对多解题、创新作图题和二次函数本质的考查三类题型的探究

对多解题、创新作图题和二次函数本质的考查三类题型的探究
根据近年江西省试题特点，为了加强对多解题 ( http: / / www.21cnjy.com )、创新作图题和二次函数本质的考查题型的复习，有必要对此三类题型进行解读，以下对三类题型的一般类型及其解法进行例析.
一、满足条件的多解题：
满足条件的多解型试题不但知识覆盖面广，综合 ( http: / / www.21cnjy.com )性较强，题意构思精巧，而且在解答时需要灵活运用一种重要的数学思想方法——分类讨论，因此，这种题型今年不但在综合题中会有所涉及（往年常会出现），而且还规定把原来的多项选择型的第16题调整为一道“满足条件的多解”型题，对于这一调整笔者认为是进一步强调分类讨论这一思想方法考查，明确要求在复习中应加强对学生的多向思维的培养.同时也是为优化思维品质，克服思维的片面性，提高学生解题能力而出台一项具体措施.再则这类题的思维空间较大，解题时常出现考虑不全或不严谨，导致漏解、错解，因此我们应该熟练掌握这一题型的特征与解法.
1.在非负数问题中，是正是负没有明确时，分情况讨论而产生多解
例1. 已知a、b为实数，且ab≠0，那么＝ .
评析：本例是一道典型的分类讨论题.解答时首先根据公式“”把原式化为：，由于ab≠0即a、b都不为0，但a、b中哪个是正，哪个是负呢？所以只能分：①都是正；②都是负；③a为负，b为正；④a为正，b为负这四种情况来分别求值.
答案：0、2或-2
2.在一列数中，已知数与未知数没有明确大小时，分情况讨论而产生多解
例2.小明等五名同学四月份参加某次数学测验 ( http: / / www.21cnjy.com )（满分为120）的成绩如下：100、100、x、x、80．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数x的值为　　　　　　．
评析：由于一列数的中位数是 ( http: / / www.21cnjy.com )先按大小顺序排列后，最中间的那个数或最中间那两个数的平均值；题中x的大小有三种可能：①120≥x＞100，②80＜x≤100，③0≤x≤80，结合中位数、平均数的定义，可获得整数x值.本例抓住了x相对100和80大小可能性来分类，这种分类只要不漏掉某种情况，应该是不会出错的.
答案： 110或60（有一个非整数值已舍去）
3.在实际问题中，某方面的情境不明确时，分情况讨论而产生多解
例3.“五一”期间，某超市推出如下购物优惠方案：
一次性购物在100元（不含100元）以内时，不享受优惠；
（2）一次性购物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以内时一律享受九折的优惠；
（3）一次购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠.
在此期间某顾客一次性购物付款252元，那么该顾客比平时购买总价相同的商品（没有优惠的时候）优惠了 元.
评析：题中情境有一个不明确的地方，即是：顾客优惠后的付款是252元，那么他所购买的商品的实际价格是在300元以下，还是多于300元呢？于是我们应分两种情况讨论.若是享受了优惠方案（2），则商品实价为=280元；若是享受了优惠方案（3），则商品实价为=315元.
像本例一样的问题，分类时，一定要按可能出现的情境来分类，否则会出现漏解现象，或者陷于无法入手的情形.
答案： 28或63.
4..在等腰三角形问题中，腰和底没有明确时，分情况讨论而产生多解
例4.已知，如图1：在平面直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 .
评析：题目给出了条件“△ODP是等腰三角形”，但未指明在△ODP中哪两条边相等，从而需要分情况考虑.但这里分类方法有几种：
如：方法1：OD、DP、OP轮流为底边，同时要注意以OD为底边时OP、PD是腰，但不会等于5，易产生错解，以OP为底边时又易漏掉一种情况.
方法2：∠POD、∠ODP、∠OP ( http: / / www.21cnjy.com )D轮流为顶角，这样分类同时还要考虑顶角可以是锐角、直角、钝角.本题由于腰为5的限制，故直角是不可能，∠POD为钝角不可能，∠PDO既可以是锐角，又可以为钝角.
方法3：由于腰为5，矩形的宽为4， ( http: / / www.21cnjy.com )易联想到勾3、股4、弦5，所以在OA上，在O点的右边取一点E，使OE=3，则OP=OD=5，在D点的左边取一点F，使DF=3，则OF=2，DP=OD=5，在D点的右边取一点G，使DG=3，则OG=8，DP=OD=5，这样P点坐标可直接写出.
