整除；②小明同学在某次数学测试中成绩一定不低于120分；③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲获胜；④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍，其中随机事件的个数是( B )
A．1 B．3
C．0 D．4
[解析] ①②③为随机事件，④为必然事件．
2．一个家庭有两个小孩儿，则可能的结果为( C )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
[解析] 随机试验的所有结果要保证等可能性．两个小孩儿有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点．
3．一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是( B )
A．摸出的4个球中至少有一个是白球
B．摸出的4个球中至少有一个是黑球
C．摸出的4个球中至少有两个是黑球
D．摸出的4个球中至少有两个是白球
[解析] 因为袋中有大小、质地完全相同的5个黑球和3个白球，
所以从中任取4个球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四种情况．故事件“摸出的4个球中至少有一个是白球”是随机事件，故A错误；事件“摸出的4个球中至少有一个是黑球”是必然事件，故B正确；事件“摸出的4个球中至少有两个是黑球”是随机事件，故C错误；事件“摸出的4个球中至少有两个是白球”是随机事件，故D错误．
故选B.
4．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的样本点共有( C )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
[解析] 点落在x轴上所包含的样本点为(－9,0)，(－7,0)，(－5,0)，(－3,0)，(－1,0)，(2,0)，(4,0)，(6,0)，(8,0)，共9个．
5．(1)“某人投篮3次，其中投中4次”是_不可能__事件；
(2)“抛掷一枚硬币，落地时正面朝上”是_随机__事件；
(3)“抛起一枚正方形骰子，得到点数不会小于1”是_必然__事件．
[解析] (1)共投篮3次，不可能投中4次，投中4次是一个不可能事件．(2)硬币落地时正面和反面朝上都有可能，是一个随机事件．(3)抛一枚骰子，得到点数不会小于1，是一个必然事件．10.1.2 事件的关系和运算
课标要求
了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算．
素养要求
通过相关概念的学习及对简单随机事件的运算，发展数学抽象与数学运算素养.
知识点 1 事件的运算
定义 表示法 图示
并事件 _事件A与事件B至少有一个发生__，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) _A∪B__(或 _A＋B__)
交事件 _事件A与事件B同时发生__，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) _A∩B__(或_AB__)
知识点 2 事件的关系
定义 表示法 图示
包含关系 若事件A发生，事件B_一定发生__，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) _B A__(或 _A B__)
互斥事件 如果事件A与事件B_不能同时发生__，称事件A与事件B互斥(且互不相容) 若_A∩B＝ __，则A与B互斥
对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中 _有且仅有一个发生__，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若_A∩B＝ __，且A∪B＝Ω，则A与B对立
[拓展] 1.互斥事件与对立事件的区别与联系
(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．
而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则A∪B不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个．
(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．
2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
练一练：
1．掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( B )
A．A B
B．A∩B＝{出现的点数为2}
C．事件A与B互斥
D．事件A与B是对立事件
[解析] 由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}．
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( D )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
[解析] 事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．
题型探究
题型一 互斥事件、对立事件的判定
典例1 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
[解析] (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
[归纳提升] 辨析互斥事件与对立事件的思路
辨析互斥事件与对立事件，可以从以下几个方面入手：
(1)从发生的角度看
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生．即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例．
(2)从事件个数的角度看
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．
对点练习 (1)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是( A )
A．两次都中靶 B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
(2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是( D )
A．恰有一次击中 B．三次都没击中
C．三次都击中 D．至多击中一次
[解析] (1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”．
(2)根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”.
题型二 事件的运算
典例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
[解析] (1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，
即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
[归纳提升] 事件运算应注意的2个问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
对点练习 在试验“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次出现的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出1点”；事件Aj表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”；事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”；事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”．
(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；
(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；
(3)试用事件Aj表示随机事件A.
[解析] 依题意可知样本空间为
Ω＝
(1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出1点”，所以A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)}．因为事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，所以B＝{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．
所以A∩B＝{(1,5)}，A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)} .
(2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1,4)，(2,5)，(3,6)}．
因为A∩B＝{(1,5)}≠ ，A∩C＝{(1,4)}≠ ，B∩C＝ ，所以事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件．
(3)因为事件Aj表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，所以A1＝{(1,1)}，A2＝{(1,2)}，A3＝{(1,3)}，A4＝{(1,4)}，A5＝{(1,5)}，A6＝{(1,6)}，所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
题型三 用集合运算表示随机事件
典例3 设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来．
(1)三个事件都发生；
(2)三个事件至少有一个发生；
(3)A发生，B，C不发生；
(4)A，B都发生，C不发生；
(5)A，B至少有一个发生，C不发生；
(6)A，B，C中恰好有两个发生．
[解析] (1)ABC (2)A∪B∪C
(3)A (4)AB (5)(A∪B)
(6)AB∪AC∪BC
[归纳提升] 利用随机事件的运算与集合运算的对应关系，可以有效地解决此类问题．
对点练习 从某大学数学系图书室中任选一本书．设A表示事件“任选一本书，这本书为数学书”；B表示事件“任选一本书，这本书为中文版的书”；C表示事件“任选一本书，这本书为2000年后出版的书”．问：
(1)AB表示什么事件？
(2)在什么条件下有ABC＝A
(3) B表示什么意思？
[解析] (1)AB表示事件“任选一本书，这本书为2000年或2000年前出版的中文版的数学书”．
(2)在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有ABC＝A.
(3) B表示2000年或2000年前出版的书全是中文版的．
易错警示
不能正确区分对立事件和互斥事件致错
典例4 进行抛掷一枚骰子的试验，有下列各组事件：
(1)“出现1点”与“出现2点”；
(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”；
(3)“出现大于3的点”与“出现大于4的点”．
其中是对立事件的组数是( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
[错解] C
[错因分析] 错解混淆了互斥事件与对立事件，误将互斥事件当作了对立事件．只有(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”是对立事件，而(1)中“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件，(3)中“出现大于3的点”与“出现大于4的点”不是互斥事件，所以也不是对立事件．
[正解] B
[误区警示] 对立事件一定是互斥事件，而互斥事件却不一定是对立事件．忽略互斥事件与对立事件之间的区别与联系，对“恰”“至少”“都”等词语理解不透彻．判断两个事件是否互斥，就要看它们是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就要看它们是否有一个必然发生．
对点练习 (2023·广东省茂名市期末)若干人站成一排，其中为互斥事件的是( A )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头”
D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
[解析] 根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B，C，D中两事件能同时发生，故不是互斥事件．
1．掷一枚质地均匀的骰子，下列事件具有包含关系的是( C )
A．“出现小于2点”与“出现大于2点”
B．“出现奇数点”与“出现偶数点”
C．“出现2点”与“出现偶数点”
D．“出现小于4点”与“出现大于2点”
[解析] 出现偶数点，即出现2点、4点或6点，与出现2点是包含关系．
2．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则( C )
A．A B B．A B
C．A与B互斥 D．A与B互为对立事件
3．已知A、B为两个随机事件，则“A、B为互斥事件”是“A、B为对立事件”的( B )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
[解析] 根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“ A、B为互斥事件”是“ A、B 为对立事件”的必要非充分条件．故选B.
