2023-2024学年广东省茂名市电白区高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省茂名市电白区高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，则( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
3.如图，在平行六面体中，与的交点为，设，，，若，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知圆关于直线对称，且直线与直线平行，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知点，，若，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.已知点，，，且点在线段的垂直平分线上，则( )
A. B. C. D.
7.已知正方体的棱长为，为棱的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系如图则平面的一个法向量为( )
A.
B.
C.
D.
8.世纪，笛卡尔在几何学中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支解析几何我们知道，方程在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面那么，过点且以为法向量的平面的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，其中，则( )
A. 当时，直线与直线垂直
B. 若直线与直线平行，则
C. 直线过定点
D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等
10.已知，，，则( )
A. 直线与线段有公共点
B. 直线的倾斜角大于
C. 的边上的高所在直线的方程为
D. 的边上的中垂线所在直线的方程为
11.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则
( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
12.古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯约公元前前年发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，已知点，，平面内的动点满足：，则下列关于动点的结论正确的是( )
A. 点的轨迹方程为
B. 当、、三点不共线时，面积的最大值是
C. 当、、三点不共线时，若点的轨迹与线段交于，则
D. 若点，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知点，，若直线的斜率为，则______．
14.已知，点在线段上，且，则向量的坐标为______ ．
15.已知点，直线：，则点到直线的距离的最大值为______ ．
16.如图，在棱长为的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是______ 把所有正确结论的序号填写在横线上
存在点，使得；
存在点，使得；
对于任意点，到的距离的取值范围为；
对于任意点，都是钝角三角形．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：，：，在上任取点，在上任取点，过线段的中点作的平行线．
求直线与之间的距离；
求直线的方程．
18.本小题分
已知平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？请说明理由．
19.本小题分
如图，已知四面体的所有棱长都等于，，，分别是棱，，的中点．
求；
求直线，夹角的余弦值．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，、分别为、的中点，，．
证明：平面；
求点到平面的距离．
21.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．
求顶点的坐标；
求的面积．
22.本小题分
如图，四边形是梯形，，，是的中点，将沿折起至，如图，点在线段上．
若点是线段的中点，求证：平面平面；
若，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，向量，则，
则．
故选：．
根据题意，求出的值，进而计算可得答案．
本题考查空间向量模的计算，涉及空间向量的坐标，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：直线的斜率为，
直线的倾斜角的范围为，
则，解得．
故选：．
先求出直线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：在平行六面体中，与的交点为，设，，，
所以：，
故，．
故．
故选：．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由圆，可得圆心为，
因为直线与直线平行，所以设直线的方程为，
因为圆关于直线对称，
所以直线过圆心，所以，解得，
所以直线的方程为．
故选：．
求得圆心坐标，设直线的方程为，可求直线的方程．
本题考查求直线的方程，考查运算求解能力，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：设点，利用点，，
故，
由于，
所以，
解得，，；
故点．
故选：．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以的中点，且，
所以的中垂线方程为，即，
由题意可得在直线上，所以．
故选：．
由，的坐标，可得的中点的坐标，进而求出的中垂线的方程，由题意将点的坐标代入，可得的值．
本题考查直线的垂直的性质的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，，，，
则，，
设平面的法向量为，且，
则有，令，有，，
则向量，
所有与共线的非零向量都是平面的法向量，
分析选项，，符合．
故选：．
根据题意，求出、的坐标，设平面的法向量为，且，由平面法向量的定义可得，利用特殊值法分析可得、、的值，可得平面的一个法向量，进而分析选项，可得答案．
本题考查平面法向量，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设是该平面内的任意一点，则，
过点，且法向量为的平面的方程为，
整理得：．
故选：．
根据空间直角坐标系的特征判断即可，再由在空间直角坐标系中，若法向量为，且过点，则平面方程为，计算可得．
本题考查了法向量的定义，考查转化思想，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于：当时，直线的方程为，直线的斜率，与直线垂直，故A正确；
对于：当直线与直线平行时，，解得或，故B错误；
对于：直线，故直线恒过点，故C正确；
对于：当时，直线的方程为，在轴和轴上的截距为和，故D错误．
