数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级下册）
5.2 二次函数的图像和性质(3)
教学目标 1．会用描点法画函数y＝ax2＋k和函数y＝a(x＋m)2 （a≠0）的图像；2．能用平移变换解释二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2和二次函数y＝ax2（a≠0）的位置关系；3．能根据图像认识和理解二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2（a≠0）的性质；4．体会数学研究问题由具体到抽象、特殊到一般的思想方法．
教学重点 从“坐标的数值变化”与“图形的位置变化” ( http: / / www.21cnjy.com )的关系着手，探索二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2的图像和二次函数y＝ax2的（a≠0）位置关系．
教学难点 从二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2的图像和二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的异同从中体会它们之间的关系．
教学过程（教师） 学生活动 设计思路
回顾与猜想你还记得二次函数y＝x2的图像是怎样的吗？那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？ 回顾二次函数y＝x2图像的性质，为本节课学习打下基础． 新旧知识比较，猜想激发学生学习新知识的欲望．
活动一：画图与观察1．填表： 画函数y＝x2和y＝x2＋1的图像．x…－3－2－10123…y＝x2……y＝x2＋1……2．画图：在平面直角坐标系中，描点并画出函数y＝x2＋1的图像和y＝x2的图像；3．观察：（1）从表格的数值看：相同的自变量所对应的两个函数的函数值有什么关系？（2）从对应点的位置看：函数y＝x2＋1的图像和y＝x2的图像的位置有什么关系？（3）根据图像，你能得出函数y＝x2＋1的图像的性质吗？4．猜想：函数y＝x2－2的图像和y＝x2的图像的位置有何关系？函数y＝x2－2的图像有哪些性质？ 按照列表、描点、连线的过程画函数图像．画图，观察、思考并交流提出的问题． 学生经历列表、描点、作图、观察、比较、思考 ( http: / / www.21cnjy.com )的过程，引导学生观察表中数据的变化与点在平面内位置的变化的关系，进而得到函数图像位置的变化规律，初步感受点坐标的变化带来图形位置的变化；新问题y＝ax2＋k将k的取值由1变为－2，丰富了学生对上下平移的认识．
总结与归纳思考：（1）由上面的例子，你发现函数y＝ax2＋k的图像与函数y＝ax2（a≠0）的图像有什么关系？（2）二次函数y＝ax2＋k（a≠0）有什么性质？ 学生先交流、尝试概括，师生共同总结出结论：函数y＝ax2＋k的图像可以看成函数y＝ax2（a≠0）的图像上下平移得到，当k＞0时，向上平移k个单位，当k＜0时，向下平移－k个单位．（2）函数y＝ax2＋k顶点坐标是（0，k），对称轴是y轴． 通过学生相互交流、补充，逐步完善函数y＝ax2＋k的性质，函数的增减性、开口方向和最大（小）值要分a＞0和a＜0来讨论．
活动二：观察与思考1．填表：画函数y＝x2和y＝(x＋3)2的图像．x…－3－2－10123…y＝x2……x…－6－5－4－3－2－10…y＝(x＋3)2……2．画图：在平面直角坐标系中，描点并画出函数y＝x2与函数y＝(x＋3)2的图像；3．观察：（1）从表格的数值看：函数y＝(x＋3)2与函数y＝x2的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系？（2）从对应点的位置看：函数y＝(x＋3)2的图像与y＝x2的图像的位置有什么关系？（3）根据图像，你能得出函数y＝(x＋3)2图像的性质吗？4．猜想：函数y＝(x－1)2的图像和y＝x2的图像的位置有何关系？函数y＝(x－1)2的图像有哪些性质？ 按照列表、描点、连线的过程画函数图像．学生画图，观察、思考并交流提出的问题． 与活动一类似：也按照四个层次组织活动二，将 ( http: / / www.21cnjy.com )两个表格设计成“错位”的方式，引导学生展开观察和思考活动，引导学生发现函数值相等的两个函数的自变量之间的关系，从中感受函数图像的“平移”关系；进一步感受在平面直角坐标系中，点坐标的变化与图形运动变化之间的关系．
总结与归纳思考：（1）由上面的例子，函数y＝a(x＋m)2的图像与函数y＝ax2（a≠0）的图像有什么关系？（2）函数y＝a(x＋m)2有什么性质？ 学生先交流、尝试概括，师生共同总结出结论：函数y＝a(x＋m)2的图像可以看成函数y＝ax2（a≠0）的图像左右平移得到，当m＞0时，向左平移m个单位，当m＜0时，向右平移－m个单位． （2）函数y＝a(x＋m)2顶点坐标是（－m，0），对称轴是过（－m，0）且平行于y轴的直线． 通过学生相互交流、补充，逐步完善函数y＝a(x＋m)2的性质，函数的增减性、开口方向和最大（小）值要分a＞0和a＜0来讨论，提倡利用图像总结性质，突出“数形结合”的思想．
