2023-2024学年 北师大版 八年级数学下册1.4 角平分线 角平分线的性质与判定 课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
第一章 三角形的证明
第9课 角平分线的性质与判定
数学(RS版) 八年级下册
角平分线的性质
1．性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离 ．
几何语言：
∵ ， ， ，
∴ ．
相等　
AP平分∠BAC　
PB⊥AB　
PC⊥AC　
PB＝PC　
新课学习
2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ ，CE＝ ．
3　
4　
例1 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)．
∴EB＝FC.
3.如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD，BE交于点O，连接
AO，∠1＝∠2.求证：OB＝OC.
证明：∵∠1＝∠2，∴AO是∠BAC的平分线．
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴DO＝EO，∠BDO＝∠CEO＝90°.
在△BDO和△CEO中，
∴△BDO≌△CEO(ASA)．
∴OB＝OC.
角平分线的判定
4.判定：在一个角的内部，到角的两边距离 的点在这个角的平分
线上．
几何语言：
∵PB⊥AB， ， ，
∴AP平分∠BAC，即∠BAP＝∠CAP.
相等　
PC⊥AC　
PB＝PC　
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（　A　）
A.30° B．40° C．50° D．60°
A
例2 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
∵BE＝CF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)．
∴DE＝DF.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.
6.如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D为AC边上的点，DE⊥AB，
DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF＝ .求线段BE的长．
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2.∴BE＝＝3.
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ ，∠ADC＝ °.
2　
50　
基础巩固
2．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为点A，
B.下列结论中不一定成立的是（　D　）
A.PA＝PB B．PO平分∠APB
C.OA＝OB D．AB垂直平分OP
D
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BD平分∠ABC
且与AC边交于点D，AC＝3，则点D到边BC的距离是 ．
1　
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点
D，CD＝2，点Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（　A　）
A．2 B．2 C. D.
A
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，DE⊥AB
于点E，且DE＝DC.
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若∠A＝38°，求∠DBC的度数．
(1)证明：∵∠C＝90°，∴DC⊥BC.
∵DE⊥AB，DE＝DC，∴BD平分∠ABC.
(2)解：∵∠C＝90°，∠A＝38°，∴∠ABC＝52°.
由(1)知，BD平分∠ABC.∴∠DBC＝∠ABC＝26°.
6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交
BC于点D，DE⊥AB，垂足为点E.若DE＝1，则BC＝________ ．
2＋　
7．如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线
OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠AOB的平分
线．”这样说的依据是
．
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这
个角的平分线上　
8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC
于点F，AB＝8 cm，AC＝6 cm，△ABC的面积为21 cm2，求DE的长度.
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD
＝ AB·DE＋ AC·DF＝21，
AB＝8 cm，AC＝6 cm，
∴×(8＋6)·DE＝21.
∴DE＝3.
9．如图，已知AB＝AC，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC交
AC的延长线于点F，DE＝DF.求证：BD＝CD.
证明：如图，连接AD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.
∴∠1＝∠2.
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
1．如图，观察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　C　）
A．OE是∠AOB的平分线 B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等 D．∠AOE＝∠BOE
C
复习训练
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（　D　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
D
3．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则
点C到射线OA的距离为 .
3　
4．如图，已知∠CDA＝∠CBA＝90°，且CD＝CB，则点C
在 的平分线上，点A在 的平分线上.
∠BAD　
∠DCB　
循环复习
5．如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，若BC＝8 cm，AB
＝10 cm，则△EBC的周长为（　B　）
A．16 cm B．18 cm C．26 cm D．28 cm
B
1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明
∠AOC＝∠BOC的依据是（　A　）
A.SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
A
　基础训练
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，CD＝DE，若
∠CBD＝26°，则∠A的度数为（　D　）
A．40° B．34° C．36° D．38°
D
3．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交
于点P，过点P作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离
为 　4　 ．
4　
4．在9×7的网格中，∠AOB的位置如图所示，则到∠AOB两边距离
相等的点是（　A　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
A
5．如图，OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB于点D，BC⊥OA于点E.
求证：AC＝BC.
证明：∵OC平分∠AOB，CE⊥OA，CD⊥OB，
∴CE＝CD.
在△ACE和△BCD中，
∵∠AEC＝∠BDC＝90°，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD( ASA )．
∴AC＝BC.
6．已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且
OB＝OC.
( 1 )求证：△ABC是等腰三角形；
( 1 )证明：∵CE，BD是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
∵∠EOB＝∠DOC，∴∠ABD＝∠ACE.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∴∠ABD＋∠OBC＝∠ACE＋∠OCB，即∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．
( 2 )判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
( 2 )解：点O在∠BAC的平分线上．理由如下：
∵∠BEO＝∠CDO＝90°，∠BOE＝∠COD，
OB＝OC，∴△BOE≌△COD( AAS )．
∴OE＝OD.
∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴点O在∠BAC的平分线上．
7．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，点O为BD的中点，
且AO平分∠BAC.
( 1 )求证：CO平分∠ACD；
证明：( 1 )如图，过点O作OE⊥AC于点E.
∵∠B＝90°，∴OB⊥AB.
∵OE⊥AC，AO平分∠BAC，∴OB＝OE.
∵点O为BD的中点，∴OB＝OD.∴OE＝OD.
∵∠D＝90°，∴OD⊥CD.
又OE⊥AC，∴CO平分∠ACD.
( 2 )求证：OA⊥OC；
( 2 )在Rt△ABO和Rt△AEO中，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO( HL )．∴∠AOB＝∠AOE.
在Rt△CDO和Rt△CEO中，
∴Rt△CDO≌Rt△CEO( HL )．∴∠COD＝∠COE.
∵∠AOE＋∠AOB＋∠COE＋∠COD＝180°，
∴2∠AOE＋2∠COE＝180°.
∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝×180°＝90°.∴OA⊥OC.
( 3 )求证：AB＋CD＝AC.
( 3 )∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE.
∵Rt△CDO≌Rt△CEO，∴CD＝CE.
∵AE＋CE＝AC，∴AB＋CD＝AC.