4．设M，N，P是三个事件，则M，N至少有一个不发生且P发生可表示为( A )
A．(∪)P B．()P
C．(∪)∪P D．(N)∪(M)
5．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}，事件E＝{3个球都是红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}．
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
(3)事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
[解析] (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故A C，B C，E C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.10.1.3 古典概型
课标要求
理解古典概型，能运用古典概型计算概率．能在实际问题中建立古典概型模型．
素养要求
通过具体实例的探究理解古典概型，发展数学抽象及数学运算素养.
知识点 1 事件的概率
对随机事件发生_可能性大小__的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用_P(A)__表示．
知识点 2 古典概型
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有_有限个__；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性_相等__.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为_古典概率__模型，简称_古典概型__.
知识点 3 古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝ ＝ .
[拓展] (1)随机试验E中的样本点
①任何两个样本点都是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和．
(2)求解古典概型问题的一般思路
①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；
②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．
练一练：
1．袋中装有红白球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，所有的样本点个数是_8__.
[解析] 从装有红白两球的袋中有放回的取出，所有取法有：
共8个样本点．
2．从1,2,3中任取两个数字，设取出的数字含有2为事件A，则P(A)＝ .
[解析] 从1,2,3中任取两个数字，所有可能的结果有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，其中含有2的结果有2个，故P(A)＝.
题型探究
题型一 古典概型的判断
典例1 下列试验是古典概型的是_①②④__.
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
[分析] 紧扣古典概型的两大特征——有限性与等可能性进行判断．
[解析] ①②④是古典概型，因为符合古典概型的特征．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．
[归纳提升] 判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征——有限性和等可能性．
对点练习 下列是古典概型的是( C )
A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
[解析] A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件可能会无限个，故D不是.
题型二 古典概型的概率计算
典例2 (2023·福建省泉州市期末)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是奇数”，事件C：“两个数均为偶数”．
(1)写出该试验的样本空间Ω，并求事件A发生的概率；
(2)求事件B发生的概率；
(3)事件A 与事件C至少有一个发生的概率．
[解析] (1)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共包含36个样本点，
事件A：“两数之和为8”，如图1所示，A＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，A包含5个样本点，
图1
∴事件A发生的概率为P(A)＝.
(2)事件B：“两数之和是奇数”，如图2所示，B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，}
图2
∴事件B发生的概率P(B)＝＝.
(3)事件C：“两个数均为偶数”，C＝{(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，事件A与事件C至少有一个发生包含的样本点有11个，如图3所示，即A＋C＝{(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,3)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，
图3
∴事件A与事件C至少有一个发生的概率为P(A＋C)＝.
[归纳提升] 1.将所有的样本点用有序实数组一一列举出来，此时有几粒骰子每个实数组中就包含几个数．
2．对于抛掷两粒均匀的骰子的试验，样本点(共36个)可以用列表法或坐标系法(x轴、y轴分别表示抛掷两粒骰子的结果)表示出来．这两种方法在求向上的点数之和(或差)的概率时很方便．
对点练习 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
[解析] (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有：
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个，
则所求事件的概率为P＝＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有：
{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9个．
包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有：
{(A1，B2)，(A1，B3)}，共2个，则所求事件的概率为P＝.
题型三 古典概型中的无放回抽取、有放回抽取和同时抽取的概率
典例3 口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求：
(1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；
(2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率．
[解析] (1)任意摸出两个小球的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}，所以摸出的是红球和白球的概率为.
(2)样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，而事件“摸出一红一白” 包括(红，白)，(白，红)2个样本点，所以两次摸出的球是一红一白的概率是.
[归纳提升] 无放回抽取、有放回抽取和同时抽取的概率
1．“有放回抽取”和“无放回抽取”的概率求解问题是初学者特别容易出错的，而且也是特别经典的题型，学习时要注意区分是“有放回抽取”还是“无放回抽取”．“有放回”是指抽取物体时，每次抽取之后，都把抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的．“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，把抽取的物体放到一边，并不放回原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体总数较前一次被抽取的物体总数少．
2．有放回抽取和无放回抽取的区别在于，同一件物品“有放回抽取”可能被抽到两次，而“无放回抽取”最多被抽到一次．这正是“有放回抽取”的样本空间包含的样本点数量比“无放回抽取”样本空间包含的样本点数量多的原因．
3．同时抽取的实质是把不同性质的两(多)组元素混合在一起抽取，没有先后顺序，只考虑配对，所以对应样本空间包含的样本点数量一般要比“逐个不放回抽取”对应的样本空间包含的样本点数量要少．
对点练习 一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n[解析] (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个，因此所求事件的概率为P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n易错警示
对“有序”与“无序”判断不准而致错
典例4 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中3道选择题，2道填空题，甲、乙两人依次抽取1道题．求甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率．
[错解] 因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，且甲、乙两人依次抽取1道题的可能结果有10个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为＝.
[错因分析] 错解中忽略了甲、乙两人依次抽取1道题与顺序有关，甲从5道题中任抽1道题有5种方法，乙从剩下的4道题中任抽1道题有4种方法，所以基本事件总数应为20.
[正解] 因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，而甲、乙两人依次抽取1道题的可能结果有20个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为＝.
[误区警示] 在计算基本事件的总数时，若分不清“有序”和“无序”，将会出现“重算”或“漏算”的错误．突破这一思维障碍的方法是交换次序，看是否对结果造成影响，有影响是“有序”，无影响是“无序”．
对点练习 小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．
[解析] 将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.
(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件A＝“所选的题不是同一种题型”，则事件A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共12个样本点，所以P(A)＝＝0.6.
(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件B＝“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12个，所以P(B)＝＝0.48.
