2024青岛版数学八年级下学期--专项素养综合全练（二）构造三角形的中位线的三种常用方法（含解析）

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2024青岛版数学八年级下学期
专项素养综合全练(二)
构造三角形的中位线的三种常用方法
类型一　连接两点,构造中位线
1.(2023广西中考改编)如图,在对角线长为2的正方形ABCD中,
E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为　　　　.
类型二　延长线段构造三角形,得中位线
2.如图,在△ABC中,AB=6,AC=4,AD,AE分别是△ABC的角平分线和中线,过点C作CF⊥AD于点F,连接EF,则线段EF的长为(　　)
A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.
3.如图,已知AO是△ABC的内角∠BAC的平分线,BD⊥AO,交AO的延长线于D,E是BC的中点,连接DE.求证:DE=(AB-AC).
类型三　取中点,连中点,构造中位线
4.(2023上海松江一模)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,E是边AC的中点,延长BC到点D,使BC=2CD,那么DE的长是　　　　.
5.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是边DC、AB的中点,FE的延长线分别交AD、BC的延长线于点H、G,求证:∠AHF=∠BGF.
答案全解全析
1.答案　
解析　连接AE(图略).∵M,N分别是EF,AF的中点,∴MN=AE.易知当点E与点C重合时,AE取得最大值,为2.∴MN的最大值为.
2.A　延长CF交AB于G,如图,因为AD为△ABC的角平分线,所以∠CAF=∠GAF.因为CG⊥AD,所以∠CFA=∠GFA=90°.
又因为AF=AF,所以△AGF≌△ACF,所以AG=AC=4,FG=CF,
所以BG=AB-AG=6-4=2.因为AE为△ABC的中线,所以BE=CE,
所以EF是△BCG的中位线,所以EF=BG=1,故选A.
3.证明　如图,延长AC,BD交于点F.
∵AO平分∠BAC,∴∠BAD=∠FAD,
∵BD⊥AD,∴∠ADB=∠ADF=90°,
在△ABD和△AFD中,
所以△ABD≌△AFD(ASA),所以AB=AF,BD=DF.
又因为E是BC的中点,所以ED是△BCF的中位线,
所以DE=CF=(AF-AC)=(AB-AC).
4.答案　2
解析　如图,取BC的中点F,连接EF,因为点E为AC的中点,所以EF是△ABC的中位线,所以EF=AB=2.因为BC=2CD,所以FC=CD,因为∠ACB=90°,所以AC⊥BC,所以AC垂直平分DF,所以DE=EF=2.
5.证明　如图,连接BD,取BD的中点P,连接EP,FP,
因为E、F、P分别是DC、AB、BD的中点,
所以EP是△BCD的中位线,PF是△ABD的中位线,
所以EP=BC,EP∥BC,PF=AD,PF∥AD,
所以∠BGF=∠PEF,∠H=∠PFE.因为AD=BC,
所以PE=PF,所以∠PEF=∠PFE,所以∠AHF=∠BGF.
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