2024青岛版数学八年级下学期--期末素养综合测试(二)（含解析）

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2024青岛版数学八年级下学期
期末素养综合测试(二)
满分120分,限时100分钟
一、单项选择题(每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,选对得3分,选错、不选或多选均记0分)
1.(2023四川内江中考)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
　　　 　　　 　　　
A B C D
2.(2023山东潍坊寿光期末)下列各式正确的是(　　)
A.=　　 　B.-=
C.(+1)2=3+　　　D.÷=3
3.(2022山东聊城冠县期末)如图,数轴上A、B两点分别表示实数a、b,则下列结论正确的是(　　)
A.a+b>0　　　B.ab>0　　　C.-<0　　　D.+>0
4.如图,有一个数值转换器,当输入x的值为81时,输出y的值是(　　)
A.3　　　B.　　　C.　　　D.9
5.(2022四川雅安中考)在平面直角坐标系中,点(a+2,2)关于原点的对称点的坐标为(4,-b),则ab的值为　(　　)
A.-4　　　B.4　　　C.12　　　D.-12
6.(2023山东菏泽单县期末)若关于x的一次函数y=(k-2)x+3,y随x的增大而减小,且关于x的不等式组无解,则符合条件的所有整数k的值之和是(　　)
A.-2　　　B.-1　　　C.0　　　D.1
7.【新考向·新定义试题】(2023安徽合肥瑶海期中)已知max{,x2,x}(x>0)表示取三个数中最大的那个数,例如:当x=9时,max{,x2,x}=max{,92,9}=81.当max{,x2,x}=时,x的值为(　　)
A.-　　　B.　　　C.　　　D.
8.(2023山东聊城东昌府期中)如图,在△ABC中,AB=13,BC=12,点D,E分别是AB,BC的中点,连接DE,CD,如果DE=2.5,那么△ACD的周长是(　　)
A.15　　　B.16　　　C.17　　　D.18
二、多项选择题(每小题3分,共12分.在每小题给出的四个选项中,有多项是正确的,全部选对得3分,部分选对得2分,选错或不选得0分)
9.【新独家原创】下列说法:①有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应;②0.3,0.4,0.5是一组勾股数组;③的平方根是±4;④某数的绝对值,相反数,算术平方根都是它本身,则这个数是0.其中错误的是(　　)
A.①　　　B.②　　　C.③　　　D.④
10.(2023山东潍坊高密期末)如图所示,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,再添加一个条件,能证明四边形AECF是平行四边形,则添加的条件可以是(　　)
A.BE=DF　　　 B.∠B=∠D
C.∠BAE=∠DCF　　　D.AE=CF
11.(2023山东潍坊临朐期末)如图,若直线l1:y1=kx+b与坐标轴交于A(0,1),B(m,0)两点,与直线l2:y2=-2x+5交于点P(1.5,n),直线l2交x轴于点C,交y轴于点D.则下列结论正确的是　(　　)
A.m=-,n=2
B.的解是
C.△APD的面积是3
D.当y1>y2时,x<1.5
　
12.(2023山东淄博张店期末改编)如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等,OA1交AB于点E(不与A、B重合),OC1交BC于点F(不与B、C重合),连接EF.给出如下四个结论:①∠OEF=45°;②正方形A1B1C1O绕点O旋转时,四边形OEBF的面积随EF的长度变化而变化;③△BEF周长的最小值为(1+)OA;④AE2+CF2=2OB2.其中正确的结论是(　　)
A.①　　　B.②　　　C.③　　　D.④
三、填空题(每小题3分,共12分,只写最后结果)
13.(2023山东东营中考)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为　　　　km.
14.(2023山东菏泽中考)如图,点E是正方形ABCD内的一点,将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△CBF.若∠ABE=55°,则∠EGC=　　　　度.
15.(2023甘肃武威中考)如图,菱形ABCD中,∠DAB=60°,BE⊥AB,DF⊥CD,垂足分别为B,D,若AB=6,则EF=　　　　.