1．下列试验中是古典概型的是( B )
A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
[解析] 根据古典概型的特点，A项中，种子发芽与否的概率不相等；B项中，摸到每个球的概率相等，且只有4球；C项中，点落在圆内的结果数量是无限的；D项中，射击命中环数的概率也不一定相等．故只有B项是古典概型．
2．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则参加比赛的都是女生的概率为( A )
A. B．
C． D．
[解析] 依题意记三名男生分别为a、b、c，两名女生分别为A、B，
从中任意选两名同学有ab、ac、aA、aB、bc、bA、bB、cA、cB、AB，共10种情况，
其中都是女生的只有AB这1种情况，
故参加比赛的都是女生的概率P＝.故选A.
3．某小说有三册，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的样本点有( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 所有基本事件是123,132,213,231,312,321共6个，其中恰好为1,2,3的为123,321共2个．
4．某学校食堂推出两款优惠套餐，若甲、乙、丙三位同学选择每款套餐的可能性相同，则三位同学选择同一款套餐的概率为 .
[解析] 设两款优惠套餐分别为A，B，列举所有可能结果如图所示．
由图可知，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐包含2种结果，故所求概率为＝.
5．抛掷两枚骰子，求：
(1)点数之和为4的倍数的概率；
(2)点数之和大于5而小于10的概率；
(3)同时抛两枚骰子，求至少有一个5点或者6点的概率．
[解析] 将点数之和列表如下：
从表中易看出基本事件总数为36种
(1)记“点数之和是4的倍数”为事件A，从图中看出事件A包含的基本事件共9个，故P(A)＝＝.
(2)记“点数之和大于5小于10”为事件B，从图中看出事件B包含的基本事件共20个，故P(B)＝＝.
(3)同时抛出两个骰子，按(第一个的点数，第二个的点数)，列出所有基本事件(仿(1))可得基本事件有36个，其中至少有一个5点或6点的事件为事件C，C含有20个基本事件，所以概率为P(C)＝＝.10.1.3 古典概型
课标要求
理解古典概型，能运用古典概型计算概率．能在实际问题中建立古典概型模型．
素养要求
通过具体实例的探究理解古典概型，发展数学抽象及数学运算素养.
知识点 1 事件的概率
对随机事件发生_可能性大小__的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用_P(A)__表示．
知识点 2 古典概型
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有_有限个__；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性_相等__.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为_古典概率__模型，简称_古典概型__.
知识点 3 古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝ ＝ .
[拓展] (1)随机试验E中的样本点
①任何两个样本点都是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和．
(2)求解古典概型问题的一般思路
①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；
②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．
练一练：
1．袋中装有红白球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，所有的样本点个数是_8__.
[解析] 从装有红白两球的袋中有放回的取出，所有取法有：
共8个样本点．
2．从1,2,3中任取两个数字，设取出的数字含有2为事件A，则P(A)＝ .
[解析] 从1,2,3中任取两个数字，所有可能的结果有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，其中含有2的结果有2个，故P(A)＝.
题型探究
题型一 古典概型的判断
典例1 下列试验是古典概型的是_①②④__.
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
[分析] 紧扣古典概型的两大特征——有限性与等可能性进行判断．
[解析] ①②④是古典概型，因为符合古典概型的特征．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．
[归纳提升] 判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征——有限性和等可能性．
对点练习 下列是古典概型的是( C )
A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
[解析] A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件可能会无限个，故D不是.
题型二 古典概型的概率计算
典例2 (2023·福建省泉州市期末)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是奇数”，事件C：“两个数均为偶数”．
(1)写出该试验的样本空间Ω，并求事件A发生的概率；
(2)求事件B发生的概率；
(3)事件A 与事件C至少有一个发生的概率．
[解析] (1)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共包含36个样本点，
事件A：“两数之和为8”，如图1所示，A＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，A包含5个样本点，
图1
∴事件A发生的概率为P(A)＝.
(2)事件B：“两数之和是奇数”，如图2所示，B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，}
图2
∴事件B发生的概率P(B)＝＝.
(3)事件C：“两个数均为偶数”，C＝{(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，事件A与事件C至少有一个发生包含的样本点有11个，如图3所示，即A＋C＝{(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,3)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，
图3
∴事件A与事件C至少有一个发生的概率为P(A＋C)＝.
[归纳提升] 1.将所有的样本点用有序实数组一一列举出来，此时有几粒骰子每个实数组中就包含几个数．
2．对于抛掷两粒均匀的骰子的试验，样本点(共36个)可以用列表法或坐标系法(x轴、y轴分别表示抛掷两粒骰子的结果)表示出来．这两种方法在求向上的点数之和(或差)的概率时很方便．
对点练习 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
[解析] (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有：
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个，
则所求事件的概率为P＝＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有：
{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9个．
包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有：
{(A1，B2)，(A1，B3)}，共2个，则所求事件的概率为P＝.
题型三 古典概型中的无放回抽取、有放回抽取和同时抽取的概率
典例3 口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求：
(1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；
(2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率．
[解析] (1)任意摸出两个小球的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}，所以摸出的是红球和白球的概率为.
(2)样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，而事件“摸出一红一白” 包括(红，白)，(白，红)2个样本点，所以两次摸出的球是一红一白的概率是.
[归纳提升] 无放回抽取、有放回抽取和同时抽取的概率
1．“有放回抽取”和“无放回抽取”的概率求解问题是初学者特别容易出错的，而且也是特别经典的题型，学习时要注意区分是“有放回抽取”还是“无放回抽取”．“有放回”是指抽取物体时，每次抽取之后，都把抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的．“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，把抽取的物体放到一边，并不放回原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体总数较前一次被抽取的物体总数少．
2．有放回抽取和无放回抽取的区别在于，同一件物品“有放回抽取”可能被抽到两次，而“无放回抽取”最多被抽到一次．这正是“有放回抽取”的样本空间包含的样本点数量比“无放回抽取”样本空间包含的样本点数量多的原因．
3．同时抽取的实质是把不同性质的两(多)组元素混合在一起抽取，没有先后顺序，只考虑配对，所以对应样本空间包含的样本点数量一般要比“逐个不放回抽取”对应的样本空间包含的样本点数量要少．
对点练习 一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n[解析] (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个，因此所求事件的概率为P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n易错警示
对“有序”与“无序”判断不准而致错
典例4 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中3道选择题，2道填空题，甲、乙两人依次抽取1道题．求甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率．
[错解] 因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，且甲、乙两人依次抽取1道题的可能结果有10个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为＝.
