2023-2024学年湖南省衡阳九中七年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省衡阳九中七年级（上）入学数学试卷
一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲数的是，乙数的是，甲数乙数．( )
A. 小于 B. 等于 C. 大于
2.小丽家的客厅长，宽计划在地面上铺方砖，要求都用整块方砖，且恰好铺满方砖的边长最长是( )
A. B. C. D.
3.一个圆柱形容器的底面半径是，水深，把一块底面半径为圆锥形铅锤完全浸没到水中后，水面上升了，这个铅锤的体积是．( )
A. B. C. D.
4.下面各题中的两个量成正比例关系的是( )
A. 正方形的边长和面积 B. 三角形的面积一定，它的底和高
C. 长方形的长一定，它的宽和周长 D. 速度一定，路程和时间
5.如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的个出口中的一个．下列判断：个出口的出水量相同；号出口的出水量与号出口的出水量相同；，，号出水口的出水量之比约为：：；若净化材料损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三
角形材料使用的时间约为更换最快的一个三角形材料使用时间的倍．其中正确的判断有个．( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
6.据统计，年五一假期期间，衡阳市旅游总收入为十五亿八千三百万元，同比增长，横线上的数写作______ ，改写成用“亿”作单位的数是______ 亿元．
7.在一幅比例尺为：的地图上，量得株洲到南岳衡山的距离是，株洲到南岳衡山的实际距离约______ ．
8.袋子里放了个红球和个白球，任意摸一个球，摸好后放回，已知第一次摸到红球，那么第二次摸到红球的可能性为______ ．
9.一根铁丝，如果把它折成一个长方形，宽是分米，面积是平方分米；如果把它折成一个正方体，那么它的体积是______ 立方分米．
10.小李、小王同时从甲地出发前往乙地，小时后小王到达乙地，小李还需要行驶小时才能到达乙地，此时小李和小王一共行驶了千米甲、乙两地相距______ 千米．
11.在点与点之间，钟面上分针与时针在时______ 分时互相垂直．
12.已知一串分数，，，，，，，，，，，第个分数是______ ．
13.如图，是正方体的一种表面展开图，各面都标有数字，则数字为的面与它对面的数字之和是______．
14.甲、乙两个相同的瓶子装满酒精溶液，甲瓶中酒精与水的体积之比是：，乙瓶中酒精与水的体积之比是：若把两瓶酒精溶液倒入一个瓶中混合，则混合后酒精与水的体积之比是______ ．
15.对种食物是否含有维生素甲、乙、丙进行调查，结果是含甲的种，含乙的种，含丙的种；含甲、乙的种，含甲、丙的种，含乙、丙的种；含甲、乙、丙的种仅含维生素甲的有______ 种，不含甲、乙、丙三种维生素的有______ 种
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
直接写出得数：
；
；
；
；
；
；
；
．
17.本小题分
计算下列各题，能简算的要简算：
；
；
；
．
18.本小题分
解方程：
：：；
．
19.本小题分
如图所示，已知长方形长为，宽为，在上，在上，其中三块空白面积分别为、、，那么阴影部分的面积为多少？
20.本小题分
小聪岁时，他的爸爸岁，当小聪的年龄是爸爸年龄的时，爸爸多少岁？
21.本小题分
某种商品，按期望获得的利润来定价，结果只销掉的商品为了尽快销掉剩下的商品，经销商决定按定价打折出售，这样所获得的全部利润是原来所期望利润的求打了多少折扣？
22.本小题分
幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果大班的小朋友每人个则余个；如果分给小班的小朋友每人个则缺个已知大班比小班多个小朋友，这一筐苹果有多少个？
23.本小题分
甲乙两人同时从相距米的两地相向而行，甲每分钟行米，乙每分钟行米一只小狗与甲一起出发，每分钟跑米，狗与乙相遇后立即掉头向甲跑去，遇到甲后又向乙跑去，如此反复直到两人相遇，这只狗跑了多少米？
24.本小题分
四只猴子吃桃子，第一只猴子吃的是另外三只猴子总数的一半，第二只猴子吃的是另外三只猴子吃的，第三只猴子吃的是另外三只猴子吃的，第四只猴子吃了个问四只猴子共吃了多少个桃子？
25.本小题分
由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度在减少经计算，牧场上的草可供头牛吃天或者头牛吃天那么，可供头牛吃几天？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：甲数的是，
甲数是，
同理乙数是，
，
甲数乙数，
故选：．
由已知求出甲数和乙数的大小，即可得到答案．
本题考查分数混合运算的应用，解题的关键是求出甲数和乙数的大小．
2.【答案】
【解析】解：，
，
和的最大公因数是，
故选：．
先对单位进行换算，再求出客厅长和宽的最大公因数，即是答案．
本题考查了最大公因数的应用，关键准确地求出两个数的最大公因数．
3.【答案】
【解析】解：水面上升的体积为立方厘米，
故选：．
根据题意可知，圆柱体容器水面上水的部分体积为圆锥的体积，求出上升部分的体积即可．
