数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程（共19张ppt）

(共19张PPT)
2.4.2 圆的一般方程
复习回顾
圆的标准方程是什么？
其中圆心的坐标和半径各是什么？
(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心(a，b)，半径r
由于a，b，r均为常数
探究新知
思考1、若把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后，会得出怎样的形式？
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
令-2a=D，-2b=E，a2+b2-r2=F得
x2+y2+Dx+Ey+F=0
证明：将x2+y2+Dx+Ey+F=0进行配方，得
不一定。
探究新知
思考2、方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是圆的方程吗？
(1)当D2+E2-4F>0时，
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆心为
(2)当D2+E2-4F=0时，
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示点
(3)当D2+E2-4F<0时，
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形.
我们把D2+E2-4F叫圆的判别式，仍然记作△=D2+E2-4F
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
(D2+E2-4F>0)
说明
(1)x2和y2的系数相同，且不等于零；
(2)没有xy项，D2+E2-4F>0；
思考：圆的标准方程与一般方程各有什么优点？
标准方程：明确地指出了圆心和半径；
一般方程：更适合使用待定系数法求方程的解析式。
例题解析
1、求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程.
分析：若已知三点求圆的方程，我们常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
对比标准方程待定系数法求方程的区别优劣？
解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
把点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的坐标代入方程
解得D=-8，E=6，F=0
所以所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0
求圆的方程常用待定系数法的步骤
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
(3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程.
随堂训练
1、已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为 ，求圆的一般方程．
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
即D＋E＝-2 ①
∴D2＋E2＝20 ②
又∵圆心在第二象限，
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
探究新知
思考3、求轨迹方程与轨迹有什么区别？
轨迹是一个图形，比如是直线、圆之类，而轨迹方程是这个图形的方程．
点M的轨迹方程是指点M的坐标(x，y)满足的关系式. 轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形. 在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹(集合).
例题解析
2、已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？
解析：设M(x，y)，由题意有
整理得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16
例题解析
3、如下图，已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)
x
O
y
B
M
A
相关点法
分析：点A在圆上，点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4，建立点M与点A坐标之间的关系，就可得到M点的坐标满足的条件.
∵B(4，3)，且M是线段AB的中点，
于是有x0=2x-4，y0=2y-3 ①
∵点A(x0，y0)在圆(x+1)2+y2=4上，∴有(x0+1)2+y02=4 ②
把①代入②中，有(2x-4+1)2+(2y-3)2=4
求动点的轨迹方程的常用方法
1、直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程.
2、相关点法：找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程.
步骤：(1)设被动点M(x，y)，主动点Q(x0，y0)
(2)求出点M与点Q坐标间的关系
(4)将②代入主动点Q的轨迹方程(已知曲线的方程)，化简得被动点的轨迹方程.
随堂训练
2、已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．
解：设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则
∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
∴x02＋y02－8x0－6y0＋21＝0 ②
∴把①代入②中，有(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0．
即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋ ＝0
课堂小结
①若涉及圆心和半径，一般采用圆的标准方程.
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程，其表达式为
(2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
标准方程(圆心，半径)
(3) 根据题目条件，选择恰当圆的方程形式：
②若已知三点求圆的方程，常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
x2+y2+Dx+Ey+F=0
(D2+E2-4F>0)
随堂训练
1、点A(3，5)是圆x2+y2-4x-8y-80=0的一条弦的中点，则这条弦所在的直线方程是____________．
x+y-8＝0
(x-2)2+(y-4)2=100
2、已知点M为圆(x+1)2+(y-1)2=4上任意一点，P(2，5)为圆外一点，则点P与点M的距离是最大值.
7
随堂训练
3、圆x2+y2=4上取一点A(2，0)，过点A作此圆的弦AB，求弦AB的中点的轨迹方程
解：设弦AB的中点为M(x，y)，点B(x0，y0)，则
∵点B(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
∴x02＋y02＝4 ②
∴把①代入②中，有(2x－2)2＋(2y)2＝4．
即点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2)
随堂训练
4、已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，求圆C2的方程．
(x-2)2+(y+2)2=1
随堂训练
5、若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k等于________．
解析：由条件可知，直线经过圆的圆心(k，－1)，∴2k－(－1)＋3＝0，解得k＝－2
－2
随堂训练
6、已知x2＋y2－4x－6y＋12＝0，x，y∈R，求
(1)x2＋y2的最值；(2) 的最值