[错因分析] 错解中忽略了甲、乙两人依次抽取1道题与顺序有关，甲从5道题中任抽1道题有5种方法，乙从剩下的4道题中任抽1道题有4种方法，所以基本事件总数应为20.
[正解] 因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，而甲、乙两人依次抽取1道题的可能结果有20个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为＝.
[误区警示] 在计算基本事件的总数时，若分不清“有序”和“无序”，将会出现“重算”或“漏算”的错误．突破这一思维障碍的方法是交换次序，看是否对结果造成影响，有影响是“有序”，无影响是“无序”．
对点练习 小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．
[解析] 将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.
(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件A＝“所选的题不是同一种题型”，则事件A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共12个样本点，所以P(A)＝＝0.6.
(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件B＝“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12个，所以P(B)＝＝0.48.
1．下列试验中是古典概型的是( B )
A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
[解析] 根据古典概型的特点，A项中，种子发芽与否的概率不相等；B项中，摸到每个球的概率相等，且只有4球；C项中，点落在圆内的结果数量是无限的；D项中，射击命中环数的概率也不一定相等．故只有B项是古典概型．
2．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则参加比赛的都是女生的概率为( A )
A. B．
C． D．
[解析] 依题意记三名男生分别为a、b、c，两名女生分别为A、B，
从中任意选两名同学有ab、ac、aA、aB、bc、bA、bB、cA、cB、AB，共10种情况，
其中都是女生的只有AB这1种情况，
故参加比赛的都是女生的概率P＝.故选A.
3．某小说有三册，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的样本点有( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 所有基本事件是123,132,213,231,312,321共6个，其中恰好为1,2,3的为123,321共2个．
4．某学校食堂推出两款优惠套餐，若甲、乙、丙三位同学选择每款套餐的可能性相同，则三位同学选择同一款套餐的概率为 .
[解析] 设两款优惠套餐分别为A，B，列举所有可能结果如图所示．
由图可知，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐包含2种结果，故所求概率为＝.
5．抛掷两枚骰子，求：
(1)点数之和为4的倍数的概率；
(2)点数之和大于5而小于10的概率；
(3)同时抛两枚骰子，求至少有一个5点或者6点的概率．
[解析] 将点数之和列表如下：
从表中易看出基本事件总数为36种
(1)记“点数之和是4的倍数”为事件A，从图中看出事件A包含的基本事件共9个，故P(A)＝＝.
(2)记“点数之和大于5小于10”为事件B，从图中看出事件B包含的基本事件共20个，故P(B)＝＝.
(3)同时抛出两个骰子，按(第一个的点数，第二个的点数)，列出所有基本事件(仿(1))可得基本事件有36个，其中至少有一个5点或6点的事件为事件C，C含有20个基本事件，所以概率为P(C)＝＝.10．1.4 概率的基本性质
课标要求
通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则．
素养要求
通过具体实例，抽象出概率的性质，掌握概率的运算方法，发展数学抽象及数学运算素养.
知识点 概率的基本性质
任何事件的概率都是非负的；
在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生．
一般地，概率有如下性质：
性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.即 P(Ω)＝1，P( )＝0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B) ＝ P(A)＋P(B) .
因为事件A和事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n(A∪B)＝n(A)＋n(B)，这等价于P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和．
推广：如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．
[提醒] 对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率等于这些事件概率的和．并且互斥事件的概率加法公式可以推广为：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．其使用的前提仍然是A1，A2，…，An彼此互斥．故解决此类题目的关键在于分解事件及确立事件是否互斥．
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－ P(A)，P(A)＝1－ P(B)．
因为事件A和事件B互为对立事件，所以和事件A∪B为必然事件，即P(A∪B)＝1.由性质3，得1＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质5 如果A B，那么P(A)≤P(B)．
(1)对于事件A与事件B，如果A B，即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率．
(2)由性质5可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
想一想：
在同一试验中，对任意两个事件A，B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？
提示：只有A、B互斥才成立．
练一练：
1．在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是( B )
A. B．
C． D．1
[解析] 事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是，所以“向上的数字是5或6”的概率是＋＝.
2．事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.2，则P(B)＝_0.8__.
[解析] 因为A与B是对立事件，所以P(A)＋P(B)＝1，即P(B)＝1－P(A)＝0.8.
3．事件A与B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(B)＝0.5，则P(A∪B)＝_0.7__.
[解析] 因为A与B互斥，故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.5＝0.7.
题型探究
题型一 互斥事件概率公式的应用
典例1 (1)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球．设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，求这3只球中既有红球又有白球的概率．
(2)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7，则中一等奖；等于6或5，则中二等奖；等于4，则中三等奖，其余结果不中奖．
①求中二等奖的概率；
②求不中奖的概率．
[解析] (1)因为A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是.
(2)①从五个球中任意摸出两个小球，共有10种取法，中二等奖包含(2,4)，(2,3)，(1,4)三种情况，
∴P(中二等奖)＝.
②不中奖的对立事件为中奖，中奖的两小球编号之和包括4,5,6,7，共有(1,3)，(0,4)，(2,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)六个结果．
∴P (中奖)＝.
∴P(不中奖)＝1－＝＝.
[归纳提升] (1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A、B两事件互斥时才能使用，如果A、B不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A∪B”的意义．
对点练习 (1)若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于( A )
A．0.3 B．0.7
C．0.1 D．1
(2)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的( D )
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
[解析] (1)∵A，B是互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，
∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.
(2)由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故某事件的关系如图所示．由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确．
题型二 概率一般加法公式(性质6)的应用
典例2 甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．
[解析] 设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”，
则P(A)＝，P(B)＝.
记甲跑第x棒，乙跑第y棒，则结果可记为(x，y)，共有12种等可能结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．
而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能．即(1,4)．
故P(A∩B)＝.
所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
[归纳提升] (1)概率的一般加法公式及互斥事件的概率加法公式在限制条件上的区别：在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)中，事件A，B是互斥事件；在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，事件A，B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件．可借助图形理解．
(2)利用概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)求解的关键在于理解两个事件A，B的交事件A∩B的含义，准确求出其概率．
对点练习 在对200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司在从事这两项研究．假设从这200家公司中任选一家，记事件A为“该公司在研究广告效果”，记事件B为“该公司在进行短期销售预测”，求P(A)，P(B)，P(A∪B)．
[解析] P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，又已知P(A∩B)＝30%＝0.3，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6.
