2024沪科版数学八年级下学期--第19章《四边形》素养综合检测（含解析）

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2024沪科版数学八年级下学期
第19章　四边形
第19章　素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2023广西贵港期末)已知正多边形的每个内角都等于150°,若用这种正多边形与下列正多边形不重叠又无缝隙拼接,需与下列选项中哪个正多边形组合(　　)
A.正四边形　　B.正六边形　　
C.正八边形　　D.正三角形
2.【方程思想】一个正多边形每个内角和与它相邻外角的度数比为2∶1,则这个正多边形是(　　)
A.正五边形　　B.正六边形　　
C.正七边形　　D.正八边形
3.【新独家原创】如图,EF是△ABC的中位线,BD平分∠ABC交EF于点D,若BC=8,DF=1,则边AB的长为(　　)
A.9　　B.8　　C.7　　D.6
4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=60°,BD=6,则AB的长为(　　)
A.4　　B.4　　C.3　　D.5
5.(2023甘肃兰州中考)如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,F为CE的中点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG=(　　)
A.2　　B.2.5　　C.3　　D.3.5
6.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD相交于点O,则下列结论中错误的是(　　)
A.当AB=BC时,它是菱形
B.当∠ABC=90°时,它是正方形
C.当AC=BD时,它是矩形
D.当AC⊥BD时,它是菱形
7.如图,菱形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OH=1,则菱形ABCD的面积为(　　)
A.2　　B.　　C.2　　D.4
8.(2023湖北十堰中考)如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化,下面判断错误的是(　　)
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
9.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边CD,BC上的动点,连接AE,EF,G,H分别为AE,EF的中点,连接GH.若∠B=45°,BC=2,则GH的最小值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
10.如图,在正方形ABCD的对角线AC上取一点E,使得∠CDE=15°,连接BE并延长BE到F,使CF=CB,BF与CD相交于点H,若AB=1,有下列结论:①BE=DE;②CE+DE=EF;③S△DEC=-.其中正确的结论为(　　)
A.①②　　B.①③
C.②③　　D.①②③
二、填空题(每小题3分,共12分)
11.【方程思想】一个正多边形中,一个内角的度数是与它相邻的外角的度数的3倍,则这个正多边形的每一个外角的度数为　　　　.
12.(2023安徽淮南凤台期中)在平行四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,则∠A=　　　　.
13.【构造辅助线】如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB,垂足为点E,点F、G分别为边AD、DC的中点,连接FG,若EF=6.5,FG=12,则菱形ABCD的面积为　　　　.
14.如图,已知正方形ABCD中,点E、F分别是边AB、BC的中点,连接EC、DF,CE、DF相交于点O,解决下列问题:
(1)∠COF=　　　　°;
(2)如果点G、H分别是EC、DF的中点,连接GH,若 AB=4,则GH的长度为　　　　.
三、解答题(共58分)
15.【方程思想】(6分)已知一个多边形的边数为n,每个内角都相等.
(1)若这个多边形的内角和的比外角和多90°,求n的值;
(2)若这个多边形的一个内角为108°,求n的值.
16.(2023四川广安中考)(6分)如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形.
17.【新考法】(2023湖南岳阳中考)(6分)如图,点M在 ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个选项中:①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4,选择一个合适的选项作为已知条件,使 ABCD为矩形.
(1)你添加的条件是　　　　(填序号);
(2)添加条件后,请证明 ABCD为矩形.
18.(2023湖南永州中考)(6分)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5.
(1)△AOB是直角三角形吗 请说明理由.
(2)求证:四边形ABCD是菱形.
19.(8分)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC和CD上,AE=AF,∠EAF=60°.
(1)求证:△ABE≌△ADF;
(2)若正方形的边长为2,求线段CE的长.
20.(2022四川南充中考)(8分)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.
求证:(1)△ADE≌△CDF;
(2)ME=NF.
21.(2022北京日坛中学期中)(8分)如图,菱形ABCD的对角线相交于O点,DE∥AC,CE∥BD,DE与CE交于点E.
(1)求证:四边形OCED是矩形;
(2)若AD=5,BD=8,求DE的长.
22.(2022安徽中考)(10分)已知四边形ABCD中,BC=CD,连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接DE.
(1)如图1,若DE∥BC,求证:四边形BCDE是菱形;
(2)如图2,连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC.
①求∠CED的度数;
②若AF=AE,求证:BE=CF.
