2023-2024学年 北师大版 八年级数学下册1.3线段垂直平分线 线段垂直平分线的性质与判定-讲练课件-(共30张PPT)

(共30张PPT)
第一章 三角形的证明
第7课 线段垂直平分线的性质与判定
数学(RS版) 八年级下册
线段垂直平分线的性质
1.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ．
几何语言：
∵CD是AB的垂直平分线，
∴ ．
相等　
AC＝BC　
新课学习
2.如图，CD是AB的垂直平分线，垂足为点D.
(1)AD＝________，∠ADC＝ °，AC＝ ；
(2)若AD＝4，AC＝5，则△ABC的周长为 .
BD或(AB)　
90　
BC　
18　
例1 如图，AD是BC的垂直平分线，点M是AD上一点．求证：
∠ABM＝∠ACM.
证明：∵AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，MB＝MC.
∴∠ABC＝∠ACB，∠MBC＝∠MCB.
∴∠ABC－∠MBC＝∠ACB－∠MCB.
∴∠ABM＝∠ACM.
3.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC的延长线于
点E，连接AE，若∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数．
解：∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC.
∴∠CAE＝∠ECA.
∵∠B＝50°，∠BAC＝21°，
∴∠ECA＝∠B＋∠BAC＝71°.
∴∠CAE＝71°.
线段垂直平分线的判定
4.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
上 .
几何语言：
∵ ，
∴点P在AB的垂直平分线上．
垂直平分
线　
AP＝BP　
5.如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结论中正确的是
（　D　）
A.AO＝BO
B.PO⊥AB
C.PO是AB的垂直平分线
D.点P在AB的垂直平分线上
D
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝
OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵OB＝OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上．
∵两点确定一条直线，
∴直线AO垂直平分线段BC.
6.如图，AB＝AC，DB＝DC，点E是AD延长线上的一点，BE是否与
CE相等？试说明理由．
解：BE＝CE.理由如下：
如图，连接BC.∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵DB＝DC，∴点D也在线段BC的垂直平分线上．
∵两点确定一条直线，∴AD是线段BC的垂直平分线．
∵点E是AD延长线上的一点，∴BE＝CE.
1．如图，线段AC的垂直平分线DE交线段AB于点D，∠A＝50°，
则∠BDC＝（　B　）
A．50° B．100°
C．110° D．120°
B
基础巩固
2．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交AC于点M，交BC于点
N，若AB＝3，BC＝13，则△ABN的周长是（　C　）
A．10 B．13
C．16 D．无法确定
C
3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3，则
CE的长为 ．
6　
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，边BC的垂直平分线MN经
过点A.求证：点A在CD的垂直平分线上．
证明：如图，连接AC.
∵MN垂直平分BC，
∴AB＝AC.
∵AB＝AD，
∴AC＝AD.
∴点A在CD的垂直平分线上．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
(1)用尺规作出AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E；
(2)求证：AE＝2CE.
(1)解：如图，DE即为所作．
(2)证明：如图，连接BE.
∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∴∠EBA＝∠A＝30°.
∵∠ABC＝90°－∠A＝60°，∴∠CBE＝30°.
∵∠C＝90°，∴BE＝2CE.∴AE＝2CE.
6．【拓展题】如图，在△ABC中，若MP和NQ分别垂直平分AB和
AC.
(1)若BC＝15，求△APQ的周长；
解：(1)∵MP和NQ分别垂直平分AB，AC，
∴AP＝BP，AQ＝CQ.
∴△APQ的周长＝AP＋AQ＋PQ＝BP＋CQ＋PQ＝BC＝15.
(2)若∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数．
解：(2)∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，
∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－105°＝75°.
∵MP，NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝BP，AQ＝CQ.
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C.
∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝75°.
∴∠PAQ＝∠BAC－(∠BAP＋∠CAQ)＝105°－75°＝30°.
1．如图，直线l垂直平分线段AB，点P是l上一点，已知PA＝1，则
PB（　A　）
A.等于1
B．小于1
C．大于1
D．不能确定
A
复习训练
2．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P
一定（　D　）
A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上
C．在边AB的高线上 D．在边AB的垂直平分线上
D
3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，如果AC＝5
cm，BD＝3 cm，那么DC的长是（　A　）
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
A
4．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，
∠ACB＝80°，则∠BCE＝ °.
50　
5．如图，AB垂直平分CD，AC＝6，BD＝4，则四边形ADBC的周
长是 ．
20　
6．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，点D为垂足，∠C＝55°，则
∠ABC的度数是（　D　）
A.35°
B．55°
C．60°
D．70°
D
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一
点．已知PA＝4，则线段PB的长为 　4　 ．
4　
　基础训练
2．如图，若AC＝AD，BC＝BD，则（　B　）
A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD
C．CD平分∠ACB D．以上均不对
B
3．如图，AD⊥BC于点D，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，
则AB，AC，CE的长度关系为（　D　）
A．AB＞AC＝CE B．AB＝AC＞CE
C．AB＞AC＞CE D．AB＝AC＝CE
D
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，若
∠CAD∶∠DAB＝2∶1，则∠B的度数为（　B　）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
B
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8 cm，DE是BC的垂
直平分线，△ABD的周长为14 cm.求BC的长．
解：∵DE是BC的垂直平分线，∴BD＝DC.
∵△ABD的周长为14，
∴AB＋AD＋BD＝14.
∴AB＋AD＋DC＝AB＋AC＝14.
∴AB＝14－8＝6( cm )．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10( cm )．
6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AB垂直平分MN.
证明：在△ABM和△ABN中，
∴△ABM≌△ABN( ASA )．
∴AM＝AN，BM＝BN.
∴点A，B都落在MN的垂直平分线上．
∴AB垂直平分MN.
7．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分
线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12.
( 1 )求证：DB⊥BC；
( 1 )证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°.
∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD.∴∠ABD＝∠A＝30°.
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝120°－30°＝90°.
∴DB⊥BC.
( 2 )求DB的长．
( 2 )解：由( 1 )可知∠DBC＝90°，∠A＝∠C＝30°.
∴CD＝2DB.
∵DE垂直平分AB，∴AD＝DB.
∵AD＋CD＝AC，∴3DB＝AC＝12.
∴DB＝4.