2024五四制鲁教版数学八年级下学期--专项素养综合全练(一)特殊平行四边形中的折叠问题（含解析）

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2024五四制鲁教版数学八年级下学期
专项素养综合全练(一)
特殊平行四边形中的折叠问题
类型一　菱形中的折叠问题
1.(2023广西贵港港南四模)如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,点E在BC边上,将菱形纸片ABCD沿DE折叠,点C的对应点为点C',且DC'所在直线是AB的垂直平分线,则∠DEC的大小为
(　　)
A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.75°
2.(2023山东淄博博山一模)在数学兴趣小组活动中,同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图1,在菱形ABCD中,∠B为锐角,点E为BC的中点,连接DE,将菱形ABCD沿DE折叠,得到四边形A'B'ED,点A的对应点为点A',点B的对应点为点B'.
(1)【观察发现】A'D与B'E是什么位置关系
(2)【思考表达】连接B'C,判断∠DEC与∠B'CE是否相等,并说明理由.
(3)如图2,延长DC交A'B'于点G,连接EG,B'C,已知DE∥CB',请探究∠DEG的度数,并说明理由.
　
图1 图2
类型二　矩形中的折叠问题
3.(2023山东济宁高新区期中)如图,把一个长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点D、C分别落在D'、C'的位置,若∠EFB=65°,则∠AED'的大小为(　　)
A.50°　　　　B.55°　　　　C.60°　　　　D.65°
4.(2022江苏苏州中考)如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为点E,AE与CD交于点F.
(1)求证:△DAF≌△ECF.
(2)若∠FCE=40°,求∠CAB的度数.
5.如图,将一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开,再折叠一次,使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BO,同时得到线段BA',OA',展开,如图①;第二步:再沿OA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,得到折痕OF,同时得到线段B'F,展开,如图②.
(1)∠ABO=　　　　°.
(2)求证:四边形BFB'O是菱形.
　
图① 图②
类型三　正方形中的折叠问题
6.如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE∶EC=2∶1,求线段EC,CH的长.
7.【新考向·实践探究题】(2023湖南长沙期中)图形变换是初中数学的重要内容,某兴趣学习小组的同学利用所学知识,进行了一系列的图形变换操作实践活动,让我们一起来体验他们的探究过程吧.
(1)轴对称:将正方形纸片ABCD折叠,使边AD、AB都落在对角线AC上,展开得折痕AE、AF,连接EF,如图1,求∠EAF的大小.
(2)旋转:将图1中的∠EAF绕点A旋转,使它的两边分别交边BC、CD于点H、G,连接GH,如图2,则线段BH、GH、DG之间存在的数量关系为　　　　　　　　,并证明你的结论.
(3)计算:在图2中,连接正方形对角线BD,交∠GAH的两边AH、AG于点M、N,如图3,若BM=3,DN=4,求正方形ABCD的面积.
　　
图1 图2 图3
答案全解全析
1.D　连接BD,如图,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD,AB∥DC,∠A=∠C,
∵∠A=60°,
∴△ABD为等边三角形,∠ADC=120°,∠C=60°,
∵DC'所在直线是AB的垂直平分线,
∴DP为∠ADB的平分线,即∠ADP=∠BDP=30°,
∴∠PDC=90°,
由折叠的性质可知∠CDE=∠PDE,
∴∠CDE=∠PDE=45°,
∴∠DEC=180°-(∠CDE+∠C)=75°.
故选D.
2.解析　(1)A'D∥B'E.
(2)∠DEC=∠B'CE.
理由:连接BB'(图略),由翻折可知EB=EB',
∵E为BC的中点,∴EC=EB=EB',
∴∠BB'C=90°,
∴BB'⊥B'C,
由翻折可知BB'⊥直线DE,
∴DE∥CB',∴∠DEC=∠B'CE.
(3)∠DEG=90°.