　
16.【山东常考·最值问题】(2023安徽合肥瑶海期中)如图,等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D为BC的中点,若P为AB上一个动点,则PC+PD的最小值为　　　　.
四、解答题(共72分,请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(2022山东潍坊寒亭期末)(9分)
(1)计算:÷2.
(2)计算:(2+)(2-)(1+)2.
(3)解不等式组并将不等式组的解集在数轴上表示出来.
18.(2023山西太原期中)(8分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3).
(1)画出△ABC经过平移后得到的△A1B1C1,已知点C1的坐标为(4,0),写出顶点A1的坐标.
(2)若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称,不画图直接写出顶点B2,C2的坐标.
(3)画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到的△A3B3C3,写出△A3B3C3的顶点A3的坐标.
19.【社会主义先进文化】(2023湖南邵阳中考)(8分)“低碳环保,绿色出行”已成为大家的生活理念,不少人选择骑自行车出行.某公司销售甲、乙两种型号的自行车,其中甲型自行车进货价格为每台500元,乙型自行车进货价格为每台800元.该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车,可获利650元,销售1台甲型自行车和2台乙型自行车,可获利350元.
(1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元
(2)为满足大众需求,该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台,且资金不超过13 000元,最少需要购买甲型自行车多少台
20.(2023山东聊城东阿期末)(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AC的中点,连接DO并延长到E,使OE=OD,连接AE,CE.
(1)判断四边形ADCE的形状,并说明理由.
(2)当∠BAC为多少度时,四边形ADCE是正方形 请说明理由.
21.(2023广西南宁期中)(8分)如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BC=15,CD=12,AD=16.
(1)求BD的长.
(2)求△ABC的面积.
(3)判断△ABC的形状.
22.(2022山东聊城莘县期末)(9分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+4经过点B(-6,0)和点C(m,2),与y轴交于点A,经过点C的另一条直线与y轴的正半轴交于点D(0,1),与x轴交于点E.
(1)求点A的坐标及直线CD的解析式.
(2)求四边形OBCD的面积.
23.(2023山东潍坊坊子期末)(10分)2023年5月17日,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射第五十六颗北斗导航卫星.某航模店看准商机,推出了“火箭”和“卫星”两款模型.该航模店计划购进两种模型共200个,购进“卫星”模型的数量不超过“火箭”模型数量的2倍.已知“卫星”模型的进价为30元/个,“火箭”模型的进价为20元/个,“卫星”模型的售价为45元/个,“火箭”模型的售价为30元/个.
(1)求最多购进“卫星”模型多少个.
(2)求售完这批模型可以获得的最大利润是多少.
(3)如果“卫星”模型的进价上调m元(024.(2022山东潍坊奎文期末)(12分)如图①,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,DE,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点,连接PM,PN.
(1)观察猜想:图①中,线段PM与PN的数量关系是　　　　,位置关系是　　　　.
(2)探究证明:把△ADE绕点A逆时针旋转到图②的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由.
(3)拓展延伸:把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
图① 图②
答案全解全析
一、单项选择题
1.A　
2.D　===,选项A错误;
与-的被开方式不同,不能合并,选项B错误;
(+1)2=()2+2+12=3+2,选项C错误;
÷===3,选项D正确.
3.D　由题图可知,a>0,b<0,|a|<|b|,
所以a+b<0,ab<0,>,>,
所以->0,>-,所以+>0.故选D.
4.C　=9,9是有理数,是无理数,所以y=.
5.D　∵在平面直角坐标系中,点(a+2,2)关于原点的对称点的坐标为(4,-b),
∴a+2=-4,-b=-2,解得a=-6,b=2,
∴ab=-12.
6.C　∵y=(k-2)x+3的函数值y随x的增大而减小,∴k-2<0,解得k<2.解不等式组,得因为不等式组无解,所以-k≤1,所以k≥-1,所以符合条件的所有整数k的值是-1,0,1,其和为0.