题型三 利用互斥与对立的概率公式多角度求解
典例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么抽取到红心(事件A)的概率是，取到方块(事件B)的概率是，求取到黑色牌(事件D)的概率．
[分析] 先确定事件D的对立事件C(取到红色牌)，也就是事件C就是所求事件D的对立事件，而事件C包含A和B两个彼此互斥的事件，故可直接利用互斥事件加法公式求解；然后根据对立事件概率公式求解．
[解析] 记“取出的是红色牌”为事件C，则C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥．
根据概率的加法公式得P(C)＝P(A)＋P(B)＝.
又因为事件C与事件D互斥，且C∪D为必然事件，
因此事件C与事件D是对立事件，
所以P(D)＝1－P(C)＝.
[归纳提升] 对于较复杂事件的概率在求解时通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
对点练习 某射击运动员在一次射击比赛中，每次射击比赛成绩均计整数环且不超过10环，其中射击一次命中各环数概率如表：
命中环数 6及以下 7 8 9 10
概率 0.10 0.12 0.18 0.28 0.32
求该射击运动员射击一次．
(1)命中9环及10环的概率；
(2)命中不足7环的概率．
[解析] 记“射击一次命中k环”的事件为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥．
(1)记“射击一次命中9环或10环”为事件A，则当A9或A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的概率公式，得P(A)＝P(A9)＋P(A10)．因此命中9环或10环的概率为0.60.
(2)解法一：由于事件“射击一次命中不足7环”是“射击一次至少命中7环”的对立事件，故所求的概率为P＝1－(0.12＋0.18＋0.28＋0.32)＝0.10，因此命中不足7环的概率为0.10.
解法二：由题意可知“命中环数不足7环”即“命中环数为6环及以下”，故P＝0.10.
易错警示
忽略概率加法公式的应用前提
典例4 投掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是，记事件A为“出现奇数点”，事件B“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝ .
[错解] 因为P(A)＝＝，P(B)＝＝，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1.
[错因分析] 造成错解的原因在于忽略了“事件和”概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)的使用前提：事件A，B彼此互斥．此题的两个事件A，B不是互斥事件，如出现的点数为1或3时，事件A，B同时发生，故此题应用性质6.
[正解] 因为P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝.
[误区警示] 在使用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)时，一定要注意公式成立的前提，即事件A与事件B互斥．若事件A，B不互斥，则应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．
对点练习 甲、乙两人各射击一次，命中率分别为0.8和0.5，两人都命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率．
[解析] 至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”这两个事件的并事件．设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.
1．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是( A )
A．[0,0.9] B．[0.1,0.9]
C．(0,0.9] D．[0,1]
[解析] 由于事件A和B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9.故选A.
2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01.若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为( B )
A．0.09 B．0.96
C．0.97 D．0.98
[解析] 记事件A＝{甲级品}，B＝{乙级品}，C＝{丙级品}，则A与B＋C是对立事件，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
故选B.
3．若A与B为互斥事件，则( D )
A．P(A)＋P(B)<1 B．P(A)＋P(B)>1
C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1
[解析] 若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)≤1.故选D.
4．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.3，0.25，则未命中靶的概率是_0.1__.
[解析] 令事件A＝“命中Ⅰ”，事件B＝“命中Ⅱ”，事件C＝“命中Ⅲ”，事件D＝“未命中靶”，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.3＋0.25＝0.9.
因为中靶和不中靶是对立事件，所以未命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.9＝0.1.
5．某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：
月收入 [1 000，1 500) [1 500，2 000) [2 000，2 500) [2 500，3 000)
概率 0.12 a b 0.14
已知月收入在[1 000,3 000)内的概率为0.67，则月收入在[1 500,3 000)内的概率为_0.55__.
[解析] P ＝0.67－0.12＝0.55.10.2 事件的相互独立性
课标要求
结合有限样本空间，了解两个事件独立性的含义，结合古典概型，利用独立性计算概率．
素养要求
结合具体实例了解事件独立性的含义及利用独立性计算概率，发展数学抽象及数学运算素养.
知识点 1 相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝_P(A)P(B)__成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
知识点 2 相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，则事件_A__与事件 相互独立，事件 与事件_B__相互独立，事件 与事件 相互独立．
想一想：
两个事件独立与互斥的区别是什么？
提示：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．
知识点 3 判定相互独立事件的方法
(1)由定义，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则A，B独立．
(2)有些事件不必通过概率的计算就能判定其独立性，如有放回的两次抽奖，由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出它们是否相互独立．
[拓展] 1.公式的推广
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
2．相互独立事件与互斥事件的概率计算
概率 A，B互斥 A，B相互独立
P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
P(AB) 0 P(A)P(B)
P() 1－[P(A)＋P(B)] P()P()
P(A∪B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B)
说明：①(A)∪(B)，表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．
②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)∪(B)可简写为A∪B.
练一练：
1．甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( D )
A. B．
C. D．
[解析] 根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝，故选D.
2．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为_0.56__.
[解析] 由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.
题型探究
题型一 相互独立事件的判断
典例1 下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？
(1)1 000张有奖销售的奖券中某张奖券是一等奖与该张奖券是二等奖；
(2)甲，乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖；
(3)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲，乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(4)容器内盛有5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．
[解析] (1)一张奖券不可能既是一等奖又是二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件．
(2)由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙是否中奖没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件．
(3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件．
(4)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若前一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件，也不是互斥事件．
[归纳提升] 两种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
对点练习 (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( A )
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是( B )
A．互斥但不相互独立
B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立
D．既不相互独立也不互斥
[解析] (1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与事件B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与事件B可能同时发生，所以事件A与事件B不是互斥事件．
(2)事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，样本点空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝×，
即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件.
题型二 相互独立事件的概率计算
典例2 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响．
(1)求3人同时被选中的概率；
(2)求3人中至少有1人被选中的概率；
(3)求3人均未被选中的概率．
[解析] 设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)3人同时被选中的概率
P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)3人中有2人被选中的概率
P2＝P(AB∪AC∪BC)
＝××＋××＋××＝.
3人中只有1人被选中的概率
P3＝P(A∪B∪C)＝××＋××＋××＝.
故3人中至少有1人被选中的概率为
P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(3)解法一：三人均未被选中的概率
P＝P()＝××＝.
解法二：由(2)知，
三人至少有1人被选中的概率为，
∴P＝1－＝.
[归纳提升] 1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
3．明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
对点练习 已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6,0.8,0.9，而且这3人之间的测试互不影响．
(1)求甲、乙、丙都通过测试的概率；
(2)求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；
(3)求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．
[解析] (1)甲、乙、丙都通过测试的概率为0.6×0.8×0.9＝0.432.
