2024五四制鲁教版数学八年级下学期--专项素养综合全练(七)新定义型试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024五四制鲁教版数学八年级下学期--专项素养综合全练(七)新定义型试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 347.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-29 08:38:08 | ||
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文档简介
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2024五四制鲁教版数学八年级下学期
专项素养综合全练(七)
新定义型试题
类型一 定义新运算型
1.(2023山东聊城月考)对于任意的正数m,n,定义运算※:m※n=
计算(3※2)×(8※12)的结果为( )
A.2-4 D.20
2.定义一种新运算:a b=2a+b,a※b=a2b,则方程(x+2)※2=(3 2x)-的解的情况是( )
A.有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
3.【新独家原创】对于实数a、b,定义一种运算“ ”:a b=a2+ab-1,例如:4 3=42+4×3-1=27,若x (x+2)=3,则x的值是 .
4.定义新运算:当m>n时,m△n=2m-n;当m≤n时,m△n=m+2n.请按新定义计算:(2.
类型二 定义新概念型
5.(2023山东济宁邹城期末)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做“比例三角形”.
(1)如图1,在四边形ABCD中,AD=AB,对角线DB平分∠ADC,∠DAC=
∠ABC,求证:△ACD是“比例三角形”.
(2)如图2,在(1)的条件下,当∠ABC=90°时,求的值.
图1 图2
6.(2023山东东营广饶期末)定义:如图①,若点P在△ABC的边AB上,且满足∠1=∠2,则称点P为△ABC的“理想点”.
(1)如图②,若点D是△ABC的边AB的中点,AC=,AB=2,试判断点D是不是△ABC的“理想点”,并说明理由.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,若点D是△ABC的“理想点”,求CD的长.
图① 图②
类型三 定义新方法型
7.有这样一类题目:将化简,如果你能找到两个数m、n,
使m2+n2=a且mn=,则可将a±2变成m2+n2±2mn,即变成(m±n)2,从而使得化简.例如,化简:,因为5±2)2,所以.这种方法叫做配方法.换一种思路,假设化简(x>y>0),可知5±2)2,整理,得5±2,比较等式两边的组成,可得x+y=5,xy=6,所以x=3,y=2,所以.
尝试化简下列各式:
(1).
(2).
8.阅读下面的例题:
分解因式:x2+2x-1.
解:令x2+2x-1=0,得到一个关于x的一元二次方程.
∵a=1,b=2,c=-1,
∴b2-4ac=8>0,
∴x=.
解得x1=-1+.
∴x2+2x-1=(x-x1)(x-x2)
=[x-(-1+)]
=(x+1-).
这种分解因式的方法叫做求根法,
请你利用这种方法分解因式:6x2-7x+1.
答案全解全析
1.B 由题意可知3※2=,
8※12=,
∴(3※2)×(8※12)=()=2,
故选B.
2.B 原方程可变形为2(x+2)2=2×3+2x-,
整理,得2x2+6x+=0,
∵Δ=62-4×2×=0,
∴方程有两个相等的实数根,故选B.
3. 答案 1或-2
解析 根据题意,得x2+x(x+2)-1=3,
整理,得x2+x-2=0,∴(x-1)(x+2)=0,
则x-1=0或x+2=0,解得x1=1,x2=-2.
4.解析 ∵2,
∴2,
△3,
∴原式=5
=5
=7.
5.解析 (1)证明:∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABD,
∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠BDC,
∴∠ABD=∠BDC,
∴AB∥DC,∴∠BAC=∠ACD,
又∵∠ABC=∠DAC,∴△ABC∽△CAD,
∴,∴CA2=AB·CD.
∵AB=AD,∴CA2=AD·CD,
∴△ACD是“比例三角形”.
(2)如图,过点A作AH⊥BD于点H,
∵AB=AD,∴DH=BD,
∵AB∥DC,
∴∠ABC+∠DCB=180°,
∵∠ABC=90°,∴∠BCD=90°,∴∠DHA=∠BCD.
又∵∠ADH=∠BDC,∴△ADH∽△BDC,
∴,∴AD·DC=DH·DB,
∴AD·DC=BD2,
由(1)可知AD·DC=AC2,∴BD2=AC2,
∴.
6.解析 (1)点D是△ABC的“理想点”.理由如下:
∵D是AB的中点,AB=2,
∴AD=BD=1,∴AD·AB=2,
∵AC=,∴AC2=2,
∴AC2=AD·AB,∴,
∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,
∴∠ACD=∠B,∴点D是△ABC的“理想点”.
(2)分情况讨论:①D在AB上时,如图,
∵D是△ABC的“理想点”,
∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A,
当∠ACD=∠B时,
∵∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠BCD+∠B=90°,
∴∠CDB=90°,即CD是AB边上的高,
当∠BCD=∠A时,同理可证CD是AB边上的高,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,
∴BC==3,
∵S△ABC=AB·CD=AC·BC,∴CD=.
②∵AC=4,BC=3,∴AC>BC,∴∠B>∠A,
∴“理想点”D不可能在BC边上.
③D在AC边上时,如图,
∵D是△ABC的“理想点”,∴∠DBC=∠A,
又∠C=∠C,∴△BDC∽△ABC,
∴.
综上所述,当点D是△ABC的“理想点”时,CD的长为.
7.解析 (1).
(2)=.
8.解析 令6x2-7x+1=0,得到一个关于x的一元二次方程.