7.C　当max{,x2,x}=时,分三种情况考虑.①若=,则x=,此时>x>x2,符合题意;②若x2=,则x=,此时>x>x2,不合题意;③若x=,则>x>x2,不合题意.所以当max{,x2,x}=时,x=.
8.D　∵D,E分别是AB,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴AC=2DE=5,AC∥DE.
在△ABC中,∵AC2+BC2=52+122=169,AB2=132=169,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,∴∠DEB=90°,又∵E是BC的中点,∴直线DE是线段BC的垂直平分线,
∴DC=BD,∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18,故选D.
二、多项选择题
9.BC　有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应,①正确;
虽然0.32+0.42=0.52,但是0.3,0.4,0.5不是正整数,所以0.3,0.4,0.5不是一组勾股数组,②错误;
=4,4的平方根是±2,故的平方根为±2,③错误;
某数的绝对值,相反数,算术平方根都是它本身,则这个数是0,④正确.
10.AC　选项A,当添加条件“BE=DF”时,四边形AECF是平行四边形,理由如下:因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC∥AD,BC=AD.因为BE=DF,所以BC-BE=AD-DF,即CE=AF,又因为CE∥AF,所以四边形AECF是平行四边形;
选项C,当添加条件“∠BAE=∠DCF”时,四边形AECF是平行四边形,理由如下:因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠B=∠D,AD∥BC,因为∠BAE=∠DCF,所以∠AEB=∠CFD.因为AD∥BC,所以∠AEB=∠EAD,所以∠CFD=∠EAD,所以AE∥CF.因为AF∥CE,所以四边形AECF是平行四边形.
当添加条件“∠B=∠D”或“AE=CF”时,不能证明四边形AECF是平行四边形,选项B,D不符合题意.
11.ABC　把点P(1.5,n)代入y2=-2x+5,得n=-3+5=2,∴P(1.5,2).
把A(0,1),P(1.5,2)代入y1=kx+b,得解得∴y1=x+1.
把B(m,0)代入y1=x+1,得0=m+1,解得m=-,∴m=-,n=2,选项A正确;
∵直线y1=kx+b与y2=-2x+5交于点P(1.5,2),
∴方程组的解为选项B正确;
把x=0代入y2=-2x+5,得y2=5,所以D(0,5),因为A(0,1),P(1.5,2),所以AD=4,
所以S△APD=×4×1.5=3,选项C正确;
当y1>y2时,直线y1在直线y2的上方,此时x>1.5,选项D错误.
12.AC　∵四边形ABCD、A1B1C1O是正方形,∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=∠A1OC1=90°,
∴∠BOF+∠COF=90°,∠BOF+∠BOE=90°,∴∠BOE=∠COF.
在△BOE和△COF中,
∴△BOE≌△COF(ASA),∴OE=OF,BE=CF,
∴∠OEF=45°,EF=OE,①正确;由①得△BOE≌△COF,
∴S四边形OEBF=S△BOF+S△BOE=S△BOF+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD,
∴四边形OEBF的面积不随EF的长度变化而变化,②错误;
由①可知BF+BE=BF+CF=BC=OA,EF=OE,
∴△BEF的周长=BE+BF+EF=OA+OE.
∵OA的长为定值,∴当OE最小时,△BEF的周长最小,
∴当OE⊥AB时,OE最小,此时OE=OA,
∴△BEF周长的最小值=OA+OE=OA+×OA=(1+)OA,③正确;
易知BF=AE,在Rt△BEF中,∵EF2=BE2+BF2,∴EF2=AE2+CF2,
∵EF=OE,∴EF2=2OE2,易知OE≠OB,∴EF2≠2OB2,∴AE2+CF2≠2OB2,④错误.
三、填空题
13.答案　50
解析　如图,由题意得∠DAB=60°,∠FBC=30°,AD∥EF,∴∠DAB=∠ABE=60°,
∴∠ABC=180°-∠ABE-∠FBC=90°.
