函数的单调性

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名称 函数的单调性
格式 rar
文件大小 49.2KB
资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2008-12-03 22:55:00

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文档简介

函数的单调性
中宁中学 陈立志
课型:新授课
三维目标
1.知识与技能:
(1)建立增(减)函数的概念,通过观察一些函数图象的特征,形成增(减)函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较,认识函数值随自变量的增大(减小)的规律,由此得出增(减)函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
(2)函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛。
2.过程与方法:
(1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;
(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;
(3)能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.
3.情感态度价值观:
使学生体验数学的严谨性,培养学生细心观察、归纳、分析的良好习惯和不断探求新知识的精神.
教学重点
1、函数单调性的概念;
2、运用函数单调性的定义判断和证明一些函数的单调性.
  教学难点
利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性.
教学方法与教学手段
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题,为概念学习创设情境,拉近数学与现实的距离,激发了学生求知欲,调动了学生主体参与的积极性.
2、在运用定义解题的过程中,紧扣定义中的关键语句,通过学生的主体参与,逐个完成对各个难点的突破,以获得各类问题的解决.
3、在鼓励学生主体参与的同时,不可忽视教师的主导作用.具体体现在设问、讲评和引导等方面,要教会学生清晰的思维、严谨的推理,并成功地完成书面表达.
4、采用多媒体教学手段,增大教学容量和直观性.
学法指导
1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用,培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力.
2、让学生利用图形直观启迪思维,并通过正、反例的构造,来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃.
教学设计
一、创设情境,引入课题
[演示幻灯片1]
为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况,数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况,下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考.
问题1:观察图形,能得到什么信息?
预案:(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻;
(2)在某时刻的温度;
(3)某些时段温度升高,某些时段温度降低.
教师指出:在生活中,我们关心很多数据的变化规律,了解这些数据的变化规律,对我们的生活是很有帮助的.
问题2:还能举出生活中其他的数据变化情况吗?
预案:水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等.
归纳:用函数观点看,其实这些例子反映的就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小.
〖设计意图〗由生活情境引入新课,激发兴趣.
二、归纳探索,形成概念
对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,是函数的重要性质,称为函数的单调性,同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识,但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.
1.借助图象,直观感知
[演示幻灯片2]
问题1:分别作出函数的图象,并且观察自变量变化时,函数值的变化规律?
互动结论:(1)函数,在整个定义域内 y随x的增大而增大;函数,在整个定义域内 y随x的增大而减小.
(2)函数,在上 y随x的增大而增大,在上y随x的增大而减小.
(3)函数,在上 y随x的增大而减小,在上y随x的增大而减小.
引导学生进行分类描述 (增函数、减函数),同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.
问题2:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗
互动结论:如果函数在某个区间上随自变量x的增大,y也越来越大,我们说函数在该区间上为增函数;如果函数在某个区间上随自变量x的增大,y越来越小,我们说函数在该区间上为减函数.
教师指出:这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观、描述性的认识.
〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识.
2.抽象思维,形成概念
[演示幻灯片3]
问题1:如图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?
学生的困难是难以确定分界点的确切位置.
通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.
〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.
问题2:如何从解析式的角度说明在上为增函数?
师:任取,因为,即,所以在上为增函数.
对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量.
〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为第三阶段的学习做好铺垫.
问题3:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗
1. 师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义.
[演示幻灯片4]
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x12. 类比增函数的定义,引导学生概括出减函数的定义
3.函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间:
[演示幻灯片5]
4. 巩固概念: 判断题:
①.
②若函数.
③若函数在区间和(2,3)上均为增函数,则函数在区间(1,3)上为增函数.
④因为函数在区间上都是减函数,所以在上是减函数.
总结:①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.
②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数),有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数),有的函数根本没有单调区间(如常函数).
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上是增(或减)函数.
〖设计意图〗让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出单调性的定义,通过对判断题的辨析,加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识.
三、例题讲解,巩固理解
[演示幻灯片6]
例1 证明函数在上是增函数.
(学生讨论、交流,形成解答,黑板板书.)
证明:任取,        设元
        求差
        变形  
,
                断号

∴即
∴函数在上是增函数.    定论
归纳总结:
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
① 任取x1,x2∈D,且x1② 作差f(x1)-f(x2);
③变形(通常是因式分解和配方);
④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.了解等价形式进一步发展可以得到导数法,为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔.
[演示幻灯片7]
巩固练习:
课本P38练习第1、2、3题;
证明函数在上是增函数.
四、归纳小结,提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师生合作共同完成小结.
(1) 概念探究过程:直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.
(2) 证明方法和步骤:设元、作差、变形、断号、定论.
(3) 数学思想方法:数形结合.
[演示幻灯片8]
五、布置作业
1.让学生课后思考下列问题:
①通过增(减)函数概念的形成过程,你学习到了什么?
②增(减)函数的图象有什么特点?如何根据图象指出单调区间?
③怎样用定义证明函数的单调性?
2.书面作业:课本第60页 习题2.3 第4,5,6题.
选做题(二选一):
(1). 证明函数在(1,+∞)上为增函数.
(2).作出函数y =-x2 +2 x + 3的图象,指出它的的单调区间并证明.
六.板书设计
函数的单调性单调性定义 例1:(略) 板演区2.证明步骤
教学设计说明
本节课是一节概念课.函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质,如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一.另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明,如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达.
围绕以上两个难点,在本节课的处理上,我着重注意了以下几个问题:
1、重视学生的亲身体验.具体体现在两个方面:①将新知识与学生的已有知识建立了联系.如:学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识,学生对“y随x的增大而增大”的理解;②运用新知识尝试解决新问题.如:对函数在上的单调性的证明.
2、重视学生发现的过程.如:充分暴露学生将函数图象(形)的特征转化为函数值(数)的特征的思维过程;充分暴露在正、反两个方面探讨活动中,学生认知结构升华、发现的过程.
3、重视学生的动手实践过程.通过对定义的解读、巩固,让学生动手去实践运用定义.
4、重视课堂问题的设计.通过对问题的设计,引导学生解决问题.
教学反思:
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