广东省2024届高三第一次学业水平考试（小高考）数学预测卷试题（含解析）

2024届广东省第一次学业水平考试（小高考）数学预测卷
考试时间：90分钟，总分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一 选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线与平面，下列命题正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
2.已知函数，则（ ）
A.1 B.3 C.-3 D.-1
3.将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
5.下列函数在定义域内为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，则（ ）
A.有最大值1 B.有最小值1
C.有最大值2 D.有最小值2
7.不等式的解集是（ ）
A.或 B. C. D.
8.指数函数与的图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
9.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则（ ）
A. B. C. D.
10.某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料.甲 乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲 乙都中奖”，则与互为对立事件的是（ ）
A.甲 乙恰有一人中奖 B.甲 乙都没中奖
C.甲 乙至少有一人中奖 D.甲 乙至多有一人中奖
11.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A. B.
C. D.
12.在中，点为边的中点，记，则（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二 填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
13.请写出一个最小正周期为的函数__________.（写出一个即可）
14.已知复数（是虚数单位），则它的模__________.
15.一个正方体的体对角线长为，它的顶点都在同一球面上，则该球的体积为__________.
16.已知向量满足的夹角为，则__________.
17.某工厂生产甲 乙 丙三种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，用分层抽样的方法从以上产品中抽取一个容量为的样本，已知从乙产品中抽取了7件，则__________.
18.已知是奇函数，则__________.
三 解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明 证明过程和演算步骤.
19.在中，角所对的边分别为，且.
（1）求的面积；
（2）求边长及的值.
20.统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于80分的频率为0.60.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该班学生数学成绩的平均分和中位数.
21.某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式，当月用电量不超过100度的部分，按0.4元/度收费；超过100度的部分，按0.8元/度收费.
（1）若某户居民用电量为120度，则该月电费为多少元？
（2）若某户居民某月电费为60元，则其用电量为多少度？
22.如图，在正方体中，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求直线和平面所成的角.
参考答案：
1.C
【分析】由线面位置关系的判定，分析选项中结论是否正确.
【详解】选项，缺条件，结论不成立；
选项，直线与直线可能平行可能异面，结论不成立；
选项，由直线与平面垂直的定义可知，结论正确
选项，直线可能与平行，可能在内，也可能与相交，不一定满足垂直，结论不成立.故选：C
2.B
【分析】计算出，从而求出.
【详解】.
故选：B
3.B
【分析】由题意确定出现一次6点向上的概率，可得没有一次6点向上的概率，利用对立事件的概率关系求解即可.
【详解】将一颗质地均匀的股子先后抛掷一次，出现一次6点向上的概率为，
所以先后抛掷2次，没有一次6点向上的概率为，
所以至少出现一次6点向上的概率为.
故选：B.
4.C
【分析】利用交集的定义求解.
【详解】集合，则.
故选：C.
5.C
【分析】利用函数的奇偶性定义判定即可.
【详解】对，故不是偶函数；
对，故B不是偶函数；
对C，的定义域为，关于原点对称，且，则其为偶函数；
对D，，故不是偶函数，
故选：C
6.D
【分析】由基本不等式求和的最小值.
【详解】已知，则，
当且仅当，即时等号成立，
则有最小值2.
故选：D.
7.C
【分析】解一元二次不等式求得正确答案.
【详解】由得，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：C
8.C
【分析】根据指数函数的性质即可得答案.
【详解】解：因为函数的图象是下降的，所以；
又因为函数的图象是上升的，所以.
故选：C.
9.D
【分析】根据三角函数正弦定义相关知识可求.
【详解】因为角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，
所以，
故选：D
10.D
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断即可.
【详解】“甲 乙恰有一人中奖”与互斥但不对立，故错误；
“甲 乙都没中奖”与互斥但不对立，故B错误；
“甲 乙至少有一人中奖”与不互斥，故C错误；
“甲 乙至多有一人中奖”与互斥且对立，故正确.
故选：D.
11.A
【分析】根据三角函数图象平移变化可得.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为，即.
故选：A
12.C
【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.
【详解】由题意可知
故选：C
13.（答案不唯一）
【分析】根据三角函数周期公式确定即可得答案.
【详解】由的周期为，得，
不妨取，得一个满足题意的函数.
故答案为：（答案不唯一）
14.
【分析】根据复数模的计算公式计算可得.
【详解】因为，所以.故答案为：
15.
【分析】根据长方体外接球的特征即可求解半径，由体积公式即可求解.
【详解】根据长方体的结构特征可知长方体的体对角线为其外接球的一条直径，所以
，故球的体积为，
故答案为：
16.
【分析】根据向量的模长公式直接代入求解即可.
【详解】，
故答案为：.
17.20
【分析】根据分层抽样的性质运算求解.
【详解】由题可知，，解得.
故答案为：20.
18.-1
【分析】根据奇函数定义求参数即可.
【详解】因为，
所以，
则，
因为是奇函数，所以，
所以，解得.
故答案为：-1
19.（1）
（2）
【分析】（1）利用平方关系和面积公式求解即可.
（2）利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【详解】（1）由，且，
则，
所以.
（2）由，
则，
又，则.
20.（1）
（2）平均分 中位数分别为
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可.
（2）利用平均数和中位数的定义和公式求解即可.
【详解】（1）由已知得，
则，所以.
（2）该班学生数学成绩的平均分的估计值为：
，
因为，
，
所以中位数在内.
故中位数为.
21.（1）56
（2）125
【分析】（1）设用电量为度，对应电费为元，求出关于的分段函数，将代入，求解出该月电费；
（2）先判断出该户用电量超过了100度，进而解方程，求出其用电量.
【详解】（1）设用电量为度，对应电费为元，
由题意得：当时，；
当时，，
即
当时，，
所以该月电费为56元；
（2）因为时，，
所以该户用电量超过了100度，
令，解得：，
故其用电量为125度.
22.（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
【分析】（1）由线面平行的判定可证明；
（2）先证明线线垂直，从而可得线面垂直；
（3）由（2）可得即为所求的角，再解三角形即可.
【详解】（1）证明：因为在正方体中，可知，而平面，平面，所以平面.
（2）证明：因为在正方体中，可知平面，且平面，所以，
又因为是正方形的对角形，因此，
又，且平面，
所以平面.
（3）设与的交点为，连接，由（2）可知直线和平面所成的角为，且为直角三角形，，
设正方体棱长为2，可得，
所以，因此直线和平面所成的角为.