在Rt△ABC中,AB=30 km,BC=40 km,
∴AC===50(km),即A,C两港之间的距离为50 km.
14.答案　80
解析　∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°.
∵∠ABE=55°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=35°.
由旋转得BE=BF,∠EBF=90°,∴∠BEF=∠BFE=45°.
∵∠EGC是△BEG的外角,∴∠EGC=∠BEF+∠EBC=80°.
15.答案　2
解析　∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,
∴AB=CD=6,∠BAC=∠DCA=∠BCA=∠DAB=30°,AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°,
∴∠ABC=180°-∠DAB=120°.∵BE⊥AB,DF⊥CD,∴∠CDF=∠ABE=90°,
∴△CDF≌△ABE(ASA),∴AE=CF.在Rt△ABE中,∵∠BAE=30°,∴设BE=x,AE=2x(x>0),
由勾股定理,得AB2+BE2=AE2,∴62+x2=(2x)2,解得x=2,∴BE=2,AE=CF=4.
∵∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°,∴∠CBE=∠BCE,∴BE=CE=2,∴EF=CF-CE=2.
16.答案　2
解析　如图,作点D关于直线AB的对称点E,连接PE,BE,则DB=EB,DP=EP,∠ABC=∠ABE
=45°,∴∠CBE=90°.∵D是BC的中点,∴BD=BC=2,∴BE=2.∵PC+PD=PC+PE,∴当C,P,E在同一直线上时,PC+PE取得最小值,为CE的长,此时PC+PD最小.在Rt△CBE中,由勾股定理,得CE===2,∴PC+PD的最小值为2.
四、解答题
17.解析　(1)原式=÷2=(6-2+4)÷2
=8÷2=4.………………3分
(2)原式=(4-3)×(1+2+2)=1×(3+2)
=3+2.………………6分
(3)解不等式3x+2<4(x+1),得x>-2,
解不等式≥+1,得x≤3,
所以原不等式组的解集为-2将原不等式组的解集在数轴上表示如图:
………………9分
18.解析　(1)如图,△A1B1C1即为所求,因为点C(-1,3)平移后的对应点C1的坐标为(4,0),
所以△ABC先向右平移5个单位,再向下平移3个单位得到△A1B1C1,
所以点A1的坐标为(2,2).………………3分
(2)B2(2,-1),C2(1,-3).………………5分
(3)如图,△A3B3C3即为所求,A3(5,3).
………………8分
19.解析　(1)设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元,销售一台乙型自行车的利润是y元,根据题意,得2分
解得
答:该公司销售一台甲型自行车的利润是150元,销售一台乙型自行车的利润是100元.
………………4分
(2)设购买甲型自行车m台,则购买乙型自行车(20-m)台,
根据题意,得500m+800(20-m)≤13 000,………………6分
解得m≥10.
答:最少需要购买甲型自行车10台.………………8分
20.解析　(1)四边形ADCE是矩形.………………1分
理由:∵点O是AC的中点,∴AO=CO,
又∵OE=OD,∴四边形ADCE是平行四边形,………………2分
∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,∴四边形ADCE是矩形.………………4分
(2)当∠BAC=90°时,四边形ADCE是正方形.………………5分
理由:∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ACB=45°,
∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAC=45°,∴∠ACB=∠CAD,∴AD=CD,
由(1)知四边形ADCE是矩形,∴矩形ADCE是正方形.………………8分
21.解析　(1)∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,
∵BC=15,CD=12,∴BD===9,
即BD的长为9.………………2分
(2)∵AD=16,BD=9,∴AB=AD+BD=16+9=25.
∵CD⊥AB,CD=12,
∴△ABC的面积=AB·CD=×25×12=150,
∴△ABC的面积为150.………………5分
(3)△ABC是直角三角形.………………6分
理由:在Rt△ACD中,AD=16,CD=12,
∴AC===20.