检验与反馈课本练习：课本 ( http: / / www.21cnjy.com )15页练习，20页习题5.2第4、5题；补充练习：1．将函数y＝2x2－2的图像先向___平移___个单位，就得到函数y＝2x2的图像，再向___平移___个单位得到函数y＝2(x－3)2的图像．2．二次函数y＝－3(x＋4)2的图像开口_____，是由抛物线y＝－3x2向___平移___个单位得到的；对称轴是_________，当x＝_____时，y有最______值，是______．3．将二次函数y＝6x2的图像向右平移1个单位后得到函数___________的图像，顶点坐标是_____，当x_______时，y随x的增大而增大；当x_______时，y随x的增大而减小． 学生在画图和练习中，进一步感受二次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2和二次函数y＝ax2（a≠0）的位置关系．并学会用图像来解决函数开口方向、最大（小）值、对称轴、顶点坐标等问题，体会数学结合思考问题的好处． 通过学生练习，培养学生运用知识的能力，加深对知识的理解，体会对“变化与对应”和“数形结合”等数学思想的理解．
小结与反思本节课我学会了哪些知识和方法？我对所学知识还有什么疑惑之处？你认为还有继续探究的问题吗？ 学生讨论，互相补充，师生共同归纳． 促进学生学会反思，总结知识和方法，将新知识纳入到自己原有的知识体系，学会自我建构．
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O数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级下册）
5.2 二次函数的图像和性质(4)
教学目标 1．会用描点法画函数y＝a(x＋m)2＋k（a≠0）的图像；2．会用平移变换解释函数y＝a(x＋m)2＋k与函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2、y＝ax2（a≠0）的图像之间的关系；3．会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标、对称轴，根据对称性列表、描点、画图，并确定函数的最大值或者最小值；4．进一步体会数学研究问题由具体到抽象、特殊到一般的思想方法．
教学重点 1．会用平移变换解释函数y＝a(x＋m)2＋k与y＝ax2（a≠0）的图像之间的关系；2．会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标、对称轴、函数的最值，根据对称性列表、描点、画出函数图像．
教学难点 感受图形的运动变化与图形上点的坐标变化之间的关系，体验由具体到抽象、特殊到一般的研究问题的方法．
教学过程（教师） 学生活动 设计思路
回顾与猜想你知道函数y＝x2＋2的图像与y＝x2的图像有什么关系？函数y＝(x＋3)2的图像和y＝x2的图像有什么关系？猜想：函数y＝(x＋3)2＋2与y＝x2有什么关系？ 回顾上节课所学函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2的图像和函数y＝ax2（a≠0）图像的关系，为本节课学习打下基础． 新旧知识比较，猜想激发学生学习新知识的欲望．
活动一：画图与观察画函数y＝x2、y＝(x＋3)2和y＝(x＋3)2＋2的图像．1．填表：x…-4-3-2-10123…y＝x2……y＝(x＋3)2……y＝(x＋3)2＋2…2．画图：在平面直角坐标系中，描点并画出函数y＝x2、y＝(x＋3)2和y＝(x＋3)2＋2的图像；3．观察：（1）你能说出函数y＝(x＋3)2＋2的图像的形状吗？（2）函数y＝(x＋3)2＋2的图像与函数y＝(x＋3)2和y＝x2的图像有什么联系？（3）根据图像，你能得出函数y＝(x＋3)2＋2图像的性质吗？4．思考：函数y＝x2＋2x＋3的图像是抛物线吗？它与函数y＝(x＋1)2＋2有何关系？ 1．按照列表、描点、连线的过程画函数图像．学生画图，观察、思考并交流提出的问题．2．通过配方发现：y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2因此得出函数y＝x2＋2x＋3的图像是抛物线． 学生有了上节课的基础，能猜想出函数y＝(x＋3)2＋2可以由函数y＝x2通过平移变换得到．让学生经历列表、描点、作图、比较， ( http: / / www.21cnjy.com )验证自己的猜想，再次用运动变化的眼光观察并发现y＝a(x＋m)2＋k与y＝ax2（a≠0）的图像之间的关系，从而判断函数y＝a(x＋m)2＋k图像也是抛物线；并通过观察得到函数y＝(x＋1)2＋2的性质．通过配方将二次函数一般式y＝x2＋2x＋3转化为y＝(x＋1)2＋2，将新问题转化为已经研究过的问题，培养学生转化的数学思想．
