2024冀教版数学八年级下学期--专项素养综合全练(六)一次函数与方案设计问题（含解析）

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2024冀教版数学八年级下学期
专项素养综合全练(六)
一次函数与方案设计问题
类型一　租车问题
1.(2023福建厦门模拟)小厦的叔叔拟到甲、乙两家出租车公司应聘司机岗位,他了解到两家公司虽然薪资计算方式不同,但每月都需支付租车费3 000元(即司机月收入=月薪资-租车费).为了帮叔叔更合理地做出选择,小厦主动承担调研任务.
甲公司月薪资w(单位:元)与月载客里程数s(单位:千米)具有一定的变化规律.小厦随机调查了甲公司五位司机五月份的薪资,记录如下:
月载客里程 数s/千米 5 000 5 500 6 000 6 500 7 000
月薪资w/元 8 000 8 800 9 600 10 400 11 200
乙公司根据月载客里程数发放月薪资,当月载客里程数不超过5 500千米时,每千米薪资为1.5元;当月载客里程数超过5 500千米时,超过的部分为每千米1.8元.
(1)设甲公司司机月收入为p(单位:元),根据上表,求p与s的关系式.
(2)如图所示的是甲、乙两公司所有司机五月份载客里程数统计图.若以五月份的月平均收入为依据,请利用所学知识给叔叔提供建议,并说明理由(请从平均薪资方面进行解答,每组数据选取中间值作为代表).
类型二　购买方案问题
(2023云南中考)蓝天白云下,青山绿水间,支一顶帐篷,邀亲朋好友,听蝉鸣,闻清风,话家常,好不惬意.某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神,需要购买A、B两种型号的帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶,则需5 200元;若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶,则需
2 800元.
(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格.
(2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买),购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的,为使购买帐篷的总费用最低,应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶 购买帐篷的总费用最低为多少元
3.(2023河南平顶山模拟)某中学为弘扬中国传统文化,深度开展“读名著,诵经典”活动,计划采购A,B两种图书.通过市场调研发现,每套A种图书的价格是每套B种图书价格的1.5倍,用2 400元购买的B种图书数量比用3 000元购买的A种图书多5套.
(1)A,B两种图书每套价格分别为多少元
(2)现学校计划采购A,B两种图书共90套,且A种图书数量不低于B种图书数量的一半,请你用函数的知识说明,如何采购能使总费用最低,并求出费用最低时的购买方案.
类型三　生产方案问题
4.(2023湖北恩施州一模)因“课后延时服务”的实施,多地中小学开设体育兴趣班,乒乓球拍的需求激增.某厂家紧急生产A,B两种型号乒乓球拍,若生产10个A型号和20个B型号乒乓球拍,共需成本2 200元;若生产20个A型号和30个B型号乒乓球拍,共需成本3 600元.
(1)求每个A,B型号乒乓球拍的生产成本分别是多少元.
(2)经测算,A型号乒乓球拍每个可获利28元,B型号乒乓球拍每个可获利40元,该厂家准备用5.2万元资金生产这两种型号乒乓球拍,总获利w元,设生产了A型号乒乓球拍a个,且要求生产A型号乒乓球拍的数量不少于B型号乒乓球拍数量的3倍,请你设计出总获利最大的生产方案,并求出最大总获利.
类型四　利润方案问题
5.(2023福建厦门模拟)“双减”政策颁布后,学校开展了延时服务,并增加体育锻炼时间.某体育用品商店抓住商机,购进一批乒乓球拍和羽毛球拍进行销售,其进价和售价如下表所示.
进价 售价
乒乓球拍(元/套) 35 a
羽毛球拍(元/套) 40 b
某班甲体育小组购买2套乒乓球拍和1套羽毛球拍共花费160元,乙体育小组购买1套乒乓球拍和2套羽毛球拍共花费170元.
(1)求出a,b的值.
(2)根据销售情况,商店决定再次购进300套球拍,且购进的乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半.若这批球拍的进价和售价均不变,且能够全部售完,如何购买才能获利最大
6.(2023陕西西安模拟)近年来,我国着力促进教育公平,提升教育质量,加快推进教育现代化,建设教育强国,办好人民满意的教育,教育数字化工作持续推进、成果丰硕.在教育数字化进程中,多媒体的作用不可小觑.某教育科技公司销售A,B两种多媒体教学设备,这两种多媒体设备的进价与售价如表所示:
A B
进价(万元/套) 3 2.4
售价(万元/套) 3.3 2.8
该教育科技公司计划购进A,B两种多媒体设备共50套,设购进A种多媒体设备x套,利润为y万元.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)若公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍,且该公司把购进的两种多媒体设备全部售出,求购进A种多媒体设备多少套,能获得最大利润,最大利润是多少万元.