∵AC2+BC2=202+152=625,AB2=252=625,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形.………………8分
22.解析　(1)把B(-6,0)代入y=kx+4,得0=-6k+4,解得k=,
所以直线AB的解析式为y=x+4,
当x=0时,y=4,所以点A的坐标为(0,4).………………2分
把点C(m,2)代入y=x+4,得2=m+4,解得m=-3,
所以点C的坐标为(-3,2).
设直线CD的解析式为y=ax+b(a≠0),
把C(-3,2),D(0,1)代入,得解得
所以直线CD的解析式为y=-x+1.………………4分
(2)如图,过点C作CF⊥AD,垂足为F,………………5分
因为点C的坐标为(-3,2),所以CF=3.因为A(0,4),D(0,1),所以OA=4,AD=4-1=3.
因为B(-6,0),所以OB=6,所以四边形OBCD的面积=△AOB的面积-△ACD的面积=BO·AO-AD·CF=×6×4-×3×3=,故四边形OBCD的面积为.
………………9分
23.解析　(1)设购进“卫星”模型x个,则购进“火箭”模型(200-x)个,
根据题意,得x≤2(200-x),解得x≤.∵x为整数,∴x的最大值为133.
答:最多购进“卫星”模型133个.………………3分
(2)设售完这批模型可以获得的利润为y元,
根据题意,得y=(45-30)x+(30-20)(200-x)=5x+2 000,
∵5>0,∴y随x的增大而增大.∵x≤,且x为整数,
∴当x=133时,y取最大值,为5×133+2 000=2 665.
答:售完这批模型可以获得的最大利润是2 665元.………………6分
(3)设售完这批模型可以获得的利润为w元,
根据题意,得w=(45-30-m)x+(30-20)(200-x)=(5-m)x+2 000.
∵“卫星”模型的数量不少于“火箭”模型的数量,
∴x≥200-x,解得x≥100,
由(1)得x≤,∴100≤x≤.………………8分
∵00,∴w随x的增大而增大,
∴当x=133时,获得的利润最大,为2 399元,即133(5-m)+2 000=2 399,解得m=2;
②当m=5时,w=(5-5)x+2 000=2 000≠2 399,∴不符合题意,舍去;
③当5综上所述,m的值为2.………………10分
24.解析　(1)PM=PN;PM⊥PN.………………4分
提示:因为点P,N分别是CD,BC的中点,所以PN∥BD,PN=BD,
因为点P,M分别是CD,DE的中点,所以PM∥CE,PM=CE,
因为AB=AC,AD=AE,所以BD=CE,所以PM=PN.
因为PN∥BD,所以∠DPN=∠ADC,因为PM∥CE,所以∠DPM=∠DCA,
因为∠BAC=90°,所以∠ADC+∠DCA=90°,
所以∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,所以PM⊥PN.
(2)△PMN是等腰直角三角形.………………5分
理由:由题意知,∠BAD=∠CAE,因为AB=AC,AD=AE,所以△ABD≌△ACE(SAS),
所以∠ABD=∠ACE,BD=CE.因为点P,N分别是CD,BC的中点,所以PN∥BD,PN=BD,
同理可得PM∥CE,PM=CE,所以PM=PN.因为PM∥CE,PN∥BD,
所以∠DPM=∠DCE=∠DCA+∠ECA=∠DCA+∠DBA,∠PNC=∠DBC,
因为∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,
所以∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠DBA+∠DCB+∠DBC=∠ACB+∠ABC,
因为∠BAC=90°,所以∠ACB+∠ABC=90°,所以∠MPN=90°,
所以△PMN是等腰直角三角形.………………9分
(3)S△PMN的最大值为.………………12分
提示:由(2)知,△PMN是等腰直角三角形,PM=PN=BD,所以S△PMN=PM·PN=BD2,
所以BD的长最大时,△PMN的面积最大,此时点D在BA的延长线上,
所以BD=AB+AD=14,所以S△PMN=×142=.
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