本题考查圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式，弄清圆锥的体积与水面上升的部分体积的关系是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、正方形的面积正方形的边长的平方，即正方形的面积与正方形的边长不成正比例关系，故选项A不符合题意；
B、三角形的面积一定，三角形的底和高不成正比例关系，故选项B不符合题意；
C、长方形的长一定时，它的宽和周长不成正比例关系，故选项C不符合题意；
D、速度一定，路程和时间成正比例关系，故选项D符合题意；
故选：．
两种相关联的量，若其比商一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例．据此解答．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，辨识两种相关联的量成正比例还是成反比例，就看这两种量存在比值商一定还是乘积一定．
5.【答案】
【解析】解：根据图示可以得出：
根据图示出水口之间存在不同，故判断错误；
号出口的出水量与号出口的出水量相同；
根据第二个出水口的出水量为：，
第个出水口的出水量为：，
故判断正确；
，，号出水口的出水量之比约为：：；
根据第一个出水口的出水量为：，第二个出水口的出水量为：，
第三个出水口的出水量为：，
，，号出水口的出水量之比约为：：；故判断正确；
若净化材料损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材料使用的时间约为更换最快的一个三角形材料使用时间的倍．
号与号出水量为，此处三角形材料损耗速度最慢，第一次分流后的水量为即净化塔最上面一个等腰直角三角形两直角边的水量为，
净化塔最上面的三角形材料损耗最快，
故更换最慢的一个三角形材料使用的时间约为更换最快的一个三角形材料使用时间的倍．
故判断正确；
故正确的有个．
故选：．
根据出水量假设出第一次分流都为，可以得出下一次分流的水量，依此类推得出最后得出每个出水管的出水量，进而得出答案．
此题主要考查了可能性的大小问题，根据题意分别得出各出水口的出水量是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：十五亿八千三百万写作：，改写成用“亿”作单位的数是亿，
故答案为：，．
根据数写作的方法可以将题目中的数据写出来，然后写成以亿为单位的数即可．
本题考查百分数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的数据．
7.【答案】
【解析】解：
厘米，
厘米千米，
答：株洲到南岳衡山实际距离约．
故答案为：．
根据实际距离图上距离比例尺，解答此题即可．
此题考查的是比例尺，统一单位是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：袋子里放了个红球和个白球，
第二次摸到红球的可能性为．
故答案为：．
用红球的个数除以总球数即可得出答案．
此题考查了可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】
【解析】解：
分米，
正方体的体积是立方分米．
故答案为：．
首先根据长方形的面积求出这个长方体的长，可得铁丝的长，再根据正方体的棱长总和棱长，用棱长总和除以可求出正方体的棱长，即可求解．
此题主要考查了展开图折叠成几何体，关键是掌握长方形、正方体的特征以及正方体的棱长总和公式．
10.【答案】
【解析】解：设甲、乙两地相距千米，依题意有：
小时，
，
，
，
，
，
．
答：甲、乙两地相距千米．
故答案为：．
小王行完全程用小时，这时小李也行驶了小时，小李行驶完全程用小时，甲、乙两地相距千米，因为小李和小王一共行驶了千米，所以小李行驶的路程是千米，小李行驶千米用的时间是小时，用是小李的速度，再用小李的速度乘就是全程千米，据此列出方程即可解答．
本题考查了一元一次方程的应用，关键是熟练掌握时间、路程、速度之间的关系．
11.【答案】或
【解析】解：设在时分时互相垂直，
分针每分钟旋转的圆心角为，时针每分钟旋转的圆心角为，
，解得；
，解得；
故答案为：或．
设在时分时互相垂直．则分针走了，时针走了，根据时钟的时针与分针的夹角为，由此即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，钟面角，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：以为分母的数有个，以为分母的数有个，以为分母的数有个，，
当分母为时，数的总个数为：，
，
即，
，
，
第个数是：，
第个数是以为分母的第个数，即．
故答案为：．
不难看出，以为分母的数有个，以为分母的数有个，以为分母的数有个，，分子部分，则是从到相应的分母的数，据此可求解．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字总结出存在的规律．
13.【答案】
【解析】解：由图可知：
与相对，
所以，
故答案为：．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“”字两端是对面，判断即可．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
14.【答案】：
【解析】解：：
：
：
：，
故答案为：：．
分析原来每个瓶子的酒精和水的占有率，然后相加，再用酒精的占有率比水的占有率即可解答问题．
本题考查了比的应用，因为两个瓶子大小相同，所以可以把每个瓶子的容积看作相同的单位““，分别表示出各自的酒精和水，再求比即可解答问题．
15.【答案】