总结与归纳思考：（1）函数y＝a(x＋m)2＋k的图像与y＝ax2（a≠0）的图像有什么关系？（2）函数y＝a(x＋m)2＋k（a≠0）有什么性质？ 学生先交流、尝试概括，师生共同总结出结论：（1）函数y＝a(x＋m)2＋k的图像可以看成由函数y＝ax2（a≠0）的图像平移得到，当k＞0时，向上平移k个单位，当k＜0时，向下平移－k个单位；当m＞0时，向左平移m个单位，当m＜0时，向右平移－m个单位．（2）函数y＝a(x＋m)2＋k顶点坐标是（－m，k），对称轴是过（－m，k）与y轴平行的直线． 学生相互交流、补充，逐步完善函数y＝a(x＋m)2＋k的性质，函数的增减性、开口方向和最大（小）值要分a＞0和a＜0来讨论．
活动二：转化与思考（1）你能将函数y＝－x2－4x－ ( http: / / www.21cnjy.com )5转化为y＝a(x＋m)2＋k的形式吗？并画出它的图像，指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（小）值．（2）如何将二次函数y＝ax2＋bx＋c转化y＝a(x＋m)2＋k的形式？ (1)类比一元二次方程的解 ( http: / / www.21cnjy.com )法，学生先尝试通过 ( http: / / www.21cnjy.com )配方法将函数y＝－x2－4x－5转化为y＝a(x＋m)2＋k的形式，再引导学生交流此处配方与解方程配方的区别；（2）此处对学生抽象能力要求较高；可安排学生先阅读学习课本上一般式的配方法，再尝试自己写出来；学有余力的学生鼓励自己写出配方的过程，同学在互相交流中体会怎么实现由具体到抽象的过渡． 从函数y＝－x2－4x－5到函数y＝ax2＋bx＋c转化为y＝a(x＋m)2＋k的形式，学生体验由具体到抽象、特殊到一般的研究问题的方法．
总结与归纳思考：二次函数y＝ax2＋bx＋c转化为y＝a(x＋m)2＋k的形式是什么？由此，你能得到函数y＝ax2＋bx＋c的哪些性质？ 学生先交流、尝试概括，师生共同总结出结论：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）可以转化为y＝a(x＋)2＋；由此可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像是抛物线，顶点坐标为（-，），对称轴是过顶点与y轴平行的直线．函数的增减性、开口方向和最大（小）值要分a＞0和a＜0来讨论． 根据公式y＝a(x＋)2＋，探讨和在二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图像和性质中的几何意义和代数意义，重点不是公式的记忆，而是配方的方法．
检验与反馈完成课本P18练习和课本P20习题5.2第7、8、9题（本节课堂内容较多，有的比较抽象，所以没有安排补充练习）．老师根据学生练习出现的问题精讲点拨． 学生尝试自己独立练习，有困难可以互相交流，互相学习，互相纠错． 通过学生回答，培养学生运用知识的能力，加深对知识的理解．
小结与反思（1）我们学习了哪些知识和方法？（2）对所学知识还有什么疑惑之处？（3）你觉得二次函数还有什么可以继续研究的问题？ 学生讨论总结，师生共同归纳． 促进学生学会反思，学会反思归纳．提醒学生类比一次函数和反比例函数的学习，预想下一节的内容．
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O数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级下册）
5.2 二次函数的图像和性质（1）
教学目标 1．能用描点法画函数y＝x2图像．2．能画y＝－x2图像，并说出它与y＝x2图像的共同特征．
教学重点 1．能用描点法画函数y＝x2图像．2．能作出函数y＝－x2图像，并说出它与y＝x2图像的共同特征．
教学难点 用描点法画函数y＝x2图象，理解它与y＝－x2图像的共同特征．
教学过程（教师） 学生活动 设计思路
创设情境说一说1．画函数图像步骤：列表、描点、连线．2．研究函数性质方法：数形结合．3．猜想二次函数图像是怎样的？ 学生回顾画函数图像步骤，研究函数性质方法，并猜想二次函数图像形状． 通过回顾已学知识，为二次函数图像与性质的学习打下基础．
探索活动活动1．想一想．根据二次函数y＝x 表达式，你能描述它的图像有什么特征吗？ 学生根据函数y＝x 表达式描述它的图像有什么特征． 通过列表、描点、连线画y＝x2图像，让学生经历作图、观察、交流、思考这一过程，感受图像是一个叫“抛物线”的图像．
