2024湘教版数学八年级下学期--专项素养综合全练(一)勾股定理的（含解析）

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2024湘教版数学八年级下学期
第1章　直角三角形
专项素养综合全练(一)
勾股定理的应用
类型一　用勾股定理解决最短路径问题
1.下图是一个三级台阶,每一级的长、宽和高分别为9、3、1,A和B是这个台阶两个相对的点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.18 B.15 C.12 D.8
2.如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm,底面周长为10 cm,在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长是　　　　cm.
3.在等边三角形ABC中,D是BC的中点,点E,P分别是线段AC,AD上的动点,已知AB
=2,求PE+PC的最小值.
类型二　用勾股定理解决实际问题
4.如图,公路MN和公路PQ在点P处交会,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160 m.当拖拉机行驶时,周围100 m以内会受到噪音的影响,那么当拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,回答下列问题.
(1)学校是否会受到噪声影响
(2)如果不受影响,请说明理由;如果受影响,已知拖拉机的速度为18 km/h,那么学校受影响的时间为多少秒
5.为加快旧城改造步伐,增强城市功能,改善居民环境,某市对部分旧城区的天然气管道进行改造.在改造过程中发现原有管道因弯道过多带来安全隐患,某小区管道A→B改造方案如图.(实线为改造前,所有实线均互相平行或垂直,虚线为改造后)
(1)改造前管道的长度是多少
(2)改造后A、B之间的管道长度减少了多少
第1章　直角三角形
答案全解全析
专项素养综合全练(一)
勾股定理的应用
1.B　如图,将台阶面展开,连接AB,线段AB即为蚂蚁所爬的最短路线.
由题意得AC=3×3+1×3=12,BC=9,
所以AB2=AC2+BC2=225,
所以AB=15,所以蚂蚁爬行的最短路程为15.
2.答案:13
解析:如图,作A关于EC的对称点A',连接A'B交EC于点F,连接AF,则A'B的长即为蚂蚁爬行的最短路径的长,作A'D⊥BC交BC的延长线于点D,
易知A'D=5 cm,BD=12-3+3=12(cm),
∴A'B===13(cm).
故蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长是13 cm.
3.解析:如图,过B作BE⊥AC于E,与AD交于点P,连接PC,此时PE+PC的值最小,
∵△ABC是等边三角形,D为BC的中点,
∴PC=PB,∴PE+PC=PB+PE=BE,
即BE的长就是PE+PC的最小值,
∵△ABC是一个边长为2的等边三角形,BE⊥AC,
∴∠BEC=90°,CE=1,∴BE==,
∴PE+PC的最小值是.
4.解析:(1)如图,作AH⊥MN于点H,在Rt△APH中,
∵∠QPN=30°,∴AH=AP=×160=80(m),
∵80<100,
∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到噪声影响.
(2)如图,以点A为圆心,100 m为半径画弧交MN于B、C两点,连接AC、AB,则AB=AC=100 m,
∵AH⊥BC,∴BH=CH,
在Rt△ABH中,BH==60(m),
∴BC=2BH=120 m,
∵拖拉机的速度为18 km/h,即拖拉机的速度为5 m/s,
∴学校受影响的时间为=24(s).
5.解析:(1)由题意得,改造前管道的长度是130+20+100+50+90+20=410(m).
答:改造前管道的长度是410 m.
(2)如图,延长CB交AE于点D,由题意得∠ADB=90°,BD=50-20+20=50(m),AD=130-(100-90)=120(m),
在Rt△ABD中,由勾股定理得AB===130(m).410-130=280(m).
答:改造后A、B之间的管道长度减少了280 m.
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