【解析】解：仅含维生素甲的有种，
不含甲、乙、丙三种维生素的有种．
故答案为：，．
根据题意和容斥原理，知含维生素甲的食物的种数含维生素甲的食物种数含维生素甲、乙的食物种数含维生素甲、丙的食物种数含维生素甲、乙、丙的食物种数；再求出含维生素甲或乙或丙的食物种数，即可求出不含维生素甲、乙、丙的食物种数．
本题主要考查容斥原理，解题关键是读懂题意，找出数量关系，根据容斥原理列式计算即可．容斥原理：两个集合的容斥关系公式：：重合的部分；三个集合的容斥关系公式：．
16.【答案】解：；
或；
；
；
；
；
；
；
．
【解析】先将除法转化为乘法，再根据分数乘法运算法则计算，最后算减法即可；
先将小数为分数，再计算括号内的运算，最后根据分数乘法运算法则计算即可；
从左到右依次计算即可；
根据分数乘法运算法则计算即可；
原式可变形为，再算括号内的乘法运算，最后计算除法即可；
根据乘任何数和除以任何数都为即可解答；
先将百分数化为小数，再根据小数的乘法法则计算即可；
先将百分数化为小数，再根据小数的差法法则计算即可．
本题主要考查分数的混合运算、百分数的运算、小数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
17.【答案】解：
；
；
；
设，，
，
，
【解析】首先将算式转化为，然后再利用乘法的分配律进行计算即可得出答案；
首先将算式转化为，然后再利用乘法的分配律进行计算即可得出答案；
首先将算式转化为，进而得，然后再利用乘法的分配律进行计算即可得出答案；
设，，则，进而将算式转化为，据此可得出答案．
此题主要考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则，灵活运用运算定律进行简便运算是解答此题的关键．
18.【答案】解：：：，
，
，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成，得；
，
合并同类项，得，
系数化成，得．
【解析】先根据比例的性质进行计算，再去括号，移项，合并同类项，系数化成即可；
合并同类项，系数化成即可．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
19.【答案】解：设四个阴影三角形面积分别为、、、，中间四边形面积为，如图所示．
则的面积与的面积和等于的面积．
即：，
一一，
的面积与的面积和等于的面积，
则：，
即：，
式得：，
，
阴影面积，
，
，
答：阴影部分的面积为．
【解析】的面积等于长方形面积的一半，的面积与的面积和等于的面积．同理的面积与的面积和等于的面积．据此列出等量关系式解答即可．
本题考查了三角形面积以及矩形的性质，知道同底等高的长方形面积是三角形面积的倍是解本题的关键．
20.【答案】解：设当小聪的年龄是爸爸年龄的时，小聪岁，爸爸岁，
由题意得：，
解得：，
答：当小聪的年龄是爸爸年龄的时，爸爸岁．
【解析】设当小聪的年龄是爸爸年龄的时，小聪岁，爸爸岁，由“小聪岁时，他的爸爸岁，当小聪的年龄是爸爸年龄的时”，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
21.【答案】解：
，
，
剩下的商品打了七五折．
【解析】折扣现价原价，由此即可计算．
本题考查百分数的应用，关键是掌握折扣的定义．
22.【答案】解：设大班的小朋友有人，小班的小朋友有人，
由题意得：，
解得：，
这一筐苹果有：个，
答：这一筐苹果有个．
【解析】设大班的小朋友有人，小班的小朋友有人，由“如果大班的小朋友每人个则余个；如果分给小班的小朋友每人个则缺个．已知大班比小班多个小朋友”，列出二元一次方程组，解方程组求出、，即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
23.【答案】解：设这只狗跑了分钟，
根据题意得，
解得，
米，
答：这只狗跑了米．
【解析】设这只狗跑了分钟，两人从出发到相遇用的时间与这只狗跑的时间相同，则两人行走的距离之和为米，列方程得，解方程求出的值，再求出这只狗跑的距离即可．
此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，求出这只狗跑的时间是解题的关键．
24.【答案】解：设第一只猴子吃个桃子，第二只猴子吃个桃子，第三只猴子吃个桃子，
由题意得：，
解得：，
四只猴子共吃了个，
答：四只猴子共吃了个桃子．
【解析】设第一只猴子吃个桃子，第二只猴子吃个桃子，第三只猴子吃个桃子，由“四只猴子吃桃子，第一只猴子吃的是另外三只猴子总数的一半，第二只猴子吃的是另外三只猴子吃的，第三只猴子吃的是另外三只猴子吃的，第四只猴子吃了个”，列出三元一次方程组，解方程组得出、、，即可得出答案．
本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，列出三元一次方程组是解题的关键．
25.【答案】解：假设每头牛每天吃青草份，
青草的减少速度为：
份，
草地原有的草的份数：
份，
那么头牛每天吃青草份，青草每天减少份，可以看作每天有头牛吃草，草地原有的份草，可吃：
天，
答：可供头牛吃天．
【解析】假设每头牛每天吃青草份，头牛天吃草：份，头牛天吃草：份；青草每天减少：份；牛吃草前牧场有草：份；那么头牛每天吃青草份，青草每天减少份，可以看作每天有头牛吃草，草地原有的份草，可吃天；据此解答即可．
本题主要考查正比例的应用，关键的是求出青草的每天减少的速度份数和草地原有的草的份数．
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