2024沪科版数学八年级下学期--专项素养综合全练(七)有关四边形的五大模型（含解析）

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2024沪科版数学八年级下学期
第19章　四边形
专项素养综合全练(七)
有关四边形的五大模型
模型一　中点四边形模型
1.如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,则四边形ABCD应具备的条件是(　　)
A.一组对边平行而另一组对边不平行
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分
2.(2022湖北荆州中考)如图,已知矩形ABCD的边长分别为a,b,进行如下操作:第1次,顺次连接矩形ABCD各边的中点,得到四边形A1B1C1D1;第2次,顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点,得到四边形A2B2C2D2;……,如此反复操作下去,则第n次操作后,得到四边形AnBnCnDn的面积是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
第2题图
第3题图
模型二　十字架模型
3.【构造斜边中线】如图,E,F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H,连接DH.若正方形的边长为6,则线段DH长度的最小值是　　　　.
4.(2023浙江绍兴中考)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足,连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH;
(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.
模型三　对角互补模型
5.如图,已知正方形ABCD中,边长AB=6,点P为对角线BD上任一点,连接AP,过点P作PQ⊥AP交BC于点Q.
(1)求证:AP=PQ;
(2)若DP=,求四边形ABQP的面积.
模型四　含60°角的菱形
6.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=6,点E、F分别在边AB、AD上,且BE=AF,连接EF、CE、CF,则EF的最小值是(　　)
A.2　　B.3　　C.2　　D.3
7.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,E、F分别是AB、AD的中点,DE、BF相交于点G,连接BD,CG.
(1)求证:∠BGD=120°;
(2)若DE=2,求DC的长;
(3)若菱形ABCD的面积为32,求CG的长.
模型五　折叠型
8.将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠,使点A落在CD上的点A'处,得到折痕DE,如图1.
(1)求证:四边形AEA'D是正方形.
(2)将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠,点C恰好落在AD上的点C'处,点B落在点B'处,得到折痕EF,B'C'交AB于点M,如图2.线段MC'与ME是否相等 若相等,请给出证明;若不等,请说明理由.
图1
图2
第19章　四边形
专项素养综合全练(七)
答案全解全析
有关四边形的五大模型
1.C　要使四边形EFGH是矩形,应添加的条件是四边形ABCD的对角线互相垂直.理由如下:
如图,连接AC、BD,AC与BD交于点O,根据三角形的中位线定理得EF∥AC,EF=AC,GH∥AC,GH=AC,EH∥BD,∴EF∥GH,EF=GH,
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵EF∥AC,EH∥BD,BD⊥AC,
∴EH⊥EF,∴∠HEF=90°,∴四边形EFGH是矩形.
添加其余选项的条件均无法证明四边形EFGH是矩形.
2.A　如图,连接A1C1,B1D1,
∵顺次连接矩形ABCD各边的中点,得到四边形A1B1C1D1,∴四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的一半,∴S1=ab.
∵顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点,得到四边形A2B2C2D2,∴C2D2=A1C1,A2D2=B1D1,
∴S2=A1C1×B1D1=ab,……,依此类推可得Sn=.
3.答案　3-3
解析　根据正方形的性质可得AB=AD=CD=6,∠BAD=∠CDA=90°,∠ADG=∠CDG=45°,
又∵AE=DF,∴△BAE≌△CDF,∴∠1=∠2,
∵DG=DG,∴△ADG≌△CDG,∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,又∵∠BAD=∠BAH+∠3=90°,
∴∠1+∠BAH=90°,∴∠AHB=90°.
如图,取AB的中点O,连接OH,OD,
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=3,
在Rt△AOD中,由勾股定理得OD==3,
∵OH+DH≥OD,∴当O,D,H三点共线时,DH的长度最小,最小值=OD-OH=3-3.
4.解析　(1)证明:∵在正方形ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH.
(2)AH⊥EF.理由如下:
连接GC交EF于点O,如图,
∵BD为正方形ABCD的对角线,
∴∠ADG=∠CDG=45°.
