2024五四制鲁教版数学八年级下学期--专项素养综合全练(四)一元二次方程的解法（含解析）

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2024五四制鲁教版数学八年级下学期
专项素养综合全练(四)
一元二次方程的解法
类型一　直接开平方法
1.(2022河南南阳桐柏期末)对于方程(ax+b)2=c,下列叙述正确的是(　　)
A.无论c为何值,方程均有实数根
B.方程的根是x=
C.当c≥0时,方程可化为ax+b=或ax+b=-
D.当c=0时,x=
2.求满足条件的x的值.
(1)3x2-1=26.
(2)2(x-1)2=.
类型二　配方法
3.解方程:
(1)(2023上海虹口期末)x2-4x=9 996.
(2)x2+10=8x-1.
类型三　公式法
4.(2023辽宁葫芦岛兴城期末)解方程:
(1)x2+5x+7=3x+11.
(2)4x2+12x+9=81.
类型四　因式分解法
5.(2023浙江绍兴越城期中)解方程:
(1)7x(5x+2)=6(5x+2).
(2)=x2-1.
类型五　十字相乘法
6.阅读理解:
用“十字相乘法”分解因式2x2-x-3:
二次项系数2=1×2,
常数项-3=-1×3=1×(-3),
验算交叉相乘之和,如图所示:
发现第③个“交叉相乘之和”的结果为-1,等于一次项系数-1,
即(x+1)(2x-3)=2x2-3x+2x-3=2x2-x-3,则2x2-x-3=(x+1)(2x-3).
像这样,在十字交叉线的帮助下把二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.(M8208002)
仿照以上方法分解因式并解方程:
(1)x2-2x-3=0.
(2)2x2+x-3=0.
(3)3x2+5x-12=0.
类型六　换元法
7.【新考向·阅读理解题】解方程(x-1)2-5(x-1)+4=0时,我们发现:先将x-1看做一个整体,然后设x-1=y,那么原方程可化为y2-5y+4=0①,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x-1=1,则x=2;当y=4时,x-1=4,则x=5,故原方程的解为x1=2,x2=5.
上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,运用了“换元法”,体现了转化的数学思想.
【解决问题】
(1)请利用以上知识解方程:(3x+5)2-4(3x+5)+3=0.
(2)在△ABC中,∠C=90°,两条直角边的长分别为a,b,斜边的长为c,且(a2+b2)(a2+b2+1)=12,求斜边长c的值.
答案全解全析
1.C　当c<0时,方程没有实数根;当c≥0时,方程可化为ax+b=±,解得x1=;当c=0时,x1=x2=-.故选C.
2.解析　(1)∵3x2-1=26,
∴3x2=27,∴x2=9,
∴x1=3,x2=-3.
(2)∵2(x-1)2=,
∴(x-1)2=,
∴x1=.
3.解析　(1)∵x2-4x=9 996,
∴x2-4x+4=10 000,
∴(x-2)2=10 000,
∴x-2=±100,
∴x1=102,x2=-98.
(2)∵x2+10=8x-1,
∴x2-8x+11=0,
∴x2-8x+16-16+11=0,
∴(x-4)2=5,
∴x-4=±,
∴x1=4+.
4.解析　(1)∵x2+5x+7=3x+11,
∴x2+2x-4=0,
∴a=1,b=2,c=-4,
∴b2-4ac=22-4×1×(-4)=20>0,
∴x=,
∴x1=-1.
(2)∵4x2+12x+9=81,
∴4x2+12x-72=0,
∴x2+3x-18=0,
∴a=1,b=3,c=-18,
∴Δ=b2-4ac=9+72=81>0,
∴x=,
∴x1=3,x2=-6.
5.解析　(1)∵7x(5x+2)=6(5x+2),
∴(5x+2)(7x-6)=0,
∴5x+2=0或7x-6=0,
解得x1=-.
(2)∵(x-1)=(x+1)(x-1),
∴(x-1)=0,
∴x-1=0或-x-1=0,
解得x1=1,x2=-.
6.解析　(1)x2-2x-3=0,
∴(x-3)(x+1)=0,
∴x-3=0或x+1=0,
解得x1=3,x2=-1.
(2)2x2+x-3=0,
∴(2x+3)(x-1)=0,
∴2x+3=0或x-1=0,
解得x1=-,x2=1.
(3)3x2+5x-12=0,
∴(x+3)(3x-4)=0,
∴x+3=0或3x-4=0,
解得x1=-3,x2=.
7.解析　(1)设3x+5=y,则原方程可变形为
y2-4y+3=0,解得y1=1,y2=3.
当y=1时,3x+5=1,∴x=-;
当y=3时,3x+5=3,∴x=-,
∴x1=-.
(2)设a2+b2=x(x>0),则(a2+b2 )(a2+b2+1)=12可化为x(x+1)=12,
即x2+x-12=0,
解得x1=3,x2=-4<0 (不合题意,舍去),
∴a2+b2=3.
∵∠C=90°,
∴a2+b2=c2.
∴c2=3.
∴c=(已舍负值).
答:斜边长c的值为.
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