活动2．画一画．在平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数y＝x 的图像． 思考：列表选取哪些点？为什么？ 画一画．类似地，在平面直角坐标系中，画出二次函数y＝－x 的图像．议一议．函数y＝x 的图像与函数y＝－x 的图像有什么共同特征？（小组交流）抛物线：二次函数y＝x 、y＝－x 的图像都关于y轴对称的曲线，称为抛物线．顶点：抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 1．学生通过列表、描点、连线画y＝x2的图像．x．．．-3-2-10123．．．y＝x ．．．9410149．．． 2．学生通过列表、描点、连线画y＝－x2的图像．x．．．-3-2-10123．．．y＝-x ．．．-9-4-10-1-4-9．．．3．学生交流函数y＝x 的图像与函数y＝－x 的图像有什么共同特征． 通过画函数y＝－x2图像以及总结其特征再次让学生经历二次函数图像的形成过程．
活动3．练一练．在平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图像．（1）； （2）；（3）； （4）． 学生在坐标系中画图． 通过作图再次让学生经历图像的形成过程，再次体会二次函数的性质．
总结回顾在本节课中：我学到了什么？我还有什么疑问？ 学生总结回顾，回答老师提出的问题． 通过课堂小结及时了解学生存在的问题，了解学生对本节课的掌握情况．
作业布置课本P11练习第1、2题．数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级下册）
作 者：徐 进(常州市北环中学)
5．2 二次函数的图像和性质（2）
教学目标 1．能归纳总结y＝ax （a≠0）的图像性质；2．体会用类比方法研究数学问题，实现“探索——经验——运用”的思维过程．
教学重点 归纳总结y＝ax (a≠0)的图像性质．
教学难点 获得利用图像研究函数性质的经验．
教学过程（教师） 学生活动 设计思路
创设情境画一画．请在坐标系中画出函数和、和图像．想一想．这四个图像各有什么特征？归纳．二次函数y＝ax 的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点． 学生画图像，并思考这四个图像各有什么特征． （1）这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最低点．（2）这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最高点． 通过画图复习回顾二次函数图像的形成过程，为下面提炼总结y＝ax (a≠0)的图像性质打下基础．
探索活动想一想．1．观察y＝ax 的图像，你还能发现什么？ 2．如何用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降？ 归纳：（1）a＞0时，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y有最小值，最小值为0．（2）a＜0时，当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＝0时，y有最大值，最大值为0． 1．学生观察y＝ax 的图像，总结：a＞0时，y轴左边的图像下降，y轴右边的图像上升．a＜0时，y轴左边的图像上升，y轴右边的图像下降．2．学生用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降：a＞0时，由y轴左边的图像下降可以知道：当x＜0时，随着x增大y减小．a＜0时，由y轴左边的图像上升可以知道：当x＜0时，随着x增大y增大． 通过观察四个函数的图像，归纳总结出y＝ax （a≠0）的图像性质，培养学生运用“特殊到一般”总结规律的数学思想．
说一说快速说出下列函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值． （1）y＝－3x ； （2）y＝0.6x ； （3）y＝0.75x ； （4）y＝－100x ． 学生利用y＝ax （a≠0）的图像与性质回答所给函数的相关性质． 通过说函数的性质进一步加深对函数y＝ax （a≠0）的图像性质的认识．
练一练 例1 已知函数是二次函数且其图像开口向下， （1）求m的值和函数解析式． （2）x在什么范围内，y随x的增大而增大；y随x的增大而减小． 例2 函数y＝y＝ax （a≠0）与直线y＝2x－3交于点（1，b)，求： （1）a与b的值． （2）求抛物线y＝ax 的解析式，并求顶点坐标和对称轴． 1．学生完成例题，并在小组内交流． 2．学生展示解决问题的方法． 例1 解：（1）由题意知：m－1＜0且m ＋m＝2，则m＝－2．（2）当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小． 例2 解： （1）将A(1，b)代入y＝2x－3，得：b＝－1；将A（1，－1）代入y＝ax （a≠0），得：a＝－1．（2）抛物线：y＝－x ；顶点（0，0）；对称轴：y轴． 通过两个典型例题加强学生对函数 y＝ax （a≠0）图像性质的认识．
总结回顾在本节课中：我学到了什么？我还有什么疑问？ 学生总结回顾，交流本节课所获所得． 通过课堂小结及时了解学生存在的问题，了解学生对本节课的掌握情况．
作业布置课本P13练习第1、2、3题．