又∵DG=DG,AD=CD,
∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠DAG=∠DCG.
在正方形ABCD中,∠ECF=90°,
又∵GE⊥CD,GF⊥BC,
∴四边形FCEG为矩形,∴OE=OC,
∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC.
由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC,
∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,
∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.
5.解析　(1)证明:过点P作MN∥CD交AD于点M,交BC于点N,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADB=45°,AD∥BC,
∵MN∥CD,∠ADC=∠C=90°,
∴四边形MNCD为矩形,
∴∠NMD=90°,∠MPD=45°=∠MDP,AD=CD=MN,
∴MD=MP,∴AM=PN,
∵AP⊥PQ,∴∠APQ=90°,∴∠APM+∠QPN=90°,
∵∠QPN+∠PQN=90°,∴∠APM=∠PQN,
在△AMP和△PNQ中,
∴△AMP≌△PNQ(AAS),∴AP=PQ.
(2)在等腰直角三角形DMP中,DP=,
根据勾股定理得MD=MP=1,∴AM=5,
易知四边形ABNM为矩形,则四边形ABQP的面积=S矩形ABNM-2S△AMP=6×5-2×=25.
6.D　如图,连接AC,过点C作CG⊥AD于点G,则∠CGD=90°.∵四边形ABCD是菱形,AB=6,∠B=60°,∴AB=CB=AD=CD=6,∠D=∠B=60°,∴△ABC和△ADC都是等边三角形,∴∠ACB=∠B=∠CAF=60°,CB=CA=CD=6,DG=AG=AD=×6=3,∴CG===3.∵CF≥CG,∴CF≥3,∴CF的最小值是3.在△BCE和△ACF中,∴△BCE≌△ACF(SAS),∴CE=CF,∠BCE=∠ACF,∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=
∠ACE+∠BCE=∠ACB=60°,∴△ECF是等边三角形,∴EF=CF,∴EF的最小值为3.
7.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠BCD=60°,
∴△ABD与△BDC均为等边三角形,
∴∠ADB=∠ABD=∠CDB=∠CBD=∠DCB=60°.
∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴∠BFD=∠DEB=90°,∴∠GDB=∠GBD=30°,
∴∠GDC=∠GBC=90°,DG=BG,
∴∠BGD=360°-90°-90°-60°=120°.
(2)由(1)可知△ADB是等边三角形,DE⊥AB,
∴∠EDB=30°,∠DEB=90°,∴BD=2BE,
∵DE=2,∴BE=2,∴CD=AB=2BE=4.
(3)设菱形的边长为2a,则DE=a,
∵菱形ABCD的面积为32,∴2a·a=32,
解得a=4或a=-4(舍去),∴DC=8.
由(1)可知∠GDB=∠GBD=30°,∠BGD=120°,
∵DG=BG,DC=BC,CG=CG,
∴△CDG≌△CBG,∴∠DGC=∠CGB=60°,
由(1)知∠GDC=90°,∴∠DCG=30°,DG2+CD2=CG2,
∴CG=2DG,∴+82=CG2,∴CG=.
8.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ADC=90°.
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠,使点A落在CD上的点A'处,得到折痕DE,
∴AD=A'D,AE=A'E,∠ADE=∠A'DE=45°.
∵AB∥CD,∴∠AED=∠A'DE=∠ADE,
∴AD=AE,∴AD=AE=A'E=A'D,
∴四边形AEA'D是菱形.
∵∠A=90°,∴四边形AEA'D是正方形.
(2)MC'=ME.
证明:如图,连接C'E,由(1)知,AD=AE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠EAC'=∠B=90°.
由折叠知,B'C'=BC,∠B=∠B',
∴AE=B'C',∠EAC'=∠B'.
在Rt△EC'A和Rt△C'EB'中,
∴Rt△EC'A≌Rt△C'EB'(HL),
∴∠C'EA=∠EC'B',∴MC'=ME.
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