答案全解全析
1.解析　(1)由表格可知月载客里程数每增加500千米,月薪资增加800元,则设w=ks+b(k≠0),把s=5 000,w=8 000和s=6 000,w=9 600代入,得∴w=1.6s,
∴p=1.6s-3 000.
(2)甲公司.理由:
设乙公司司机月收入为q(单位:元).
当s≤5 500时,q=1.5s-3 000,
当s>5 500时,q=1.5×5 500+1.8×(s-5 500)-3 000=1.8s-4 650,
由统计图可知,
甲公司司机五月份载客平均里程为5 000×10%+6 000×35%+
7 000×35%+8 000×20%=6 650(千米),
乙公司司机五月份载客平均里程为5 000×20%+6 000×25%+
7 000×30%+8 000×25%=6 600(千米),
∴甲公司五月份司机的平均收入p=1.6×6 650-3 000=7 640(元),
乙公司五月份司机的平均收入q=1.8×6 600-4 650=7 230(元),
∵7 640>7 230,
∴甲公司的平均收入高一些,建议叔叔选择甲公司.
2.解析　(1)设每顶A种型号帐篷m元,每顶B种型号帐篷n元,
根据题意得
∴每顶A种型号帐篷600元,每顶B种型号帐篷1 000元.
(2)设购买A种型号帐篷x顶,总费用为w元,则购买B种型号帐篷(20-x)顶,
∵购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的,
∴x≤(20-x),解得x≤5.
根据题意得w=600x+1 000(20-x)=-400x+20 000,
∵-400<0,∴w随x的增大而减小,
∴当x=5时,w取最小值,最小值为-400×5+20 000=18 000(元),
∴20-x=20-5=15.
答:购买A种型号帐篷5顶,购买B种型号帐篷15顶,此时总费用最低,最低总费用为18 000元.
3.解析　(1)设B种图书每套x元,则A种图书每套1.5x元,
根据题意得=5,解得x=80,
经检验,x=80是原方程的解,1.5x=120.
答:A种图书每套120元,B种图书每套80元.
(2)设学校购买A种图书a套,购买图书的总费用为y元,则购买B种图书(90-a)套,
由题意得y=120a+80(90-a)=40a+7 200,
∵40>0,∴y随a的增大而增大.
∵A种图书数量不低于B种图书数量的一半,
∴a≥(90-a),解得a≥30,
∴当a=30时,y有最小值,最小值为8 400,
90-30=60.
答:学校购买A种图书30套,购买B种图书60套时,总费用最低,最低费用为8 400元.
4.解析　(1)设每个A,B型号乒乓球拍的生产成本分别为x元,y元,
由题意得
答:每个A,B型号乒乓球拍的生产成本分别为60元,80元.
(2)∵生产了A型号乒乓球拍a个,∴生产了B型号乒乓球拍个.
∵要求生产A型号乒乓球拍的数量不少于B型号乒乓球拍数量的3倍,
∴a≥3×,解得a≥600.
∵A型号乒乓球拍每个可获利28元,B型号乒乓球拍每个可获利40元,
∴w=28a+40×=-2a+26 000,
∵-2<0,∴w随a的增大而减小,
∴当a=600时,w最大,最大为-2×600+26 000=24 800,=200,
∴当生产A型号乒乓球拍600个,生产B型号乒乓球拍200个时,总获利最大,最大为24 800元.
5.解析　(1)根据题意得
解得
答:a,b的值分别是50,60.
(2)设购进乒乓球拍x套,总利润为y元,则购进羽毛球拍(300-x)套,由题意得x≥(300-x),解得x≥100.
y=(50-35)x+(60-40)(300-x)
=-5x+6 000,
∵-5<0,∴y随x的增大而减小,
∴当x=100时,y最大,最大值为-5×100+6 000=5 500,300-x=200.
答:购进乒乓球拍100套,羽毛球拍200套时,获利最大,最大利润为5 500元.
6.解析　(1)购进A种多媒体设备x套,则购进B种多媒体设备(50-x)套,
由题意可得y=(3.3-3)x+(2.8-2.4)×(50-x),
整理得y=-0.1x+20,
∴y与x之间的函数关系式为y=-0.1x+20.
(2)由题意可得4x≥50-x,解得x≥10.
在y=-0.1x+20中,k=-0.1<0,
∴y随x的增大而减小,
∴当x=10时,y取得最大值,最大值为-0.1×10+20=19.
答:购进A种多媒体设备10套,能获得最大利润,最大利润是19万元.
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