这道题告诉我们，在抓住了分类讨论的特 ( http: / / www.21cnjy.com )征后，还要学会掌握分类的标准（或说方法）.而有了分类的标准，就要自始至终使用这一标准分类，同时在求满足条件的点的坐标时，画出相应的图形，使用图形分析求解也是十分必要的，还有一点值得强调的是，分类后还应注意题中约束条件，谨防出现不合要求的解或漏解现象.
答案：（3，4），（2，4），（8，4）.
5.在直角三角形问题中.直角边和斜边没有明确时，分情况讨论而产生多解
例5.线段AB的两端点的坐标为A（-1，0），B（0，-2）现请你在坐标轴上找一点P，
使得以P、A、B为顶点的三角形是直角三角形，则满足条件的P点的坐标是
评析：本例思考方法类似于例4，分类的标准也有几种，其中
可以分别以AB、AP、BP为斜边来确定P点的坐标.
答案：如图所示，P点的坐标可为：（0，0）或（0，） 或（4，0）
6. 在平行四边形问题中.边和对角线没有明确时，分情况讨论而产生多解
例6. （2012江西样卷 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图2，在直角坐标系中，已知A（1，0）、B（－1，－2）、C（2，－2）三点坐标，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是
评析：题图中由于AB、B ( http: / / www.21cnjy.com )C、AC是平行四边形的边还是对角线是不确定的，因此理所当然要分情况讨论，方法显然是分别以AB、BC、AC为对角线，结合平行四边形的对角线互相平分及其它相关性质易获得点D的坐标 .
本例是一道分类思路清晰，知识涉及较广，结构清爽的分类讨论题.
答案：（－2，0） （0，－4） （4，0）
7.在拼接问题中，拼接的方式没明确时，分情况讨 论而产生多解
例7.已知矩形的长为3，宽为1，现将四个这样的矩形用不同的方式拼成一个面积为12的大矩形，那么这个大矩形的周长是
评析：本题分类的标准不太好明确，从实践操作中可发现有4种方法拼接成满足条件的大矩形，如图3：
答案：26或16或14
训练：
1．平面内有四个点A、O、B、C，其中 ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2 ,则满足题意的OC长度为整数的值可以是____________________.
2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有 ( http: / / www.21cnjy.com )一个锐角为60°，BC＝6，点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为 ．
3．如图,两个等边△ABC与△BED, AB=4, BE=2, 若将△BED
绕点B顺时针旋转一定角度, 则当∠ABE=150°时, EC的长为 .
4．一个等腰直角△ABC的三个顶点中只有直角顶点A在已知直线上,分别过B,C两点向直线作垂线段BD=3,CE=1,则DE长为 .
5．已知甲、乙两个三角形相似.甲三角形的三边长分别为4、6、8，乙三角形其中一边长为2，则乙三角形的另两边长分别为 3、4或、或1， .
6．如图,△ABC中, ∠A=30 ( http: / / www.21cnjy.com )°，∠B=45°，点P是射线BC上一点,若点P到BA和AC两直线的距离相等,则∠APB的度数为 .
7．在直角坐标系中，如图已知△ABC，现 ( http: / / www.21cnjy.com )另有一点D满足以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标为 .
8．在Rt ABC中,∠A=90°, ( http: / / www.21cnjy.com ) BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为________________.
9．二次函数的图象与坐标轴只有两个交点，则的值为 ．
10．已知⊙O的直径为4cm，A是圆上一定点，弦BC长为cm (A，B，C三点均不重合)，当△ABC为等腰三角形时，其底边上的高为 ㎝.
对于“满足条件的多解”题，远不止上述那 ( http: / / www.21cnjy.com )些方面存在，当然也不是只有小题才有多解，在综合题中也是常有出现，并且所涉及到分类讨论那部分其特点或本质也是相同的，就是处理方法或策略也完全一样.笔者希望同学们在复习备考中掌握其技能、技巧、做到举一反三、触类旁通，努力提高自己的思维能力，培养自己的思维的条理性、缜密性、科学性.这是我们师生共同追求的目标之一.
二、创新画（作）图题：
本题型是新增加在第三大 ( http: / / www.21cnjy.com )题（原第三大题中有3小题，今年调整为共4小题）之中，也有可能放在第二大题中，这类题不但是考查对相关图形的性质掌握和合情合理的推理能力，同时也是检查相关的操作能力.
