2023-2024学年 北师大版 八年级数学下册 1.2 直角三角形的性质与判定 课件-(共35张PPT)

(共35张PPT)
第一章 三角形的证明
第5课 直角三角形的性质与判定
数学(RS版) 八年级下册
直角三角形中角的性质及判定
1.性质：直角三角形的两个锐角 ；
判定：有两个角 的三角形是直角三角形．
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝34°，则∠A的度数是 ．
互余　
互余　
56°　
新课学习
例1 如图，若∠C＝90°，∠1＝∠2，则△ADE是直角三角形吗？为
什么？
解：△ADE是直角三角形．理由如下：
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠2＝90°.
∵∠1＝∠2，
∴∠A＋∠1＝90°.
∴∠ADE＝90°.
∴△ADE是直角三角形．
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD交AB于点D，∠1＝∠A.
求证：CD⊥AB.
证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
∵∠1＝∠A，
∴∠1＋∠B＝90°.
在△BCD中，∠1＋∠B＋∠CDB＝180°，
∴∠CDB＝180°－(∠1＋∠B)＝90°.
∴CD⊥AB.
直角三角形中边的性质及判定
4.性质(勾股定理)：直角三角形两条直角边的平方和等于
．
判定：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形
是 三角形．
斜边的平
方　
直角　
5.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（　D　）
A．5 B．
C. D．5或
D
6.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　C　）
A．2，4，5 B．6，8，11
C.5，12，13 D．1，1，
C
例2 如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠A＝30°，BC＝3.求AC
的长．
解：∵∠B＝60°，∠A＝30°，
∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形．
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝6.
∴AC＝＝3.
7.如图，等边三角形ABC的边长为4，点D为BC的中点．求△ABC
的面积．
解：∵等边三角形ABC的边长为4，
∴AB＝AC＝BC＝4.
∵点D为BC 的中点，∴BD＝CD＝2，AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°.
∴AD＝＝2.
∴S△ABC＝BC·AD＝×4×2＝4.
逆命题、逆定理
例3 写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假：
(1)如果ab＝0，那么a＝0；
解：(1)逆命题：如果a＝0，那么ab＝0.
原命题是假命题，逆命题是真命题．
(2)不是对顶角的两个角不相等．
解：(2)逆命题：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．
原命题是假命题，逆命题是真命题．
8.下列各命题的逆命题是真命题的是（　D　）
A.对顶角相等
B.全等三角形的对应角相等
C.相等的角是同位角
D.等边三角形的三个内角都相等
D
1．在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，BC＝3.则AB的长为________ ．
2．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是
.(填序号)
①3，4，5；②5，6，7；③6，8，10；④1，1， .
3　
①③
④　
基础巩固
3．给出下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是
直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等．其
逆命题成立的是 ．(填序号)
①　
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交
BD于点D，已知∠1＝32°，则∠D＝ ．
29°　
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13 cm，D是AB上一点，且CD＝
12 cm，BD＝8 cm.求证：△ADC是直角三角形．
证明：∵AB＝13 cm，BD＝8 cm，
∴AD＝AB－BD＝5(cm)．
∵AC＝13 cm，CD＝12 cm，
∴AD2＋CD2＝AC2.
∴△ADC是直角三角形．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰
好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠ADE＝ ．
46°　
7．【拓展题】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB
＝∠ECD＝90°，点D为AB边上一点，连接AE.
(1)求证：△ACE≌△BCD；
证明：(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD.
∵∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD.∴∠ACE＝∠BCD.
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.
(2)∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠BAC＝45°.
∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠B＝45°，AE＝DB.
∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°.
∴AD2＋AE2＝DE2.
∴AD2＋DB2＝DE2＝CD2＋CE2＝2CD2.
∴2CD2＝AD2＋DB2.
1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，则∠B＝（　B　）
A．35° B．55°
C．65° D．145°
B
复习训练
2．在△ABC中，若∠B与∠C互余，则△ABC是（　B　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
B
3．以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是
（　A　）
A．6，7，8 B．1，2，
C．5，12，13 D．6，8，10
A
4．Rt△ABC的两边长分别为5，12，则第三边的长是（　B　）
A．6 B．或13
C．13 D．15
B
5．命题“正数的绝对值是它本身”的逆命题是
；逆命题是 命题( 填“真”或“假” ).
绝对值是它本身的数
是正数　
假　
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABC的面积．
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵△ABC是等腰三角形，∴BD＝BC＝3.
在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝52－32＝16.
∴AD＝4.
∴S△ABC＝×6×4＝12.
7．在△ABC中，∠A＝100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的
度数是 .
40°　
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则以AB为边的正方
形的面积为（　C　）
A．9 B．16 C．25 D．5
C
　基础训练
2．下列定理中，逆命题是假命题的是（　B　）
A．在一个三角形中，等角对等边
B．全等三角形的对应角相等
C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
D．等腰三角形两个底角相等
B
3．如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则图中与∠A
相等的角是（　B　）
A.∠1
B．∠2
C．∠B
D．∠1，∠2和∠B
B
4．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝8，CD＝4，BD＝12，则
∠ACD＝ 　45°　 ．
45°　
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB
＝5，AD＝3，则BC＝ 　8　 ．
8　
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条
件不能判定△ABC为直角三角形的是（　C　）
A．∠A＝∠B＝∠C
B．a2＝c2－b2
C．a2＝3，b2＝4，c2＝5
D．a＝5，b＝12，c＝13
C
7．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一
起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝
∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（　A　）
A.3
B．6
C．3
D．
A
8．【教材P17习题T1变式】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点
E为BC上的一点，且∠BAE＝25°，∠CDE＝65°，AD＝12，DE＝8，
求AE的长．
解：∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠CDA＝180°.
∴∠EAD＋∠EDA＝180°－25°－65°＝90°.
∴∠AED＝90°，即△AED是直角三角形．
∴AE＝＝＝4.
9．如图，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3 cm的正方
形，高为20 cm.现有一条彩带，从底面A点开始缠绕该四棱柱容器，刚好
缠绕4周到达B点( 假设彩带完美贴合四棱柱 )．
( 1 )求彩带的最短长度；( 注：画出平面展开示意图，再解答 )
解：( 1 )如图1，将四棱柱的侧面沿AB展开，取A′B′的四等分点C，D，E，取AB的四等分点C′，D′，E′，连接E′B′，D′E，C′D，AC，则AC＋C′D＋D′E＋E′B′＝4AC为所求的最短彩带长．
由题可知，AA′＝3×4＝12( cm )，A′C＝A′B′＝5( cm )．
∵AC2＝AA′2＋A′C2，∴AC＝＝13( cm )．
∴AC＋C′D＋D′E＋E′B′＝4AC＝52( cm )．
答：彩带的最短长度是52 cm.
( 2 )如图，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2 cm处有
一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达P处．求蚂蚁需要爬行的最短路
程．( 注：画出平面展开示意图，再解答 )
( 2 )如图2，延长MN至点P′，使NP′＝NP，连接AP′，
则AP′即蚂蚁需要爬行的最短路程．
在Rt△AMP′中，AM＝6 cm，MP′＝20＋2＝22( cm ).
由勾股定理，得AP′2＝AM2＋MP′2＝62＋222＝520.
∴AP′＝2( cm )．
答：蚂蚁需要爬行的最短路程是2 cm.