2023-2024学年 北师大版 八年级数学下册1.2直角三角形 直角三角形全等的判定(HL)-讲练课件-(共28张PPT)

(共28张PPT)
第一章 三角形的证明
第6课 直角三角形全等的判定(HL)
数学(RS版) 八年级下册
直角三角形的全等判定
1.判定： 分别相等的两个直角三角形全等(HL)．
几何语言：
如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF( )．
斜边和一条直角边　
HL　
新课学习
2.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　C　）
A.AC＝A′C′，BC＝B′C′
B.∠A＝∠A′，AB＝A′B′
C.AC＝A′C′，AB＝A′B′
D.∠B＝∠B′，BC＝B′C′
C
例1 如图，AC⊥BC于点C，BD⊥AD于点D，AC＝BD.求证：∠ABC
＝∠BAD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ACB＝∠BDA＝90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠ABC＝∠BAD.
3.如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，边
BC，EF在同一条直线上，斜边AC，DF交于点G，且BF＝CE，AC＝DF.
求证：GF＝GC.
证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
∴∠ACB＝∠DFE.∴GF＝GC.
直角三角形全等的性质与判定的应用
例2 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯
水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什
么关系？
解：∠ABC＋∠DFE＝90°.理由如下：
依题意知BC＝EF，AC＝DF，
∠BAC＝∠EDF＝90°.
∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL)．∴∠DFE＝∠ACB.
∵∠ABC＋∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠DFE＝90°.
4.如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C同时出发，以相
同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于
点A，EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段
AB的距离是多少米？
解：∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴△ADC和△BEC为直角三角形．
∵点C是路段AB的中点，∴AC＝BC.
∵小明和小红同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，∴CD＝CE.
∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．∴BE＝AD＝50米．
答：小红到路段AB的距离是50米．
1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，
PE＝PF，则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是（　A　）
A．HL B．ASA
C．AAS D．SAS
A
基础巩固
2．用尺规作图，不能作出唯一一种直角三角形的是（　B　）
A．已知两条直角边
B．已知两个锐角
C．已知一直角边和该直角边所对的一锐角
D．已知斜边和一直角边
B
3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝
（　B　）
A．40° B．50° C．60° D．75°
B
4．一题多问 如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°.
(1)若∠A＝∠D，BC＝EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据
是 ；
(2)若∠A＝∠D，AC＝DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据
是 ；
AAS　
ASA　
(3)若∠A＝∠D，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据
是 ；
(4)若AC＝DF，CB＝FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是 ；
(5)若AC＝DF，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是 ．
AAS　
SAS　
HL　
5．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，AC＝BD，AF＝BE.求证：AC∥BD.
证明：∵AF＝BE，
∴AF－EF＝BE－EF，即AE＝BF.
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEC＝∠BFD＝90°.
在Rt△AEC和Rt△BFD中，
∴Rt△AEC≌Rt△BFD(HL)．
∴∠A＝∠B.∴AC∥BD.
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ
＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当
AP＝ 时，△ABC和△PQA全等．
5或10　
7．【教材P35复习题T13变式】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别
为点C，D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.求证：
CE＝DF.
证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB＝∠BDA＝90°.
∵BC＝AD，AB＝BA，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠CBE＝∠DAF.
∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEB＝∠DFA＝90°.
在△BCE和△ADF中， ∴△BCE≌△ADF(AAS)．
∴CE＝DF.
1．如图，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，AC＝DF，则
△ABC≌△DEF的理由是（　D　）
A.SAS
B．ASA
C．AAS
D．HL
D
复习训练
2．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定
Rt△ABC和Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　A　）
A.AC＝AD
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
A
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若
AC＝6 cm，则AE＋DE等于（　C　）
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
C
4．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA.
( 1 )若以“SAS”为依据，需添加的一个条件为 ；
( 2 )若以“HL”为依据，需添加的一个条件为 .
AB＝CD　
BC＝DA　
5．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于
60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角
形．其中等边三角形是（　D　）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
D
1．如图，已知AC⊥BD，垂足为点O，AO＝CO，AB＝CD，则可得
到△AOB≌△COD，理由是（　A　）
A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
A
　基础训练
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB于点D.若
∠B＝28°，则∠AEC＝（　B　）
A．28° B．59° C．60° D．62°
B
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，ED⊥BC于点D，AB＝
BD，若AC＝8，DE＝3，则EC的长为 　5　 ．
5　
4．【教材P21习题T1变式】如图，点D是△ABC的边BC的中点，
DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF＝CE.求证：AB＝AC.
证明：∵点D是△ABC的边BC的中点，∴BD＝CD.
∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴∠BFD＝∠CED＝90°.
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE( HL )．
∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
5．【教材P34复习题T4变式】如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别
为点D，E，BE与CD相交于点O，连接AO，且∠1＝∠2，则下列结论
中：①∠ABC＝∠ACB；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE；④图
中有四对三角形全等．正确的个数为（　C　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
6．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是AC上
一点，点E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试
探索BF与AE有何特殊的位置关系？并说明理由．
解：BF⊥AE.理由如下：
∵∠ACB＝90°，点E在BC的延长线上，∴∠ACE＝90°.
在Rt△BCD和Rt△ACE中，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE( HL )．∴∠CBD＝∠CAE.
∵∠ACB＝90°，∴∠CBD＋∠BDC＝90°.
∴∠CAE＋∠BDC＝90°.
又∠BDC＝∠ADF，∴∠CAE＋∠ADF＝90°.
∴∠AFD＝90°，即BF⊥AE.
7．如图，已知P( 2，2 )，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴
上运动，且PA＝PB.
( 1 )求证：PA⊥PB；
( 1 )证明：如图，过点P作PM⊥x轴于点M，
PN⊥y轴于点N，BP交OA于点Q.
∴∠PMA＝∠PNB＝90°，PM＝PN＝2.
在Rt△PMA和Rt△PNB中，
∴Rt△PMA≌Rt△PNB( HL )．∴∠PAM＝∠PBN.
∵∠PQA＋∠PAQ＝∠BQO＋∠PBN.
∴∠BPA＝∠BOA＝90°.∴PA⊥PB.
( 2 )若点A( 8，0 )，则点B的坐标为 　( 0，－4 )　 ；
( 3 )求OA－OB的值．
( 0，－4 )　
( 3 )解：由( 1 )，得△PMA≌△PNB.∴MA＝BN.
∴OA－OB＝( OM＋MA )－( BN－ON )
＝OM＋ON＝4.