1.不限工具，利用网格画出满足条件的图形
例8. （2012江西样卷）如图4，在 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为1的正方形网格中画有一个圆心为O的半圆,请在网格中以O为圆心,画一个与已知半圆的半径不同,且面积相等的扇形．
评析：要画扇形，首先弄清所画扇形应满足哪些条件？①圆心为O，②面积为2，③半径必须大于2，④扇形要落在网格中.根据这些要求，结合扇形面积计算公式，定能确定扇形的半径长和它的圆心角的大小，在这个探索过程中，方法为“转化”，思维是“逆向”，考查的是“知识与能力”.
答案：
2. 只用单项工具，作出满足要求的图形
例9. 题a：（2012江西样卷）如图5 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=AC，AD⊥BC于点D，请你在△ABC内部，仅用圆规确定E、F两点，使∠BEC=∠BFC=90°.
题b：（2012江西样卷）如图6，四边形ABCD是一个等腰梯形,请直接在图中仅用直尺,准确画出它的对称轴.
评析：本例有两个小题，题a只 ( http: / / www.21cnjy.com )能用圆规作图，题b只能用直尺，这个要求是侧重对作图方法的探究考查.题a所要作的两点在以BC为直径的圆且在△ABC内部的一段弧上.要发现这一点，必须灵活运用等腰三角形和圆周角的性质定理.题b要作等腰梯形的对称轴，实际上就是作上、下底边的公共中垂线，故必须是找出两点，这两点分别到线段AD、BC的两端距离相等，具体作法如下答案图.
答案
3. 不限工具，将一个图形按要求进行分割
例10.把一个等边三角形分成四个等腰三角形，要求：1.除图a外再画出三种互不相同的分法，2.像图a一样，注明每个等腰顶角的度数.
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评析：本题初看确有一点不好入手，但只要 ( http: / / www.21cnjy.com )静下心来，反复理清等边三角形的性质、判定，还是不难找到突破口，例如：应用等腰三角形的“三线合一”这个性质，把等边三角形分成两个全等的直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线，可把直角三角形分成两个等腰三角形.这不就获得一种分割方法吗？当然这个题在构造上与传统的作图不同，考查的重点是如何灵活运用相关的知识探求出怎样分割，更重要的是还要考查学生的创新能力.
答案：
4.不限工具，已知一部分图形按要求添画或补充图形
例11. .如图8是由三个小正方形组成 ( http: / / www.21cnjy.com )的图形，现再给你一个同样的小正方形拼接在原图上，使原图形变为一个轴对称图形，请你分别在图a、b、c中画出不同的拼接方案，并画出对称轴.
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评析：本题要从不同角度观察图形，结合对称 ( http: / / www.21cnjy.com )图形相关概念，展开想象力，找到需补充的部分.才能顺利添画对称轴，这类题目难度虽然不大，但要有一定空间想象力.
答案：
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5. 不限工具，在数轴上找出表示无理数的点
例12.甲同学用如图9所示方法作出了C点，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同一数轴上，OB＝OC．
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（1）C点所表示的数是 ；
（2）仿照甲同学的做法，在如下所给数轴上描出表示－的点C．
评析：在甲同学的作图的启发下，先应构造一个斜边为的直角三角形，如：OA=2，AB=5，斜边OB为，于是在数轴上表示-点就不难确定.这类题虽比较常见，但既体现作图原理，又有运用数形结合的思想和构造法的探索经历.
答案:（1）点C表示数．
（2）．如答图：
6. 不限工具，画出图形变换后（或前）的图形
例13.如图10，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（1）先作△ABC关于直线成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．
评析：本题是画出变换后的图形，画图时关键是根据相应的变换性质找出对应顶点的位置.
答案: 如图：
通过上述例举，“创新画（作）图题”中的“创新 ( http: / / www.21cnjy.com )”两字.其意思是说这类题不完全是指传统的尺规作图题.“画”或“作”也不是本质，本质是放在如何“画”，怎样“作”的层面上，这类题是试题改革不断发展过程中涌现出来的又一新题型.此类题型形式多样，既灵活又简洁，可以充分考查学生的想象力和创造能力，在学生经历观察、分析、想象、推理、操作的过程中，不仅考查了学生掌握知识的情况，同时考查了学生的动手操作的能力.