理由:如图,连接DB,DB',B'B,
由翻折的性质可知∠BDE=∠B'DE,
设∠BDE=∠B'DE=x,∠A=∠A'=y.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ADB=∠CDB=∠A'DB',
∴∠A'DB'-∠B'DG=∠BDC-∠B'DC,
∴∠A'DG=∠BDB'=2x,
∴∠DGA'=180°-2x-y,
∵∠BEB'=∠EBD+∠EB'D+∠BDB',
∴∠BEB'=180°-y+2x,
∵EC=EB',
∴∠EB'C=∠ECB'=∠BEB'=90°-y+x,
∴∠GB'C=∠A'B'E-∠EB'C=180°-y-90°-y+x=90°-y-x,
∴∠CGA'=2∠GB'C,
∵∠CGA'=∠GB'C+∠GCB',∴∠GB'C=∠GCB',
∴GC=GB',
∵EB'=EC,∴EG⊥CB',
∵DE∥CB',∴DE⊥EG,∴∠DEG=90°.
3.A　由折叠可知,∠DEF=∠D'EF,
∵AD∥BC,∴∠D'EF=∠DEF=∠EFB=65°,
∴∠AED'=180°-∠DEF-∠D'EF=50°.
故选A.
4.解析　(1)证明:由题意可得AD=BC=EC,∠D=∠B=∠E=90°,
在△DAF和△ECF中,
∴△DAF≌△ECF(AAS).
(2)∵△DAF≌△ECF,∴∠DAF=∠ECF=40°,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,
∴∠EAB=∠DAB-∠DAF=90°-40°=50°,
由折叠可知∠EAC=∠CAB,∴∠CAB=25°.
5.解析　(1)30.
(2)证明:由(1)知∠ABO=30°,∴∠A'BO=30°,
∵∠ABC=90°,∴∠A'BC=30°.
∵沿OA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,
∴BO=B'O,BF=B'F,
由折叠可知∠OA'B=∠A=90°,∴∠FA'B=90°,
∵∠A'BO=∠A'BF=30°,A'B=A'B,
∴△A'BO≌△A'BF,∴OB=BF,
∴BO=B'O=B'F=BF,
∴四边形BFB'O为菱形.
6.解析　∵BC=9,BE∶EC=2∶1,∴EC=3.
设CH=x,则DH=9-x,
由折叠可知EH=DH=9-x,
在Rt△ECH中,∠C=90°,
∴EC2+CH2=EH2,
即32+x2=(9-x)2,解得x=4,∴CH=4.
7.解析　(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,
由折叠得∠CAF=∠BAF=∠BAC,∠CAE=∠DAE=∠DAC,
∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=(∠BAC+∠DAC)=×90°=45°.
(2)BH+DG=GH.
证明:如图,将△ADG绕点A顺时针旋转90°得到△ABI,
由旋转可知AI=AG,BI=DG,∠BAI=∠DAG,∠ABI=∠D=90°,
∴∠ABI+∠ABC=180°,
∴I、B、H三点在同一条直线上,
∵∠BAD=90°,∠GAH=45°,
∴∠IAH=∠BAI+∠BAH=∠DAG+∠BAH=∠BAD-∠HAG=90°-45°=45°,∴∠IAH=∠GAH,
∵AH=AH,∴△IAH≌△GAH(SAS),∴IH=GH,
∵IH=BH+BI=BH+DG,
∴BH+DG=GH.
(3)如图,将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABJ,连接JM,
由旋转可知AJ=AN,BJ=DN=4,∠BAJ=∠DAN,
∵AB=AD,∠BAD=90°,
∴∠ABD=∠ADB=45°,∴∠ABJ=∠ADN=45°,
∴∠MBJ=∠ABJ+∠ABD=90°,
∵∠BAD=90°,∠GAH=45°,
∴∠MAJ=∠BAJ+∠BAH=∠DAN+∠BAH=45°,
∴∠MAJ=∠MAN,
∵AM=AM,∴△MAJ≌△MAN(SAS),∴MN=MJ,
∵BM=3,∠MBJ=90°,
∴MN=MJ==5,
∴BD=BM+MN+DN=3+5+4=12,
∵四边形ABCD为正方形,∴AC=BD=12,
∴S正方形ABCD=BD·AC=72.
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