第一章 三角形的证明 章末复习 讲练课件(共48张PPT)

(共48张PPT)
第一章 三角形的证明
第11课 三角形的证明章末复习
数学(RS版) 八年级下册
60°
等腰
互余
互余
相等
相等
思维导图
等腰三角形
1．如图，在△ABC中，AB＝AC.
(1)若∠A＝50°，则∠C＝ ；
(2)若∠B＝50°，则∠A＝ ．
65°　
80°　
高频考点
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线．若AB
＝13，AD＝12，则BC的长为（　B　）
A．5 B．10 C．20 D．24
B
3．如图，等边三角形ABC的周长为12，BD⊥AC于点D，则∠ABD
＝ ，AD＝ ．
30°　
2　
4．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长
线上，若CE＝1，∠E＝30°，则BC＝ ．
2　
5.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD＝CE，
∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形．
证明：在△BFD和△CFE中，
∴△BFD≌△CFE(AAS)．∴FB＝FC.
∴∠FBC＝∠FCB.∴∠ABE＋∠FBC＝∠ACD＋∠FCB.
∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
直角三角形
6．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（　A　）
A．两个锐角对应相等
B．斜边和一直角边分别对应相等
C．两条直角边分别对应相等
D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等
A
7．在△ABC中，∠A＝40°，要使△ABC为直角三角形，则∠B的
度数为 ．
8．已知直角三角形的两边长为6和10，则斜边长为____________ ．
50°或90°　
10或2　
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P.
(1)求证：PB＝PC；
(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵BH，CM为△ABC的高，
∴∠BMC＝∠CHB＝90°.
∴∠ABC＋∠BCM＝90°，∠ACB＋∠CBH＝90°.
∴∠BCM＝∠CBH.∴PB＝PC.
(2)若PB＝5，PH＝3，求AB的长．
(2)解：∵PB＝PC，PB＝5，∴PC＝5.
∵PH＝3，∠CHB＝90°，∴CH＝＝4.
设AB＝AC＝x，则AH＝x－4.
在Rt△ABH中，AH2＋BH2＝AB2，
∴(x－4)2＋(5＋3)2＝x2.∴x＝10，即AB＝10.
线段的垂直平分线
10．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5 cm，
△ABD的周长为16 cm，则△ABC的周长为（　B　）
A．21 cm B．26 cm
C．28 cm D．31 cm
B
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°.
(1)作AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F；
(2)若BC＝6，求CF的长．
解：(1)如图所示．
(2)如图，连接AF.
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝×(180°－120°)＝30°.
∵EF垂直平分AC，∴AF＝CF.∴∠FAC＝∠C＝30°.∴∠BAF＝90°.
∴BF＝2AF＝2CF.∴3CF＝BC＝6.∴CF＝2.
角平分线
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD
＝3，则△ABD的面积为 ．
12　
13.如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°.
∴△BDE和△CDF均为直角三角形．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴DE＝DF.
又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.
(2)写出AB＋AC与AE之间的等量关系，并说明理由．
(2)解：AB＋AC＝2AE.理由如下：
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)．∴AE＝AF.
∴AB＋AC＝(AE－BE)＋(AF＋CF)＝AE－BE＋AE＋BE＝2AE.
转化思想就是将未知问题转化成已知问题，将比较复杂的问题转化
成比较简单的问题的一种思想方法．
转化
14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以顶点A为圆心，
适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆
心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，则
CD与BD的数量关系是__________________ .
CD＝BD(或BD＝2CD)　
点拨：本题可利用角平分线的性质转化线段CD，或利用等腰三角形的
判定转化线段BD.
15.如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，点N是AB的中点，AD是BC
边上的中线，点M是AD上的一个动点，连接BM，MN，则BM＋MN的最
小值是________ .
3　
点拨：本题利用等边三角形的性质及轴对称中最短路径问题将两个线
段的和转化成求已知线段的长．
1．下列命题的逆命题不正确的是（　D　）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．两直线平行，内错角相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．对顶角相等
D
核心练习
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，用尺规作图的方法作出射线AD和
直线EF，AD交EF于点O，连接BE，OC.下列结论中，不一定成立的是
（　A　）
A.AE⊥BE
B．EF平分∠AEB
C．OA＝OC
D．AB＝BE＋EC
A
3．如图，把等边三角形ABC沿DE折叠，使点A恰好落在BC边上的
点P处，且DP⊥BC于点P.若BP＝4 cm，则EC＝__________ cm.
(2＋2)　
4．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使点A，B，D在同一
直线上，且EF∥AD，∠CAB＝∠EDF＝90°，∠C＝45°，∠E＝
60°，若DE＝2 ，则BD＝ 　3　 ．
3　
5．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE.①AB＝AC；
②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为条件，另一个作为结
论，构成三个命题：①② ③；①③ ②；②③ ①.
(1)以上三个命题是真命题的是 ；
(直接作答)
(2)请选择其中一个真命题，并证明．(先写出所选命题，然后证明)
解：选择①③ ②.
①② ③；①③ ②；②③ ①　
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE.(答案不唯一)
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的
中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线FM交AC于点F，交BC于点M，FM
＝2.
(1)求∠ADE的度数．
解：(1)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝(180°－∠BAC)＝30°.
∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝(180°－∠B)＝75°.
在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.
∴∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝15°.