在另一方面还需理解的是：它既保留了尺 ( http: / / www.21cnjy.com )规作图的严密的逻辑推理的要求，同时还需要结合几何推理，对所要作的图形进行作图原理的推究和作图方法的探索，这就是“创新画（作）图题”的特色之一.
训练：
1．如图，线段OA放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图2中添画（工具只能用无刻度的直尺）射线OB，使tan∠OAB的值分别为3和1．
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2．．如图，等边△ABC和等边△ECD的边长相等，BC与CD两边在同一直线上，请根据如下要求，使用无刻度的直尺，通过连线的方式画图．
(1)在图1中画一个直角三角形；
(2)在图2中画出∠ACE的平分线．
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3．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE=CE，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图．
（1）在图1中，画出∠DAE的平分线；
（2）在图2中，画出∠AEC的平分线．
4．如图,是由一个正方形和等腰直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形组成的图形.试分别在图1和图2中,用无刻度的直尺通过连线的方式,在图1中画出一个小正方形;在图2中画出图形的对称轴,并在指定位置表示出来.
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正方形 , 对称轴 .
三．以二次函数知识为主体的二次函数综合题：
《课程标准》对二次函数这一知识点的学习要 ( http: / / www.21cnjy.com )求比较高，它最能体现初中代数的综合性和能力性.因此二次函数在近几年中考试卷中已形成必不可少的题型，但有时只是把二次函数作为问题的背景，而真正探究的是三角形、四边形或其它些知识.所要考查的二次函数知识涉及得少之又少，因此今年对二次函数的考查角度有所调整，目的要将二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，促使我们在复习中把二次函数作为最核心的内容之一来教学.
1.抛物线的顶点在另一抛物线上运动而引发的相关问题的探究
例14.甲、乙两同学对关于y、x的抛物线f: 进行探讨交流时，各得出一个结论.
甲同学：当抛物线f经过原点时，顶点在第三象限平分线所在的直线上;
乙同学：不论m取什么实数值，抛物线f顶点一定不在第四象限.
(1)请你求出抛物线f经过原点时m的值及顶点坐标，并说明甲同学的结论是否正确？
(2)乙同学的结论正确吗？若你认为 ( http: / / www.21cnjy.com )正确，请求出当实数m变化时，抛物线f顶点的纵横坐标之间的函数关系式，并说明顶点不在第四象限的理由；若你认为不正确，求出抛物线f顶点在第四象限时，m的取值范围.
评析：本例呈现形式新颖，它以学生交流 ( http: / / www.21cnjy.com )为背景，围绕抛物线f的顶点位置特征来探讨.题中设问是由特殊到一般，探究的内容是如何求出抛物线横坐标之间函数（二次函数）关系式，根据这个二次函数关系式分析抛物线f的顶点位置特征，因此这是一道典型的以二次函数知识为主体的综合性试题.
答案: （1）抛物线f经过原点时，=0 则：=0或
∴当m=-1时抛物线f表达式为 顶点（-1，-1），
当m=0时抛物线f表达式为， 顶点（0，0）.
由于顶点（-1，-1）和顶点（0，0）都在第三象限的平分线所在的直线上，
∴甲同学结论正确,
（2）乙同学的结论正确.
∵抛物线f的解析式可变为
∴抛物线f的顶点为（m, ），若设抛物线f的顶点为（x,y）
则：，
∴抛物线f顶点的纵横坐标的函数关系式为：,
又由于抛物线的顶点为（-1，-1），与x轴的交点为（0，0），（-2，0），
抛物线开口向上.∴抛物线不可能在第四象限.
即：不论m取什么实数值，抛物线f顶点一定不在第四象限..
2.抛物线通过变换得到新抛物线，由此引起对新旧抛物线相互关系的问题探究
例15.已知抛物线的图象向上平移m个单位（）得到的新抛物线过点（1，8）.
（1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成的形式；
（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y的解析式，在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，并直接写出y与之间关系式.
评析：这是一道典型的以二次函数知识为主体的二次函数综合题.题中将抛物线进行了先平移，再将其中部分翻折的两次变换，并要求写出变换后的图象的解析式，其中稍难理解的是第二次变换，因为有一部分图象不动，还是第一次变换后的图象，而在x轴下方部分沿x轴翻折，即翻折后的图象与原图象关于x轴对称，因此第二次变换后的函数是一个分段函数.