(2)甲未通过且乙、丙通过测试的概率为(1－0.6)×0.8×0.9＝0.288.
(3)甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为1－(1－0.6)×(1－0.8)×(1－0.9)＝0.992.
题型三 相互独立事件概率的综合应用
典例3 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为.假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢．
(1)求第四盘棋甲赢的概率；
(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．
[解析] (1)第四盘棋甲赢分两种情况．
①第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，此时的概率P1＝×＝；
②第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，此时的概率P2＝×＝.
设事件A为“第四盘棋甲赢”，
则P(A)＝P1＋P2＝＋＝.
(2)若甲恰好赢三盘棋，则他在后三盘棋中只赢一盘，分三种情况．
①甲第三盘赢，此时的概率P3＝××＝；
②甲第四盘赢，此时的概率P4＝××＝；
③甲第五盘赢，此时的概率P5＝××＝.
设事件B为“比赛结束时，甲恰好赢三盘棋”，则P(B)＝P3＋P4＋P5＝＋＋＝.
[归纳提升] 求相互独立事件的概率的思路
计算相互独立事件同时发生的概率，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件．
(1)简单计算问题：将题中所求事件转化为若干个独立事件的交事件，利用独立事件的性质和推广求解．
(2)复杂计算问题：一般将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率计算公式求解.
对点练习 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
[解析] 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用 表示，
P()＝P()P()P()
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003.
所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰好一科成绩未获得第一名”可以用(BC)＋(AC)＋(AB)表示．
由于事件BC，AC和AB两两互斥，
根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()·P(C)＋P(A)P(B)P()＝[1－P(A)]·P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，
所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
易错警示
混淆互斥事件和独立事件的概念
典例4 甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
[错解] 记A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，则P(两人恰好都命中2次)＝P(A)＋P(B)＝3×0.82×0.2＋3×0.72×0.3＝0.825.
[错因分析] 错误地把相互独立事件当成互斥事件来考虑，将“两人恰好都命中2次的概率”理解成A＝“甲恰好命中2次”与B＝“乙恰好命中2次”的概率之和．
[正解] 记A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，A，B为相互独立事件，两人恰好都命中2次的概率为P(AB)，则P(AB)＝P(A)P(B)＝3×0.82×0.2×3×0.72×0.3≈0.169.
[误区警示] 首先理解清楚互斥事件与相互独立事件的概念，并且区分计算概率的公式．A，B为互斥事件时，有概率公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，A，B为独立事件时，有概率公式为P(AB)＝P(A)P(B)．
对点练习 打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( D )
A. B．
C． D．
[解析] 由题意知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，两人打靶相互独立，同时中靶的概率P＝×＝.故选D.
1．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与2是( A )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
[解析] 由题意可得2表示第二次摸到的不是黑球，即2表示第二次摸到的是白球，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到白球互不影响，故事件A1与2是相互独立事件，由于A1与2可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件．故选A.
2．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( C )
A. B．
C． D．
[解析] P＝××＝.
3．(多选题)分别抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A＝“第一枚出现点数为奇数”，事件B＝“第二枚出现点数为偶数”，则下列结论正确的是( AD )
A．P(A)＝ B．P(AB)＝
C．事件A与B互斥 D．事件A与B相互独立
[解析] 分别抛掷两枚质地均匀的骰子，其中基本事件的总数为36种，事件A＝“第一枚出现点数为奇数”，共有3×6＝18种，所以P(A)＝，所以A正确；由事件B＝“第二枚出现点数为偶数”，所以P(AB)＝＝，所以B不正确；当第一枚抛出1点，第二枚抛出2点时，此时事件A与事件B同时发生，所以A与B不互斥，所以C不正确；由P(B)＝＝，可得P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与事件B相互独立，所以D正确．故选AD.
4．端午节放假，甲、乙、丙回老家过节的概率分别为，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为( B )
A. B．
C． D．
[解析] 因为甲、乙、丙回老家过节的概率分别为，，，所以他们不回老家过节的概率分别为，，.“至少有1人回老家过节”的对立事件是“没有人回老家过节”，所以至少有1人回老家过节的概率为1－××＝.
5．事件A，B，C相互独立，若P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝ ，P(B)＝ ，P(B＋C)＝ .
[解析] 由A，B，C相互独立，P(AB)＝，得
P(AB)＝P(AB)·P()＝.
∴P()＝，P(C)＝.
又P(C)＝，∴P()＝，则P(B)＝.
又P(AB)＝，∴P(A)＝.
∴P(B)＝P()·P(B)＝×＝，
P(B＋C)＝1－P( )＝1－P()·P()＝1－×＝.10.3 频率与概率
课标要求
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．
2．理解概率的意义，利用概率知识正确求解现实生活中的实际问题．
3．理解概率的意义及频率与概率的区别．
4．能够利用古典概型或蒙特卡洛法进行求解．
素养要求
通过运用恰当的例子抽象出频率的稳定性，理解频率与概率之间的联系与区别，发展数学抽象与逻辑推理素养．通过了解随机数的意义及用模拟的方法估计概率，发展数学抽象及数据分析素养.
知识点 1 频率的稳定性
大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有_随机性__.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会_缩小__，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的_稳定性__.因此我们可以用频率fn(A)估计_概率P(A)__.
[拓展] 频率与概率的关系
概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．
说明：(1)频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．
(2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
练一练：
气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是( D )
A．本市明天将有90%的地区降雨
B．本市明天将有90%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨
D．明天出行不带雨具可能会淋雨
[解析] “本市明天降雨的概率是90%”也即为“本市明天降雨的可能性为90%”．故选D.
知识点 2 随机模拟
1．随机数的产生
(1)标号：把n个_大小、形状__相同的小球分别标上1,2,3，…，n.
(2)搅拌：放入一个袋中，把它们_充分搅拌__.
(3)摸取：从中摸出_一个__.
这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数．
2．伪随机数的产生
(1)规则：依照确定的算法．
(2)特点：具有周期性(周期很长)．
(3)性质：它们具有类似_随机数__的性质．
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为_伪随机数__.
3．产生随机数的常用方法
①_用计算器产生__；②_用计算机产生__；③_抽签法__.
