2024青岛版数学八年级下学期--专项素养综合全练（四）勾股定理的五种常见模型（含解析）

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2024青岛版数学八年级下学期
专项素养综合全练(四)
勾股定理的五种常见模型
模型一　“勾股树”模型
1.【教材变式·P47T8】(2023山东潍坊寿光期中)如图所示的是一棵美丽的“勾股树”,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是(　　)
A.10　　　B.13　　　C.15　　　D.26
2.【教材变式·P48T9】(2023湖南长沙浏阳期中)在直线l上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=(　　)
A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.7
3.有一个边长为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上“生出”两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形.再经过一次“生长”后,变成了如图所示的图形,如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,则“生长”了2 024次后形成的图形中所有正方形的面积之和为(　　)
A.2 022　　　B.2 023　　　
C.2 024　　　D.2 025
模型二　赵爽弦图模型
4.(2023山东潍坊昌乐期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=24,大正方形的面积为129,则小正方形的边长为　(　　)
A.9　　　B.10　　　C.11　　　D.12
5.(2023湖南长沙长郡教育集团期中)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形,若大正方形的面积是41,小正方形的面积是1,设直角三角形较长的直角边长为b,较短的直角边长为a,则a+b的值是　　　　.
6.(2023山东潍坊诸城期中)阅读材料,解决问题:
我国古代数学家赵爽创造了一个“弦图”,利用面积法给出了勾股定理的证明,实际上,该“弦图”与完全平方公式有密切关系.如图,这是由8个全等的直角边长分别为a,b,斜边长为c的三角形拼成的“弦图”.
(1)正方形ABCD的面积可表示为　　　　,正方形PQMN的面积可表示为　　　　.(用含a,b的式子表示)
(2)用面积法说明(a+b)2,ab,(a-b)2三者之间的等量关系.
(3)已知a+b=7,ab=5,求正方形EFGH的面积.
模型三　风吹树折模型
7.(2023云南昆明期中)如图,一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m的B处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m的A处,则旗杆折断部分AB的长度是(　　)
A.5 m　　　B.12 m　　　C.13 m　　　D.18 m
8.(2023湖南长沙明德教育集团期中)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去根三尺,问折者高几何 ”翻译成数学问题:如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10尺,BC=3尺,求AC的长.
模型四　出水芙蓉模型
9.(2023湖北武汉武珞路中学期中)如图,有一个水池,水面是边长为1米的正方形,在水池中央有一根芦苇,它高出水面0.1米,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面,这根芦苇的长度是(　　)
A.1.1米　　　B.1.2米　　　C.1.3米　　　D.1.4米
　　　
模型五　最短路径模型(蚂蚁爬行模型)
10.(2023湖北武汉东西湖期中)如图,圆柱的底面周长为32 cm,高为24 cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰(点B在点A的正上方),则这条丝线的最小长度为(　　)
A.30 cm　　　B.40 cm　　　C.50 cm　　　D.60 cm
11.(2023安徽合肥期中)如图,一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20、3、2,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是　　　　.
　
12.(2023四川广安中考)如图,圆柱形玻璃杯的高为9 cm,底面周长为16 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,离杯上沿1 cm,且与蜂蜜相对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为　　　　cm.(杯壁厚度不计)
答案全解全析
1.B　设正方形M、N的边长分别为x、y,最大正方形E的边长为z,由勾股定理,得x2=3+5=8,y2=2+3=5,z2=x2+y2=13,所以最大正方形E的面积为z2=13.故选B.
方法解读　“勾股树”模型要满足条件:①直角三角形;②以直角三角形三边为边向外作正方形.使用时,常用勾股定理及面积公式解决面积关系、线段长度的问题.
2.A　由题易知:S1+S2=1,S2+S3=2,S3+S4=3,∴S1+S2+S3+S4=4,故选A.
3.D　如图,由题意得,正方形A的面积为1,由勾股定理得,正方形B的面积+正方形C的面积=1,∴“生长”了1次后形成的图形中所有正方形的面积和为2.同理,“生长”了2次后形成的图形中所有正方形的面积和为3,“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4,……,∴“生长”了2 024次后形成的图形中所有正方形的面积和为
2 025.
4.A　由题意知小正方形的边长是a-b,由勾股定理,得a2+b2=129.∵(ab)2=a2+
b2-2ab=129-2×24=81,∵a>b,∴a-b=9,∴小正方形的边长为9.
方法解读　四个全等的直角三角形和一个小正方形构成一个大正方形(赵爽弦图模型).解决赵爽弦图中的线段问题和面积问题时,常常利用勾股定理和三角形全等的性质.
5.答案　9
解析　∵大正方形的面积是41,小正方形的面积是1,
∴一个直角三角形的面积为×(41-1)=10,斜边长为.∴ab=10,a2+b2=()2=41,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=41+4×10=81,
∵a+b>0,∴a+b=9.
6.解析　(1)(a+b)2;(a-b)2.
(2)∵正方形ABCD的面积=正方形MNPQ的面积+一个直角三角形的面积×8,∴(a+b)2=(a-b)2+ab·8,∴(a+b)2=(a-b)2+4ab.
(3)∵正方形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-一个直角三角形的面积×4,∴正方形EFGH的面积=(a+b)2-ab×4=(a+b)2-2ab=72-2×5=39.
7.C　在Rt△ABC中,BC=5 m,AC=12 m,
根据勾股定理,得AB===13(m),
即旗杆折断部分AB的长度是13 m.
8.解析　设AC=x尺,∵AC+AB=10尺,∴AB=(10-x)尺.
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,
即x2+32=(10-x)2,解得x=4.55,
故AC的长为4.55尺.
9.C　设水深为x米,则芦苇长为(x+0.1)米.
在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AB2+AC2=BC2,
即x2+=(x+0.1)2,解得x=1.2,
所以x+0.1=1.3,
即芦苇长为1.3米.
10.B　如图,沿AB把圆柱的侧面展开,得到矩形ACBD,则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰,这条丝线的最小长度是矩形的对角线AB的长.
在Rt△ABC中,∵AC=32 cm,BC=24 cm,
∴AB====40(cm),
即这条丝线的最小长度为40 cm.
11.答案　25
解析　如图,将三级台阶面展平,得到一个矩形,矩形的长为20,宽为(2+3)×3=15,∴蚂蚁沿台阶面从A点爬行到B点,最短路程是矩形的对角线长.
由勾股定理,得AB==25,
∴蚂蚁沿台阶面从A点爬行到B点的最短路程是25.
12.答案　10
解析　如图,将杯子侧面展开(展开一半),作B关于EF的对称点B',过B'作B'D⊥AE,交AE的延长线于点D,连接B'A,则B'A的长即为蚂蚁所爬行的最短路程.
在Rt△B'DA中,B'D=×16=8(cm),AD=9+1-4=6(cm),
由勾股定理,得B'A===10(cm),
即蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为10 cm.
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