图1
图2
第19章　四边形
第19章　素养综合检测
答案全解全析
1.D　∵正四边形的每个内角为90°,不能用整数个90°和150°的角构成360°的角,∴选项A不符合题意;∵正六边形的每个内角为(6-2)·180°÷6=120°,不能用整数个120°和150°的角构成360°的角,∴选项B不符合题意;∵正八边形的每个内角为(8-2)·180°÷8=135°,不能用整数个135°和150°的角构成360°的角,∴选项C不符合题意;∵正三角形的每个内角为60°,2×150°+60°=360°,∴选项D符合题意.
2.B　∵一个正多边形每个内角和与它相邻外角的度数比为2∶1,∴设外角是x°,则内角是2x°,根据题意得x°+2x°=180°,解得x=60,∴360°÷60°=6,则该正多边形为正六边形.
3.D　∵EF是△ABC的中位线,∴EF=BC=4,EF∥BC,∴DE=EF-DF=4-1=3,∠EDB=∠DBC.∵BD平分∠EBC,∴∠EBD=∠DBC,∴∠EDB=∠EBD,∴BE=ED=3,∴AB=2BE=6.
4.C　∵四边形ABCD是矩形,∴OA=AC,OB=BD=3,AC=BD=6,∴OA=OB.∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OB=3.
5.C　∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABC=∠BAD=90°.在Rt△BCE中,点F为斜边CE的中点,∴BF=CE=5,∴BG=BF=5.在Rt△ABG中,AB=4,BG=5,由勾股定理得AG==3.
6.B　邻边相等的平行四边形是菱形,故选项A正确;当∠ABC=90°时,可以得到平行四边形ABCD是矩形,不能得到正方形,故选项B错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故选项C正确;对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故选项D正确.
7.C　∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.∵DH⊥AB,∴∠BHD=90°,∴BD=2OH.∵OH=1,∴BD=2,∴OB=1.∵菱形ABCD的边长为2,∴OA===,∴AC=2OA=2,∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×2×2=2.
8.C　向左扭动矩形框架ABCD,只改变四边形的形状,四边形变成平行四边形,选项A不符合题意;此时对角线BD的长减小,对角线AC的长增大,选项B不符合题意;BC边上的高减小,故面积变小,选项C符合题意;四边形的四条边的长度不变,故周长不变,选项D不符合题意.故选C.
9.D　连接AF,如图,
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=2.∵G,H分别为AE,EF的中点,∴GH是△AEF的中位线,∴GH=AF.当AF⊥BC时,AF的长最小,此时GH的长取到最小值,∠AFB=90°.∵∠B=45°,∴△ABF是等腰直角三角形,∴AF=AB=×2=,∴GH=,即GH的最小值为.
10.D　①∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°.在△ABE和△ADE中,
∴△ABE≌△ADE(SAS),∴BE=DE,故①正确.
②在EF上取一点G,使EG=EC,连接CG,如图,
∵△ABE≌△ADE,∴∠ABE=∠ADE,
∴∠CBE=∠CDE.∵BC=CF,∴∠CBE=∠F,
∵∠CDE=15°,∴∠CBE=∠CDE=∠F=15°.
∴∠CEG=∠CBE+∠ACB=15°+45°=60°.
∵CE=GE,∴△CEG是等边三角形,
∴∠CGE=60°,CE=GC,
∴∠GCF=∠CGE-∠F=60°-15°=45°,
∴∠ECD=∠GCF.
∵CB=CF,BC=CD,∴CF=CD,
在△DEC和△FGC中,
∴△DEC≌△FGC(SAS),∴DE=GF.
∵EF=EG+GF,∴EF=CE+DE,故②正确.
③如图,过D作DM⊥AC于M,根据勾股定理得AC=,由面积公式得S△ADC=AD·DC=AC·DM,∴DM=.在Rt△DCM中,∠DCA=45°,∴△CDM是等腰直角三角形,∴CM=DM=,在Rt△MDE中,∠AED=∠CDE+∠DCA=60°,∴∠MDE=30°,∴DE=2ME,由勾股定理可推得EM=DM,∴EM=,∴CE=CM-EM=-,∴S△DEC=CE·DM=-,故③正确.
11.答案　45°
解析　设这个外角为x°,则与它相邻的内角为3x°,根据题意得x°+3x°=180°,解得x=45.∵该多边形是正多边形,∴这个多边形的每一个外角都是45°.
12.答案　90°
解析　∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A+∠B=180°,∠B=∠D.∵∠B+∠D=180°,∴∠B=90°,∴∠A=180°-∠B=90°.
13.答案　120
解析　连接AC,BD,AC和BD相交于点O,如图,∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.∵点F为AD的中点,EF=6.5,∴AD=2EF=13.∵FG=12,点F、G分别为边AD、DC的中点,∴AC=2FG=24.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=AC=12,OB=OD,∴OD===5,∴BD=10,∴S菱形ABCD===120.
