2024沪科版数学八年级下学期--第17章《一元二次方程》素养综合检测（含解析）

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2024沪科版数学八年级下学期
第17章　一元二次方程
第17章　素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2023安徽滁州定远三中月考)已知(a-2)-x+3=0是关于x的一元二次方程,那么a的值为(　　)
A.±2　　B.2
C.-2　　D.以上选项都不对
2.如果x=-3是方程x2-m=0的一个根,那么m的值是(　　)
A.9　　B.-9　　
C.-3　　D.3
3.【模型观念】(2023江苏无锡中考)2020年—2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元,设人均可支配收入的平均增长率为x,下列方程正确的是(　　)
A.5.76(1+x)2=6.58　　
B.5.76(1+x2)=6.58
C.5.76(1+2x)=6.58　　
D.5.76x2=6.58
4.(2021安徽蚌埠月考)方程x2-4x-5=0用配方法求解的过程中,配方正确的是(　　)
A.(x+2)2=1　　B.(x-2)2=9
C.(x+2)2=9　　D.(x-2)2=1
5.(2023山东聊城中考)若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解,则m的取值范围是(　　)
A.m≥-1　　B.m≤1
C.m≥-1且m≠0　　D.m≤1且m≠0
6.(2023安徽合肥包河期中)已知某三角形的两边长恰是一元二次方程x2-6x+8=0的两根,则该三角形第三边长可能是(　　)
A.8　　B.7　　
C.6　　D.5
7.【数学文化】(2023安徽马鞍山七中期中)我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载了这样一个问题:“今有圆田一段,中间有个方池.丈量田地待耕犁,恰好三分在记,池面至周有数,每边三步无疑.内方圆径若能知,堪作算中第一.”其大意为有一块圆形的田,中间有一块正方形水池,测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步,从水池边到圆周,每边相距3步远.如果你能求出正方形边长和圆的直径,那么你的计算水平就是第一了.如图,设正方形的边长是x步,则列出的方程是(　　)
A.π(x+3)2-x2=72　　
B.π-x2=72
C.π(x+3)2-x2=36　　
D.π-x2=36
8.(2023安徽淮北月考)对于两个不相等的实数a,b,我们规定min{a,b}表示a,b中较小的数,如min{1,2}=1,若已知min{x2,x2-2x}=4,则x的值为(　　)
A.2或-2　　B.1+或1-
C.2或1-　　D.-2或1+
9.(2022安徽定远期中)关于x的一元二次方程a(x-1)2=2x2-2,则下列说法错误的是(　　)
A.a不等于0　　B.方程有一根是1
C.判别式的值为16　　D.a不等于2
10.【应用意识】某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价.市场调查发现,若每件售价a元,则可卖出(320-10a)件,但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%.如果商店要获利400元,则每件商品的售价应定为(　　)
A.22元　　B.24元　　
C.26元　　D.28元
二、填空题(每小题3分,共12分)
11.(2023山东枣庄中考)若x=3是关于x的方程ax2-bx=6的解,则2 023-6a+2b的值为　　　　.
12.【新独家原创】若代数式2x2+6x的值比x+1的值大2,则x的值等于　　　　.
13.(2023安徽合肥五十中西校期中)关于x的一元二次方程x2+(m+1)x+m2-2=0有两个实数根,则m的最小整数值为　　　　.
14.某民营企业一月份营收40万元,三月份营收48.4万元.该企业这两个月营收的月平均增长率为　　　　.
三、解答题(共58分)
15.(2023安徽合肥瑶海期中)(6分)解下列方程:
(1)x2+4x+2=0;
(2)(2x+1)2=-3(2x+1).
16.【教材变式·P36练习T2】(6分)已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0.
(1)当k取什么值时,方程有两个不相等的实数根
(2)当k取什么值时,方程有两个相等的实数根
(3)当k取什么值时,方程没有实数根
17.(6分)已知关于x的一元二次方程(a+b)x2-2cx+(a-b)=0,其中a,b,c为△ABC三边的长.