4．随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的_频率__来估计_概率__，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法．
[拓展] 用随机模拟法估计概率
(1)随机模拟法估计概率的思想
随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果．其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率．
(2)随机模拟法的优点
不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去．
(3)随机模拟法的步骤
①建立概率模型；
②进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；
③统计试验结果．
练一练：
在用随机模拟方法解决“盒中仅有4个白球和5个黑球，从中取4个，求取出2个白球2个黑球的概率”问题时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表白球，用5～9代表黑球．因为是摸出4个球，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是_摸出的4个球中，只有1个白球__.
[解析] 分析题意，易知数字4代表白球，数字6,7,8代表黑球，因此这组随机数的含义为摸出的4个球中，只有1个白球．
题型探究
题型一 频率与概率的关系
典例1 下列说法正确的是( A )
①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；
②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率P(A)＝；
③含百分比的数是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；
⑤概率是频率的稳定值．
A．①④⑤ B．①②
C．②③ D．②③⑤
[解析] 根据频率与概率的定义，可知①正确；概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误；概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误；根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确．故选A.
[归纳提升] (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定．
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关．
对点练习 在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，那么P(A)与的大小关系是( A )
A．P(A)≈ B．P(A)<
C．P(A)> D．P(A)＝
[解析] 在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近P(A)，因此我们可以用近似地代替P(A)．故选A.
题型二 用随机事件的频率估计其概率
典例2 为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图)．
(1)在下面的表格中填写相应的频率；
分组 频率
[1.00,1.05)
[1.05,1.10)
[1.10,1.15)
[1.15,1.20)
[1.20,1.25)
[1.25,1.30]
(2)估计数据落在[1.15,1.30]中的概率为多少；
(3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．
[解析] (1)由频率分布直方图可知，频率＝组距×，故可得下表：
分组 频率
[1.00,1.05) 0.05
[1.05,1.10) 0.20
[1.10,1.15) 0.28
[1.15,1.20) 0.30
[1.20,1.25) 0.15
[1.25,1.30] 0.02
(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47，故估计数据落在[1.15，1.30]中的概率为 0.47.
(3)＝2 000，即估计该水库中鱼的总条数为2 000.
[归纳提升] 将容量为n的样本放回总体后，要等这个样本在总体中分布均匀后才能再次抽取，这样，才能保证在下次抽取时，每个个体被抽到的机会均等．高考对该部分内容的考查以概率在实际生活中的综合应用为主，涉及面广，包括古典概型的求解及其应用等，多与其他知识相结合，以解答题的形式进行考查，但难度不大．
对点练来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度．其计算公式是：BMI＝，成年人的BMI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖．某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI值分成以下五组：[12,16)，[16,20)，[20,24)，[24,28)，[28,32]，得到相应的频率分布直方图．
(1)求a的值，并估计该公司员工BMI的样本数据的众数与中位数(精确到0.1)；
(2)该公司共有1 200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI数值正常的人数．
[解析] (1)根据频率分布直方图可知组距为4，
所以4×(0.01＋0.04＋0.09＋a＋0.03)＝1，解得a＝0.08.
该公司员工BMI的样本数据的众数为22 .
设该公司员工BMI的样本数据的中位数为x，
则4×0.01＋4×0.04＋(x－20)×0.09＝0.5，解得x≈23.3.
故该公司员工BMI的样本数据的中位数约为23.3.
(2)因为成年人的BMI数值18.5≤BMI<24为正常，
所以该公司员工BMI数值正常的概率为
0．04×(20－18.5)＋0.09×(24－20)＝0.42，
所以该公司员工BMI数值正常的人数为1 200×0.42＝504.
题型三 简单的随机模拟试验的应用
典例3 一份测试题包括6道选择题，每题4个选项且只有一个选项是正确的，如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．(已知计算机或计算器做模拟试验可以模拟每次猜对的概率是25%)
[解析] 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数，我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%，因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组，例如，产生25组随机数：
330130 302220 133020 022011 313121
222330 231022 001003 213322 030032
100211 022210 231330 321202 031210
232111 210010 212020 230331 112000
102330 200313 303321 012033 321230
就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003,030032,210010,112000，即共有4组数，我们得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为＝0.16.
[归纳提升] 用随机数模拟法求事件概率的方法
在使用整数随机数模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果．
(1)试验的基本结果是等可能时，样本点的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点．
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
对点练习 袋子中有四个小球，分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，从中任取一个小球，取到“冬”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出的小球上分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次就停止的概率为( B )
A. B．
C． D．
[解析] 在这20组数据中，第一个数不是2，第二个数是2的就表示第一次没取到“冬”，第二次取到“冬”，它们分别是12,32,32,32,42,32，共有5组，因此直到第二次就停止的概率为＝.
易错警示
对频率与概率的关系理解不清
典例4 某同学掷一枚质地均匀的硬币10次，共有8次反面向上，于是他指出：“掷一枚质地均匀的硬币，出现反面向上的概率应为0.8”．你认为他的结论正确吗？为什么？
[错解] 正确．掷硬币10次，有8次反面向上，则出现反面向上的概率P＝＝0.8.
[错因分析] 得出概率为0.8，显然是对概率的统计性定义的曲解．事实上，概率定义中用频率的近似值刻画概率，要求试验次数足够多．
[正解] 不正确．因为概率是事物的本质属性，不随试验次数的改变而改变，用频率的近似值刻画概率时，要求试验次数足够多．
[误区警示] 随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，即称为这一事件发生的概率的近似值，而概率是一个确定的常数，与试验的次数无关．
对点练习 “某彩票的中奖概率为”意味着( D )
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
[解析] 某彩票的中奖率为，意味着中奖的可能性为，可能中奖，也可能不中奖．
1．某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
第一组 第二组 第三组 合计
投篮次数 100 200 300 600
命中的次数 68 124 174 366
命中的频率 0.68 0.62 0.58 0.61
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是( B )
A．0.58 B．0.61
C．0.62 D．0.68
[解析] 由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大，所以合计列对应的频率最为合适．故选B.
2．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有( D )
A．f(n)与某个常数相等
B．f(n)与某个常数的差逐渐减小
C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小
D．f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定
[解析] 随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．
3．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是 .
[解析] [a，b]中共有b－a＋1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是.
4．某商品的合格率为99.9%，某单位购买此商品1 000件，他们认为其中一定有一件是不合格的，你认为这种判断_不合理__(填“合理”或“不合理”)．
5．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
(3)这个射手连续射击两次(第一次是否击中靶心对第二次没有影响)，恰有一次击中靶心的概率约为多少？
[解析] (1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95，0.88，0.92，0.89,0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.