14.答案　(1)90　(2)
解析　(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD,∠B=∠DCF=90°,
∵E、F分别是AB、BC的中点,
∴BE=CF,∴△CBE≌△DCF(SAS),
∴∠BCE=∠CDF.
又∵∠DCE+∠BCE=90°,
∴∠CDF+∠DCE=∠DCE+∠BCE=90°,
∴∠COD=90°,∴∠COF=90°.
(2)连接CH并延长交AD于P,连接PE,如图,
∵四边形ABCD是正方形,AB=4,
∴∠A=90°,AD∥BC,AB=AD=BC=4.
∵E、F分别是边AB、BC的中点,
∴AE=CF=×4=2.
∵AD∥BC,∴∠DPH=∠FCH.
∵H为DF的中点,∴DH=FH.
在△PDH和△CFH中,
∴△PDH≌△CFH(AAS),∴PH=HC,PD=CF=2,
∴AP=AD-PD=2,∴PE==2.
∵点G是EC的中点,
∴GH是△PEC的中位线,∴GH=PE=.
15.解析　(1)依题意,得(n-2)·180°×=360°+90°,
解得n=12,即n的值为12.
(2)∵这个多边形的每个内角都相等,
∴这个多边形的每个外角都相等.
∵多边形的一个内角为108°,
∴这个多边形的一个外角为72°.
∵多边形的外角和为360°,
∴n==5,即n的值为5.
16.证明　∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF.
∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠AEB=∠CFD=90°,
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA),∴AB=CD,
∵∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
17.解析　(1)①.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC,∴∠A+∠D=180°.
在△ABM和△DCM中,
∴△ABM≌△DCM(SAS),
∴∠A=∠D=90°,∴ ABCD为矩形.
18.解析　(1)△AOB是直角三角形.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,BD=8,
∴OB=OD=BD=4.
∵OA=3,AB=5,∴OA2+OB2=AB2,
∴△AOB是直角三角形.
(2)证明:由(1)可知∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形.
19.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠D=90°,AB=AD.
在Rt△ABE和Rt△ADF中,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL).
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD=2,∠BAD=90°.
∵Rt△ABE≌Rt△ADF,∴∠BAE=∠DAF,BE=DF.
∵BC=CD,∴CE=CF,
∵∠EAF=60°,∴∠BAE+∠DAF=30°,∴∠DAF=15°.
在AD上取一点G,使∠GFA=∠DAF=15°,如图,
∴AG=FG,∠DGF=30°,
∴DF=FG=AG,∴DG==DF,
设DF=x,则DG=x,AG=FG=2x,
∵AG+DG=AD,∴2x+x=2,
解得x=4-2,即DF=4-2,
∴CE=CF=CD-DF=2-(4-2)=2-2.
20.证明　(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴DA=DC,∠DAE=∠DCF,AB=CB.
∵BE=BF,∴AE=CF.
在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF(SAS).
(2)由(1)知△ADE≌△CDF,
∴∠ADM=∠CDN,DE=DF.
∵四边形ABCD是菱形,∴∠DAM=∠DCN,
∴∠DMN=∠DNM,∴DM=DN,
∴DE-DM=DF-DN,即ME=NF.
21.解析　(1)证明:∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
∴∠DOC=90°,∴四边形OCED是矩形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,BD=8,AD=5,
∴OD=BD=4,AC⊥BD,CD=AD=5.
∴OC==3.
∵四边形OCED是矩形,∴DE=OC=3.
22.解析　(1)证明:如图,设CE与BD的交点为O,
∵CB=CD,CE⊥BD,∴DO=BO.
∵DE∥BC,∴∠DEO=∠BCO.
∵∠DOE=∠BOC,∴△DOE≌△BOC(AAS),
∴DE=BC,∴四边形BCDE是平行四边形.
∵CD=CB,∴平行四边形BCDE是菱形.
(2)①∵DE垂直平分AC,∴AE=EC且DE⊥AC,
∴∠AED=∠CED.
又∵CD=CB且CE⊥BD,∴CE垂直平分BD,
∴DE=BE,∴∠DEC=∠BEC,
∴∠AED=∠CED=∠BEC.
又∵∠AED+∠CED+∠BEC=180°,
∴∠CED=∠AED=∠BEC=×180°=60°.
②证明:由①得AE=EC,∴∠ACE=∠EAC,
∵∠AEC=∠AED+∠CED=120°,
∴∠ACE==30°.
同理可得,在等腰△DEB中,∠EBD==30°,
∴∠ACE=∠ABF.
在△ACE与△ABF中,
∴△ACE≌△ABF(AAS),∴AC=AB.又∵AE=AF,∴AB-AE=AC-AF,即BE=CF.
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