(1)如果x=1是方程的一个根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)若△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
18.【新考向·阅读理解题】(6分)下面是小聪同学用配方法解方程:2x2-4x-p=0(p>0)的过程,请仔细阅读后,解答下面的问题.
解析:移项,得2x2-4x=p.①
二次项系数化为1,得x2-2x=.②
配方,得x2-2x+1=.③
即(x-1)2=.
∵p>0,
∴x-1=±.④
∴x1=1+,x2=1-.⑤
(1)第②步二次项系数化为1的依据是什么
(2)整个解答过程是否正确 若不正确,说出从第几步开始出现错误,并直接写出此方程的解.
19.【新考向·代数推理】(2023安徽马鞍山七中期中)(8分)已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2=0.
(1)求证:对于任意给定的实数m,方程恒有两个实数根;
(2)若方程的两个实数根分别为α,β,且α-3β=5,求m的值.
20.【新考向·阅读理解题】(8分)开学之际,学生对书包的需求量增加.
市场调研:某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息:
信息一 商场从厂家购进款式、大小、颜色、价格都不相同的A、B两款书包,已知每个A款书包的进价比每个B款书包的进价贵40元,且购买6个A款书包和购买10个B款书包的费用相同 信息二 商场将B款书包按每个80元出售,每天可售出200个.现在采取提高商品售价的办法增加利润.在销售中发现,如果每个B款书包销售价每提高1元,其销售量就减少5个
解决问题:
(1)由信息一求得每个A款书包的进价为　　　元,每个B款书包的进价为　　　元.
问题延伸:
(2)调整价格后,商场销售B款书包每天可获利4 420元,利用一元二次方程求出信息二中提高售价后B款书包的售价.
21.【应用意识】(2022安徽合肥四十二中期中)(8分)某种新商品的进价为每件120元,在试销期间发现,当每件商品的售价为130元时,每天可销售70件;当每件商品的售价高于130元时,每涨价1元,日销售量就减少1件.据此,解答以下问题:
(1)当每件商品的售价为140元时,每天可销售　　　　件,每天可盈利　　　　元;
(2)若每天至少销售40件且每天可盈利1 500元,则每件商品的售价应定为多少元
22.(10分)如图,在长方形ABCD中,AB=6,AD=2,点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿折线A→B→C向点C运动,同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿边CD向点D运动.当其中一个动点到达终点停止运动时,另一点也停止运动.
(1)当四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的时,求出两动点的运动时间.
(2)是否存在某一时刻,点P与点Q之间的距离为 若存在,直接写出运动所需的时间;若不存在,请说明理由.
第17章　一元二次方程
第17章　素养综合检测
答案全解全析
1.C　∵(a-2)-x+3=0是关于x的一元二次方程,∴a2-2=2,a-2≠0,解得a=-2.
2.A　将x=-3代入x2-m=0,得9-m=0,∴m=9.
3.A　根据2020年的人均可支配收入×(1+年平均增长率)2=2022年的人均可支配收入,可列出一元二次方程为5.76(1+x)2=6.58.
4.A　∵x2-4x-5=0,
∴x2-4x=5,
∴x2-4x+4=5+4,
∴(x-2)2=9.
5.D　∵一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解,∴Δ=22-4m≥0,且m≠0,解得m≤1且m≠0.
6.D　x2-6x+8=0,因式分解得(x-2)(x-4)=0,即x-2=0或x-4=0,解得x1=2,x2=4,即三角形的两边长为2和4,设第三边长为x,则由三角形的三边关系得4-27.B　由题意用圆的面积减去正方形面积可列方程为π-x2=72.故选B.
8.D　当x2x2-2x,即x>0时,x2-2x=4,解得x1=1+,x2=1-(舍去).综上,x的值为-2或1+.故选D.
9.A　方程a(x-1)2=2x2-2可化为(a-2)x2-2ax+a+2=0,
∵方程是一元二次方程,∴a-2≠0,即a≠2.
∵Δ=4a2-4(a-2)(a+2)=16,
∴判别式的值为16.把x=1代入(a-2)x2-2ax+a+2=0,方程的左右两边相等,故x=1是方程的一个根.故选A.
