2024五四制鲁教版数学八年级下学期--专项素养综合全练(六)相似三角形的五种基本模型（含解析）

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2024五四制鲁教版数学八年级下学期
专项素养综合全练(六)
相似三角形的五种基本模型
模型一　X字型(8字型)
1.(2023福建泉州期末)如图,AB、CD相交于点O,已知OA=3,OD=4,
OB=2,OC=1.5.求证:△AOD∽△COB.
2.(2023山东滨州惠民期末)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,ED的延长线与BC相交于点F,连接AF、EC.
(1)求证:AB∥EC.
(2)求证:△DAF∽△DEC.
模型二　A字型
3.(2023浙江杭州余杭二模)如图,Rt△ABC中,∠B=90°,点D在边AC上,且DE⊥AC交BC于点E.
(1)求证:△CDE∽△CBA.
(2)若AB=3,AC=5,E是BC的中点,求DE的长.
4.(2023江苏苏州高新区期末)如图,在△ABC中,AB=8 cm,BC=16 cm,动点P从点A开始沿AB边运动,速度为2 cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动,速度为4 cm/s,如果P、Q两点同时运动,那么何时△QBP与△ABC相似
模型三　旋转型
5.(2022湖北武汉江夏模拟)如图,在△ABC和△DEC中,∠A=∠D,
∠BCE=∠ACD.求证:△ABC∽△DEC.
6.【手拉手模型】(2023福建福州期末)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转α得到△ADE(α为锐角),点D与点B对应,连接BD,CE.求证:△ABD∽△ACE.
模型四　子母型
7.如图,在△ABC中,P为AB上一点,下列四个条件:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP·AB;④AB·CP=AP·CB.请你从中找出能使△ABC和△ACP相似的一个条件,并按下列格式进行证明.
已知:　 .
求证:　 .
证明:
8.如图,点D为△ABC边AB上一点,AD=2,BD=6,AC=4.求证:△ACD∽△ABC.
模型五　K字型(一线三等角型)
9.【新独家原创】如图,将一个含45°角的直角三角板GEH放置在正方形纸板ABCD上,直角三角板的直角边EG过点B,EH交DC于点F,求证:△ABE∽△DEF.
10.(2022湖南株洲期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(不与点B,C重合),∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上.求证:△BDE∽△CEF.
11.如图,等边△ABC的边长为6,点P,D分别是BC、AC边上的点,且∠APD=60°,BP=2,求CD的长.
答案全解全析
1.证明　∵,
又∵∠AOD=∠COB,∴△AOD∽△COB.
2.证明　(1)∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,
∴△ABC≌△ADE,∠EAC=∠BAD=60°,∴AC=AE,
∴△AEC为等边三角形,
∴∠ACE=60°=∠BAC,∴AB∥EC.
(2)∵△ABC≌△ADE,∴∠AED=∠ACB,
又∵∠ADE=∠FDC,∴△ADE∽△FDC.
∴,
又∵∠ADF=∠EDC,∴△DAF∽△DEC.
3.解析　(1)证明:∵DE⊥AC,∠B=90°,
∴∠CDE=90°=∠B.
又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA.
(2)在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,
∴BC==4.
∵E是BC的中点,∴CE=BC=2.
∵△CDE∽△CBA,∴,即,
∴DE=.
4.解析　设经过t秒时,△QBP与△ABC相似,
则AP=2t cm,BQ=4t cm,∴BP=(8-2t)cm,
∵∠PBQ=∠ABC,
∴当时,△BPQ∽△BAC,即,解得t=2;
当时,△BPQ∽△BCA,即,解得t=0.8,
即经过2秒或0.8秒时,△QBP与△ABC相似.
5.证明　∵∠BCE=∠ACD,∴∠ACB=∠DCE,
又∵∠A=∠D,∴△ABC∽△DEC.
6.证明　∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△ADE,
∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,
∴,∴△ABD∽△ACE.
7.解析　答案不唯一,举例如下:
已知:在△ABC中,P为AB上一点,且∠ACP=∠B.
求证:△ABC∽△ACP.
证明:在△ABC和△ACP中,
∠B=∠ACP,∠A=∠A,
∴△ABC∽△ACP.
8.证明　∵AD=2,BD=6,∴AB=8,又∵AC=4,
∴,
又∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC.
9.证明　∵四边形ABCD为正方形,
∴∠A=∠D=90°,∴∠ABE+∠AEB=90°,
∵∠BEF=90°,
∴∠AEB+∠DEF=90°,
∴∠ABE=∠DEF,∴△ABE∽△DEF.
10.证明　∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB,∠DEF=∠B,
∴∠BDE=∠CEF,
∴△BDE∽△CEF.
11.解析　∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠C=60°=∠APD,
∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APD+∠CPD,
∴∠BAP=∠CPD,∴△ABP∽△PCD,∴,
∵AB=BC=6,BP=2,
∴CP=BC-BP=6-2=4,
∴.
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