(3)由(2)可知连续射击两次，恰有一次击中靶心的概率约为0.9×(1－0.9)＋(1－0.9)×0.9＝0.18.章末知识梳理
1．随机试验的特点
(1)试验可以在相同条件下重复进行．
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．有限样本空间与随机事件
(1)有限样本空间：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}为有限样本空间．
(2)样本空间Ω的子集称为随机事件，称Ω为必然事件，称 为不可能事件．
3．事件的关系与运算
事件关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，且A∪B＝Ω
4.古典概型计算公式
P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
5．概率的基本性质
性质1 对任意事件A，都有P(A)≥0；
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1；P( )＝0；
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5 如果A B，那么P(A)≤P(B)；
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
6．事件的相互独立性
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
7．频率与概率
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的
幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
要点一 互斥事件、对立事件与相互独立事件
典例1 从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是( C )
A．① B．②④
C．③ D．①③
[解析] ③中“至少有一个是奇数”，即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．
[归纳提升] 1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
2．掌握互斥事件和对立事件的概率公式及应用，提升逻辑推理和数学运算素养．
对点练习 (1)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( A )
A．至多有一张移动卡
B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡
D．至少有一张移动卡
(2)(2021·全国新高考Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球、甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( B )
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
[解析] 由独立事件的定义知B正确.
要点二 古典概型
典例2 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2＋2,6＝3＋3,8＝3＋5，那么在不超过12的素数中随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为( B )
A. B．
C． D．
[解析] 不超过12 的素数为2,3,5,7,11，随机选取两个不同的数，共有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,11)，(7,11)，共10种方法，其和为奇数的共有4种方法，故其和为奇数的概率为＝.
[归纳提升] 1.古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m.
2．掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养．
对点练习 为全面贯彻落实习近平总书记“把周总理的家乡建设好，很有象征意义”的殷切嘱托，近年来，淮安加快建设稻米、小龙虾、规模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大产业集群，小龙虾产业获批国家优势特色产业集群，创成以小龙虾为主导的国家现代农业产业园、特色农产品优势区．为了进一步扩大产业规模，某村农业综合服务中心决定对20户养殖户进行技术帮扶，每户配发同样重量的龙虾苗，经过一段时间的养殖后，根据这20户未存活的龙虾苗重量(单位：公斤)绘制如下频率直方图，未存活重量超过30公斤的养殖户，列为“重点帮扶养殖户”．
(1)根据频率直方图估计这20户的未存活龙虾苗的平均数和中位数；
(2)现从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户调查其养殖情况，求抽出来的养殖户中恰有一户未存活龙虾苗重量在(40,50]的概率．
[解析] (1)根据频率直方图可得：每组的频率依次为0.2,0.2,0.3,0.2,0.1，
估计平均数为：＝5×0.2＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.2＋45×0.1＝23.
因为0.2＋0.2＝0.4<0.5,0.2＋0.2＋0.3＝0.7>0.5，
可知中位数位于[20,30)内，设为m，
则0.4＋0.03(m－20)＝0.5，解得m＝，
所以可估计中位数为.
(2)由(1)可知：未存活龙虾苗重量在(30,40]的养殖户有20×0.2＝4个，记为A，B，C，D；
未存活龙虾苗重量在(40,50]的养殖户有20×0.1＝2个，记为a，b；
从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两个，则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种情况，
其中有且仅有一个“重点帮扶养殖户”在(40,50]的情况有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种情况，
所以恰有一户未存活龙虾苗重量在(40,50]的概率P＝.
要点三 相互独立事件概率的求法
典例3 甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出．已知在一局比赛中甲、乙两人获胜的概率分别为，，则甲胜出的概率为 .
[解析] (解法一)甲胜的情况：①举行一局比赛，甲胜出，比赛结束；②举行两局比赛，第一局乙胜、第二局甲胜．①②的概率分别为，×，且这两个事件是互斥的，所以甲胜出的概率为＋×＝.
(解法二)因为比赛只有甲胜出和乙胜出的两种结果，而乙胜出的情况只有一种，举行两局比赛都是乙胜出，其概率为×＝，所以甲胜出的概率为1－＝.
[归纳提升] 计算相互独立事件同时发生的概率，一般分为以下几步：
(1)先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，把这些事件分为若干个彼此互斥的事件的和；(2)根据相互独立事件的概率公式计算出这些彼此互斥的事件的概率；(3)根据互斥事件的概率加法公式求出结果．
对点练习 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“＋”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“－”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.
时段 价格变化
第1天到第20天 － ＋ ＋ 0 － － － ＋ ＋ 0 ＋ 0 － － ＋ － ＋ 0 0 ＋
第21天到第40天 0 ＋ ＋ 0 － － － ＋ ＋ 0 ＋ 0 ＋ － － － ＋ 0 － ＋
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．(结论不要求证明)
[解析] (1)根据表格数据可以看出，40天里，有16个＋，也就是有16天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：＝0.4
(2)在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4,0.35,0.25，
于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C×0.42×C×0.35×0.25＝0.168
(3)由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，
因此估计第41次不变的概率最大.
要点四 频率与概率
典例4 某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试．现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如下表．规定：数据≥60，体质健康为合格.
等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分
优秀 [90,100] 5 91.3 2 91
良好 [80,89] 4 83.9 4 84.1
及格 [60,79] 8 70 11 70.2
不及格 60以下 3 49.6 3 49.1
合计 －－ 20 75.0 20 71.9
(1)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康为合格的概率；
(2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率．
[解析] (1)样本中合格的学生人数为5＋2＋4＋4＋8＋11＝34，样本总数为20＋20＝40，则这名学生体质健康为合格的概率是＝.
(2)设事件A为“从男生样本中随机选出一人的体质健康等级是优秀”，则P(A)＝＝.事件B为“从女生样本中随机选出一人的体质健康等级是优秀”，则P(B)＝＝.
因为A，B为独立事件，故所求概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝×＋×＝.
对点练习 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：
空气质量等级 锻炼人次
[0,200] (200,400] (400,600]
1(优) 2 16 25
2(良) 5 10 12
3(轻度污染) 6 7 8
4(中度污染) 7 2 0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
[解析] (1)由所给数据，得该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的频数依次为43,27,21,9，
则频率依次为0.43,0.27,0.21,0.09，
用频率估计概率，可得概率的估计值如下表：
空气质量等级 1 2 3 4
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
(2)由题意可得：在[0,200]，(200,400]，(400,600]内的人次依次为20,35,45，
所以一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为×(100×20＋300×35＋500×45)＝350.