10.A　由题意得(a-18)(320-10a)=400,整理得a2-50a+616=0,解得a1=22,a2=28.∵物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%,∴售价不能超过18×(1+25%)=22.5(元),∴a=22.故选A.
11.答案　2 019
解析　把x=3代入方程得9a-3b=6,即3a-b=2,则原式=2 023-2(3a-b)=2 023-4=2 019.
12.答案　-3或0.5
解析　根据题意,得2x2+6x-(x+1)=2,∴2x(x+3)-(x+3)=0,∴(x+3)(2x-1)=0,∴x+3=0或2x-1=0,解得x=-3或x=0.5.
13.答案　-4
解析　∵关于x的一元二次方程x2+(m+1)x+m2-2=0有两个实数根,∴Δ=(m+1)2-4≥0,∴m≥-,∴m的最小整数值为-4.
14.答案　10%
解析　设该企业这两个月营收的月平均增长率为x,利用三月份营收=一月份营收×(1+该企业这两个月营收的月平均增长率)2,列出一元二次方程得40(1+x)2=48.4,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意,舍去),∴x的值为10%,即该企业这两个月营收的月平均增长率为10%.
15.解析　(1)移项得,x2+4x=-2,配方得,x2+4x+4=2,即(x+2)2=2,两边同时开平方得x+2=±,解得x1=-2+,x2=-2-.
(2)移项得,(2x+1)2+3(2x+1)=0,因式分解得,(2x+1)(2x+1+3)=0,即2x+1=0或2x+1+3=0,解得x1=-,x2=-2.
16.解析　∵a=2,b=-(4k+1),c=2k2-1,
∴Δ=b2-4ac=[-(4k+1)]2-4×2×(2k2-1)=8k+9.
(1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,即8k+9>0,解得k>-.
(2)∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=0,即8k+9=0,解得k=-.
(3)∵方程没有实数根,∴Δ<0,
即8k+9<0,解得k<-.
17.解析　(1)△ABC是等腰三角形.
理由:∵x=1是方程的一个根,∴(a+b)-2c+(a-b)=0,∴a-c=0,∴a=c,∴△ABC是等腰三角形.
(2)若△ABC是等边三角形,则a=b=c,原方程可化为2ax2-2ax=0,∴x2-x=0,解得x1=0,x2=1.
18.解析　(1)第②步二次项系数化为1的依据是等式两边同时除以一个不为0的数,所得结果仍是等式.
(2)从第③步开始出现错误,正确过程如下:
移项,得2x2-4x=p,
二次项系数化为1,得x2-2x=,
配方,得x2-2x+1=+1,即(x-1)2=+1,
∵p>0,∴x-1=±,
解得x1=1+,x2=1-.
19.解析　(1)证明:Δ=4+12m2>0,∴方程总有两个实数根.
(2)由根与系数的关系可知α+β=2,αβ=-3m2,
∵α-3β=5,∴联立得解得
∴αβ=-3m2=-,∴m=±.
20.解析　(1)设每个A款书包的进价为x元,每个B款书包的进价为(x-40)元,根据题意得6x=10(x-40),解得x=100,∴x-40=60.
故答案为100;60.
(2)设每个B款书包的售价为y元,
根据题意得(y-60)[200-5(y-80)]=4 420,
解得y1=94,y2=86.
答:每个B款书包的售价为94元或86元.
21.解析　(1)由题意得每天可销售70-(140-130)×1=60(件),商场可盈利60×(140-120)=1 200(元).
(2)设每件商品的售价应定为x元,
由题意得[70-(x-130)×1]×(x-120)=1 500,
解得x1=150,x2=170.
∵70-(150-130)×1=50>40, 70-(170-130)×1=30<40,∴x=150.
故每件商品的售价定为150元时,每天可盈利1 500元.
22.解析　设两动点的运动时间为t s.
(1)根据题意,得BP=6-2t,CQ=t,长方形的面积是6×2=12,则(t+6-2t)×2=12×,解得t=.
(2)分情况讨论:①当0综上,当t=或时,点P与点Q之间的距离为.
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