数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.1圆的标准方程（共18张ppt）

(共18张PPT)
2.4.1 圆的标准方程
复习引入
问题1：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆．
问题2：平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
圆心：确定圆的位置
半径：确定圆的大小
确定圆的几何要素：圆心和半径
A
r
1、已知圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程是什么？
x
y
O
C
M(x，y)
(2)设M(x，y)，则以上条件如何表示？
(x-a)2+(y-b)2=r2
(1)设点M(x，y)为圆C上任一点，则M满足条件？
|MC|=r
探究新知
2、是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？
点M(x，y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点M与圆心的距离是r，即点M在圆心为A (a，b)，半径为r的圆上．
探究新知
(x-a)2+(y-b)2=r2
x
y
O
C
M(x,y)
圆心C(a，b)，半径r
特别地，若圆心为O(0，0)，则圆的方程为：
圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
x2+y2=r2
例题解析
1、写出圆心为A(2，-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，-7)，
是否在这个圆上。
解：圆心是A(2，-3),半径长等于5的圆的标准方程是：
把M1(5，-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M1在这个圆上；
把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点M1的坐标不适合圆的方程，所以点M1不在这个圆上．
(x-2)2+(y+3)2=25
随堂训练
1、说出下列圆的方程：
(1) 圆心在原点，半径为3.
(2) 圆心在点C(3，-4)，半径为7.
(3)经过点P(5，1)，圆心是点C(8，-3).
x2+y2=9
(x-3)2+(y+4)2=49
(x-8)2+(y+3)2=25
2、说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：
(1)(x+7)2+(y 4)2=36
(2)x2+y2 4x+10y+28=0
(3)(x a)2+y2=m2
(-7，4)，r=6
(2，-5)，r=1
(a，0)，r=|m|
M
A
|AM||AM|=r
A
M
A
M
|AM|>r
点在圆内
点在圆上
点在圆外
探究新知
3、在平面几何中，如何确定点M(x0，y0)与圆(圆心A(a，b)，半径r)的位置关系？
点与圆的位置关系
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时，点M在圆C外.
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时，点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2确定点M(x0，y0)与圆(圆心(a，b)，半径r)的位置关系方法:
随堂训练
4、已知点M 在圆(x-1)2+y2=26的内部，则a的取值范围是_______
3、点P(-2，-2)和圆x2+y2=4的位置关系是(　　)
A、在圆上 B、在圆外 C、在圆内 D、以上都不对
解析：将点P的坐标代入圆的方程，则(-2)2+(-2)2=8>4，故点P在圆外.
B
[0,1)
解析：由题意知
解得0≤a<1.
例题解析
待定系数法
解：设所求圆的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2
因为A(5，1)，B (7，-3)，C(2，8)都在圆上
所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25
2、△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)，求它的外接圆的方程．
例题解析
3、己知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，-2)，且圆心在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程
解1：设圆心C的坐标为(a，b)，因为圆心C在直线l：x-y+1=0上，所以a-b+1=0①
因为A，B是圆上两点，所以|CA|=|CB|，
根据两点间的距离公式，有
C
x
y
l
A
B
O
即a-3b-3=0②
由①②得a=-3，b=-2，则圆心C的坐标是(-3,-2)
∴圆C的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25
待定系数法
例题解析
3、己知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，-2)，且圆心在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程
C
x
y
l
A
B
O
解2：∵A(1，1)，B(2，-2)
即：x-3y-3=0
∴圆心C(-3,-2)
几何性质法
D
∴线段AB的垂直平分线CD的方程为
∴圆C的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25
例题解析
3、己知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，-2)，且圆心在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程
C
x
y
l
A
B
O
待定系数法
圆经过A(1，1)，B(2，-2)
解3：设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
∵圆心在直线l：x-y+1=0上
∴圆C的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25
归纳总结
圆的标准方程的两种求法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程. 它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是:
①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组;
③解——解方程组，求出a，b，r;
④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程.
随堂训练
6、根据下列条件，求圆的方程：
(1)求过两点A(0，4)和B(4，6)，且圆心在直线x-y+1=0上的圆的标准方程。
(2)圆心在直线5x-3y=8上，又与两坐标轴相切，求圆的方程。
5、点(2a，1 a)在圆x2 + y2 =4的内部，求实数a的取值范围.
随堂训练
7、已知圆的方程是x2 +y2=r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线的方程。
x
y
O
解：如图，设切线方程为y-y0=k(x-x0)
整理得，x0x+y0y=x02+y02
∵x02+y02=r2
∴所求圆的切线方程为x0x+y0y=r2
课堂小结
(x-a)2+(y-b)2=r2
求出圆的圆心和半径
圆的标准方程
方程的建立
点与圆的位置关系
点在圆上
点在圆外
点在圆内
圆的方程的求法
待定系数法(代数法)
几何法
(x-a)2+(y-b)2=r2
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(x0-a)2+(y0-b)2