∵a=6,b=-7,c=1,∴b2-4ac=25>0,
∴x=,
解得x1=1,x2=,
∴6x2-7x+1=6(x-1).
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2024五四制鲁教版数学八年级下学期
专项素养综合全练(七)
新定义型试题
类型一 定义新运算型
1.(2023山东聊城月考)对于任意的正数m,n,定义运算※:m※n=
计算(3※2)×(8※12)的结果为( )
A.2-4 D.20
2.定义一种新运算:a b=2a+b,a※b=a2b,则方程(x+2)※2=(3 2x)-的解的情况是( )
A.有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
3.【新独家原创】对于实数a、b,定义一种运算“ ”:a b=a2+ab-1,例如:4 3=42+4×3-1=27,若x (x+2)=3,则x的值是 .
4.定义新运算:当m>n时,m△n=2m-n;当m≤n时,m△n=m+2n.请按新定义计算:(2.
类型二 定义新概念型
5.(2023山东济宁邹城期末)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做“比例三角形”.
(1)如图1,在四边形ABCD中,AD=AB,对角线DB平分∠ADC,∠DAC=
∠ABC,求证:△ACD是“比例三角形”.
(2)如图2,在(1)的条件下,当∠ABC=90°时,求的值.
图1 图2
6.(2023山东东营广饶期末)定义:如图①,若点P在△ABC的边AB上,且满足∠1=∠2,则称点P为△ABC的“理想点”.
(1)如图②,若点D是△ABC的边AB的中点,AC=,AB=2,试判断点D是不是△ABC的“理想点”,并说明理由.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,若点D是△ABC的“理想点”,求CD的长.
图① 图②
类型三 定义新方法型
7.有这样一类题目:将化简,如果你能找到两个数m、n,
使m2+n2=a且mn=,则可将a±2变成m2+n2±2mn,即变成(m±n)2,从而使得化简.例如,化简:,因为5±2)2,所以.这种方法叫做配方法.换一种思路,假设化简(x>y>0),可知5±2)2,整理,得5±2,比较等式两边的组成,可得x+y=5,xy=6,所以x=3,y=2,所以.
尝试化简下列各式:
(1).
(2).
8.阅读下面的例题:
分解因式:x2+2x-1.
解:令x2+2x-1=0,得到一个关于x的一元二次方程.
∵a=1,b=2,c=-1,
∴b2-4ac=8>0,
∴x=.
解得x1=-1+.
∴x2+2x-1=(x-x1)(x-x2)
=[x-(-1+)]
=(x+1-).
这种分解因式的方法叫做求根法,
请你利用这种方法分解因式:6x2-7x+1.
答案全解全析
1.B 由题意可知3※2=,
8※12=,
∴(3※2)×(8※12)=()=2,
故选B.
2.B 原方程可变形为2(x+2)2=2×3+2x-,
整理,得2x2+6x+=0,
∵Δ=62-4×2×=0,
∴方程有两个相等的实数根,故选B.
3. 答案 1或-2
解析 根据题意,得x2+x(x+2)-1=3,
整理,得x2+x-2=0,∴(x-1)(x+2)=0,
则x-1=0或x+2=0,解得x1=1,x2=-2.
4.解析 ∵2,
∴2,
△3,
∴原式=5
=5
=7.
5.解析 (1)证明:∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABD,
∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠BDC,
∴∠ABD=∠BDC,
∴AB∥DC,∴∠BAC=∠ACD,
又∵∠ABC=∠DAC,∴△ABC∽△CAD,
∴,∴CA2=AB·CD.
∵AB=AD,∴CA2=AD·CD,
∴△ACD是“比例三角形”.
(2)如图,过点A作AH⊥BD于点H,
∵AB=AD,∴DH=BD,
∵AB∥DC,
∴∠ABC+∠DCB=180°,
∵∠ABC=90°,∴∠BCD=90°,∴∠DHA=∠BCD.
又∵∠ADH=∠BDC,∴△ADH∽△BDC,
∴,∴AD·DC=DH·DB,
∴AD·DC=BD2,
由(1)可知AD·DC=AC2,∴BD2=AC2,
∴.
6.解析 (1)点D是△ABC的“理想点”.理由如下:
∵D是AB的中点,AB=2,
∴AD=BD=1,∴AD·AB=2,
∵AC=,∴AC2=2,
∴AC2=AD·AB,∴,
∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,
∴∠ACD=∠B,∴点D是△ABC的“理想点”.
(2)分情况讨论:①D在AB上时,如图,
∵D是△ABC的“理想点”,
∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A,
当∠ACD=∠B时,
∵∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠BCD+∠B=90°,
∴∠CDB=90°,即CD是AB边上的高,
当∠BCD=∠A时,同理可证CD是AB边上的高,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,
∴BC==3,
∵S△ABC=AB·CD=AC·BC,∴CD=.
②∵AC=4,BC=3,∴AC>BC,∴∠B>∠A,
∴“理想点”D不可能在BC边上.
③D在AC边上时,如图,
∵D是△ABC的“理想点”,∴∠DBC=∠A,
又∠C=∠C,∴△BDC∽△ABC,
∴.
综上所述,当点D是△ABC的“理想点”时,CD的长为.
7.解析 (1).
(2)=.
8.解析 令6x2-7x+1=0,得到一个关于x的一元二次方程.
∵a=6,b=-7,c=1,∴b2-4ac=25>0,
∴x=,
解得x1=1,x2=,
∴6x2-7x+1=6(x-1).
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