答案：（1）由题意可得
又点（1，8）在图象上
∴
∴ ∴
（2）
当x≤-3或x≥-1时，y=+2, 当-3＜x＜-1时，y=2-
3.由二次函数中的a、b、c值变化产生的不同图象的认识与探究
例16. 已知抛物线m、n的解析式分别是关于y与的关系式：.
（1）对上述两个抛物线说法正确的序号是 ；
①两条抛物线与y轴的交点一定不在x轴的上方
②在抛物线m、n中，可以将其中一条抛物线经过向上或向下平移得到另一条抛物线
③在抛物线m、n中，可以将其中一条抛物线经过向左或向右平移得到另一条抛物线
④两条抛物线的顶点之间的距离为1
（2）若这两条抛物线中，只有一条与x轴交于A、B（A点在左）两个不同的点，问是哪条抛物线经过A、B两点？为什么？并求出A、B两点的坐标.
评析：本题根据两个抛物线系数的特征，探讨两条抛物线的位置关系.解答时：要注意到两解析式中的“a、b”都相同，则两抛物线的开口大小、方向相同，对称轴也相同.怎样平移才能重合，一看就知道.再因，＜0，可以判断两条抛物线与y轴的交点位置，同时推断两条抛物线与x轴的交点情况.因此这是一道以抛物线知识为主体的说理题.
答案：（1）①②④
（2）①抛物线n与x轴交于A、B两个不同的点.
方法1：∵不论m为何值时，，＜0，那么两条抛物线与y轴的交点一定不在x轴的上方，只有当m=0时，抛物线m的顶点在原点，而抛物线n与x轴有两个交点，
除此之外两条抛物线与x轴都有两个不同的交点.
∴当这两条抛物线中，只有一条与x轴交于A、B（A点在左）两个不同的点时，这条是抛物线n.且解析式为；，
令=0，得=0时，解得，
∴A（-1，0），B（1，0）.
方法2：∵， =6≥0
所以此抛物线与轴有一个或两个交点；又∵， = =>0，所以此函数与轴一定有两个不同的交点，又∵只有一条与x轴交于A、B（A点在左）两个不同的点，∴这条只有抛物线n经过A、B两点，此时m=0.
当时，，令=0，得=0时，解得，
∴A（-1，0），B（1，0）.
4.利用二次函数的性质解决实际问题
例17. 某校七年级学生准备去购买《英 ( http: / / www.21cnjy.com )汉词典》一书，此书的标价为20元，现A，B两书店都有此书出售，A店按如下方法促销：若只购1本则按标价销售，若一次性购买多于1本，但不多于20本时，每多购1本，每本售价在标价的基础上优惠2％(例如买两本,每本价优惠2％;买3本每本价优惠4％,依此类推)，若多于20本时，每本售价为12元；B书店一律按标价的7折销售.
（1）试分别写出在两书店购此书总价，与购书本数之间的函数关系式；
（2）若某班一次性购买多于20本时，那么去哪家书店购买更合算，为什么？若要一次性购买不多于20本时，先写出y（y=-）与购书本数x之间的函数式，画出其函数图象，再利用函数图象分析去哪家书店买更合算.
评析：本例首先要根据实际问题 ( http: / / www.21cnjy.com )中的数量关系，建立二次函数关系，进而利用二次函数的增减性解决相关的实际问题.这类题突出二次函数性质的应用，应该说从另一个角度来考查二次函数的核心内容.
答案：（1）设购买x本,则在A书店购书的总费用为
在B书店购书的总费用为=20×0.7x=14x
（2）当x＞20时, 显然,
当0＜X≤20时，y=-=+=
当=0时，x=0或16.
由图象可得：当时， y＞0，当x=16时，y=0，当20＞x＞16时，y＜0.
综上所述,若购书少于16本时,到B书店购买,
若购买16本,到A、B书店费用一样;
若超过16本,则到A书店购买合算.
仔细分析上述四例，与几何知识综合不多，全都是以二次函数知识为主线，从不同角度来评价学生对二次函数知识的掌握程度和应用能力.
这次对题型的调整，可以认为 ( http: / / www.21cnjy.com )是对知识板块侧重点的调整，丝毫没有放松对数学问题的本质和解题能力要求的考查，相反加强了对数形结合、分类讨论等思想方法和操作能力的考查.因此复习时注意总结体会各类数学习题中的思想方法，培养用数学思想方法解决问题的能力.