2024青岛版数学八年级下学期--专项素养综合全练（三）勾股定理在折叠问题中的运用（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024青岛版数学八年级下学期
专项素养综合全练(三)
勾股定理在折叠问题中的运用
类型一　三角形中的折叠问题
1.(2023山东菏泽定陶期中)如图,有一块直角三角形纸片,直角边AB=
6,BC=8,将△ABC折叠,使AB落在斜边AC上,点B的对应点为点E,折痕为AD,则BD的长为(　　)
A.6　　　B.5　　　C.4　　　D.3
2.(2023安徽合肥四十七中期中改编)如图,Rt△ABC纸片中,∠C=90°,AC=6,
BC=8,点D在边BC上,沿AD所在直线将△ABD折叠得到△AB'D,AD为折痕,AB'与边BC交于点E.若∠DEB'=90°,则BD的长是(　　)
A.2　　　B.3　　　
C.5　　　D.4
第2题图 第3题图
3.(2023山东菏泽巨野期中)如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=6,将△ABC折叠,使点C与AB的中点D重合,折痕交AC于点M,交BC于点N,则线段CN的长为　　　　.
类型二　四边形中的折叠问题
4.(2022山东济南长清期末)如图1,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF.如图2,展开后再折叠一次,使点C与点E重合,折痕为GH,点B的对应点为点M,EM交AB于N,AD=4,则CH的长为(　　)
　
A.　　　B.　　　C.　　　D.
5.(2023山东菏泽定陶期中)如图,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿直线AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,则DE的长为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.(2023湖北荆州公安期中)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B'处,当△B'CE为直角三角形时,CE的长为(　　)
A.2或6　　　B.3或6　　　C.2或5　　　D.3或5
答案全解全析
1.D　∵△ABC为直角三角形,AB=6,BC=8,
∴根据勾股定理,得AC==10.
设BD=x,由折叠可知ED=BD=x,AE=AB=6,
∴CE=AC-AE=10-6=4,CD=BC-BD=8-x,
在Rt△CDE中,根据勾股定理,得CD2=CE2+DE2,
即(8-x)2=42+x2,解得x=3,∴BD=3.
方法解读　利用勾股定理在折叠问题中求线段的长的思路:(1)在折叠问题中注意对应点、对应线段之间的位置关系、大小关系;(2)寻找或构建直角三角形;(3)利用勾股定理直接计算或列方程求解.
2.C　在Rt△ABC纸片中,∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB=10.
∵沿AD所在直线,将△ABD折叠得到△AB'D,
∴BD=DB',AB'=AB=10.
如图所示,当∠B'ED=90°时,C与E重合.
∵AB'=10,AC=6,∴B'E=4.
设BD=DB'=x,则ED=8-x.
在Rt△B'DE中,DB'2=DE2+B'E2,即x2=(8-x)2+42,
解得x=5,∴BD=5.
3.答案　
解析　∵D是AB的中点,AB=4,∴AD=BD=2.
∵将△ABC折叠,使点C与AB的中点D重合,
∴DN=CN.
设DN=CN=x,∴BN=BC-CN=6-x.
在Rt△DBN中,由勾股定理,得DN2=BN2+DB2,
∴x2=(6-x)2+22,解得x=,∴CN=.
4.A　设DH=x,则CH=4-x,
由翻折的性质,得DE=AD=2,EH=CH=4-x.
在Rt△DEH中,DE2+DH2=EH2,
即22+x2=(4-x)2,解得x=,∴CH=4-x=,故选A.
5.B　∵四边形ABCD为矩形,
∴AD=BC=5,AB=CD=3,∠B=∠C=90°.
∵矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的F处,
∴AF=AD=5,EF=DE.
在Rt△ABF中,由勾股定理,得BF===4,
∴CF=BC-BF=5-4=1.设CE=x,则EF=DE=3-x,
在Rt△ECF中,∵CE2+FC2=EF2,
∴x2+12=(3-x)2,解得x=,∴DE=3-x=.
6.C　由折叠可知,∠AB'E=∠ABE=90°,AB'=AB=6,EB'=EB,
根据题意,当△B'EC为直角三角形时,有两种情况:
①若∠EB'C=90°,则∠AB'E+∠EB'C=180°,此时点B'、A、C在一条直线上,如图1所示.
在Rt△ABC中,AB=6,BC=AD=8,∴AC==10.∴CB'=10-6=4.设BE=x,则EB'=x,CE=8-x,在Rt△CEB'中,∵B'E2+B'C2=CE2,∴x2+42=(8-x)2,解得x=3,∴BE=3,
∴CE=BC-BE=8-3=5.
②若∠B'EC=90°,易知点B'落在AD边上,如图2所示,
此时四边形ABEB'为正方形,∴BE=AB=6,∴CE=BC-BE=8-6=2.
综上所述,CE的长为5或2.
　
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)