(2)△ADF是等边三角形吗？为什么？
(2)△ADF是等边三角形．理由如下：
∵FM是CD的垂直平分线，∴DF＝CF.
由(1)知∠C＝30°.∴∠FDC＝∠C＝30°.
∴∠AFD＝∠C＋∠FDC＝60°.
由(1)知AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.
∴∠DAF＝90°－∠C＝60°.
∴∠AFD＝∠DAF＝∠ADF＝60°.
∴△ADF是等边三角形．
(3)求AB的长．
(3)∵FM是CD的垂直平分线，
∴∠FMC＝90°，DF＝CF.
由(1)知∠C＝30°.∴DF＝CF＝2FM＝4.
由(2)知△ADF是等边三角形．
∴AF＝DF＝4.∴AC＝AF＋CF＝4＋4＝8.
∵AB＝AC，∴AB＝8.
解与等腰三角形有关问题时，考虑不全面
1．(1)已知实数x，y满足|x－5|＋ ＝0，则以x，y的值为两边
长的等腰三角形的周长是 ．
(2)已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角的度数为
．
【易错点拨】 题(1)未明确腰和底边，题(2)未明确底角和顶角，需要分
类讨论，切记求长度时还要结合三角形三边关系求解．
27　
50°或
80°　
易错点拨
未考虑三角形形状
2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其
底边上的高是________ ．
3．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所
得的锐角为50°，则∠B的度数为 ．
【易错点拨】 此类题目条件中未给出图形，在画图分析解答时，容易只
考虑锐角三角形的情况，而忽略钝角三角形的情况．
3或3　
70°或20°　
未能正确判断直角边和斜边
4．在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝4，则这个三角形的周长为
______ ．
【易错点拨】 在没有明确直角边、斜边时，应分类讨论，以免漏解．本
题易误认为已知的两条边是直角边．
12或7
＋　
对角平分线的性质理解不准确
5．如图，点Q是△OAB的角平分线OP上的一点，PC⊥OA于点C，
PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，FQ⊥OQ，交OA于点F，则下列结论
正确的是（　B　）
A．PA＝PB B．PC＝PD
C．PC＝QE D．QE＝QF
B
【易错点拨】 应用角平分线的性质时应注意两点：一是点在角平分线上；二是垂足在角的两边上．本题易误把FQ的长看成点Q到OA的距离．
1．已知等腰三角形的一个角为72°，则其底角为（　D　）
A．54° B．45°
C．60° D．72°或54°
D
复习训练
2．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则该等腰三角形的周
长为（　B　）
A．9 B．12 C．9或12 D．7
B
3．如图，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点
N，交AB于点M，BC＝3 cm，则△BCN的周长为（　D　）
A．10 cm B．4 cm C．6 cm D．7 cm
D
4．如图，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若PE＝PF，∠AOB＝
48°，则∠OPE＝ °.
66　
5．如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE是BC的垂直平分线，AD＝
DE，则∠C的度数是 °.
30　
6．定理“如果直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边是c，那么a2
＋b2＝c2”的逆定理是
.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那
么这个三角形是直角三角形，且a，b是直角边，c是斜边　
循环复习
7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DE＝
2，AC＝3，则△ADC的面积为 ．
3　
1．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD＝
（　B　）
A．10 B．5 C．4 D．3
B
　基础训练
2．如图，AP平分∠BAC，PB⊥AB，PC⊥AC，垂足分别为点B，
C，PB＝3，AC＝8，则四边形ABPC的面积为 　24　 ．
24　
3．如图，直线l1∥l2，AB＝BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA＝
25°，则∠1的度数为 　65°　 ．
65°　
4．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半
径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD.若
AC＝8，BC＝15，则△ACD的周长为 　23　 ．
23　
5．如图，在△ABC中，AB＝4，点D为BC上一点，AD＝BD＝
4，在AD上找一点E，使BE＝AC.
( 1 )判断△ABD的形状，并说明理由；
( 1 )解：△ABD是等腰直角三角形．理由如下：
在△ABD中，∵AD＝BD＝4，AB＝4，
∴AD2＋BD2＝32＝AB2.
∴△ABD为等腰直角三角形，∠ADB＝90°.
( 2 )证明：由( 1 )知∠ADB＝90°.
∵∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°.
∴△BDE和△ADC为直角三角形．
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC( HL )．
( 2 )求证：△BDE≌△ADC.
6．如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是( 1，0 )，( 0， )，且
∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 　( 4，)　 ．
( 4，)　
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，分别作AC，AB两边的垂
直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N，给出以下说法：①∠P＝
60°；②∠EAF＝∠B＋∠C；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相
等．其中正确的是 　①②④　 ．( 填序号 )
①②④　
8．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C，A两点重合，
点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8.
( 1 )求证：△AEF是等腰三角形；
( 1 )证明：由折叠的性质，可知∠AEF＝∠CEF.
由长方形的性质，得AD∥BC.∴∠AFE＝∠CEF.
∴∠AEF＝∠AFE.∴AE＝AF.
∴△AEF是等腰三角形．
( 2 )求线段FD的长．
( 2 )解：由折叠的性质，得AE＝CE.
设CE＝x，则AE＝x，BE＝BC－CE＝8－x.
∵∠B＝90°，
∴在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，
即42＋( 8－x )2＝x2.解得x＝5，即AE＝5.
由( 1 )，得AE＝AF.∴AF＝5.
∴FD＝AD－AF＝BC－AF＝8－5＝3.