故选：．
直接利用直线的方程判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：如图所示：所以直线与线段无公共点，A错误；
因为，所以直线的倾斜角大于，B正确．
因为，且边上的高所在直线过点，
所以的边上的高所在直线的方程为，
即，C正确，
因为线段的中点为，且直线的斜率为，
所以上的中垂线所在直线的方程为，
即，故D错误．
故选：．
选项，画出图像即可看出有无交点；选项先用直线斜率公式求出斜率，再比较倾斜角与的大小；选项的边上的高所在直线过点，且斜率和直线的斜率乘积为，用点斜式写出边上的高所在直线；选项的边上的中垂线经过的中点，且斜率和直线的斜率乘积为，从而利用点斜式写出中垂线所在直线的方程．
本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系，还考查了直线垂直的斜率关系的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
分别由两向量共线的坐标表示、以及两向量垂直的条件：数量积为，解方程可得结论．
本题考查平面的法向量的运用和向量共线、垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
【解答】
解：若，则，即有，即，
即有，故A正确，C错误；
若，则，即有，
可得，，，
解得，，，
则，故B错误，D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：设，，
，又，，
，
整理可得，
对选项，的轨迹方程为，选项正确；
对选项，圆的半径为，且，
当的底边上的高最大时，其面积最大，
的面积的最大值为，选项正确；
对选项，点，当，，不共线时，，
由角平分线定理的逆定理可得：射线是的平分线，选项正确；
对选项，，，
，又在圆上，
当，，三点共线时，，选项错误．
故选：．
先根据“五步求曲“法求出点的轨迹方程为，然后再针对各个选项分别求解即可．
本题考查轨迹方程的求解，圆的几何性质的应用，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：过点和的直线的斜率为，
，
解得，
故答案为：．
利用直线的斜率公式求解．
本题主要考查了斜率公式，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：已知，
所以：，
点在线段上，且，
所以，
故：．
故答案为：．
直接利用向量的线性运算和坐标运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由于直线：，整理得，
故，解得，
故直线恒过点；
所以点到直线的距离的最大值为．
故答案为：．
直接利用恒过定点的直线系和两点间的距离公式求出结果．
本题考查的知识要点：恒过定点的直线系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题知，在棱长为的正方体中，是棱上的动点，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，设，其中，
，，
当时，，，
方程组无解，不存在，使得，
不存在点，使得，故错误；
当时，解得，故正确；
，其中，
到的距离为，故正确；
，，其中，
，，
是直角三角形或钝角三角形，故错误．
故答案为：．
为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
本题考查正方体结构特征、线线垂直、线线平行、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：两平行直线与间的距离为；
设的方程为，
由题意知与之间的距离为，
所以有，
解得或舍去，
所以的方程为．
【解析】利用平行间距离公式即可求解；
由题意知与之间的距离为，结合平行线距离公式即可求解．
本题考查平行线间距离公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：假设该四点在同一个圆上，
故设，，经过的圆的方程为，
故，解得，
故圆的方程为，由于点满足圆的方程，
故四点共圆．
【解析】首先利用三点求出圆的方程，进一步利用圆的方程判断结果．
本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：
，
四面体的所有棱长都等于，
，
，
；
，
，，
故直线，夹角的余弦值是．

【解析】根据空间向量基本定理，以三个不共面的向量为基底，表示出向量，利用即可得；
利用向量的数量积求直线的方向向量的夹角即可．
本题考查了向量的运算，考查向量的夹角公式，是中档题．
20.【答案】证明：因为平面，四边形为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、，所以，
因为平面，所以是平面的一个法向量，
所以 ，
所以，又因为平面，
所以平面；
由题意知，，
得，
设是平面的法向量，
则，即，令，得，，即，
所以点到平面的距离为．
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证明平面；
利用空间向量法可求得点到平面的距离．
本题考查了空间向量在空间几何体中证明线面关系和求空间距离的应用，属于中档题．
21.【答案】解：因为，，
所以，
由直线过点，得直线的方程为，即，
联立，解得，，
所以点的坐标为．
设，则，
因为的中点在直线上，
所以，解得，
所以点的坐标为，
所以点到直线的距离为，
因为，，
所以，
所以的面积是．
【解析】根据过点且与垂直，可求的方程，再求与的交点，即可得点的坐标；
利用的中点在直线上，可得点的坐标，再利用点到直线的距离公式求出，利用两点间距离公式求得，即可得解．
本题考查直线中的综合问题，熟练掌握直线的点斜式方程，两条直线垂直的条件，中点坐标公式，点到直线的距离公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：证明：因为，点是线段的中点，所以，
取中点，连接，，
因为四边形是梯形，，是的中点，且，所以，所以，
又由，且是的中点，可得，所以，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
在中，由，且为的中点，可得，
在中，由，且为的中点，可得，
因为，所以，可得，
又因为，，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
设，则，可得，
所以，，
设平面的法向量为，
则 ，
令，可得，，所以，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则，
解得或舍去，所以且，
设平面的法向量为，因为，
所以，得，取，可得，所以，
设直线与平面所成角为，
可得，
则，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
【解析】利用等腰三角形的性质找、的垂线，证明线面垂直，再证明面面垂直；
利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值，再求余弦值．
本题考查面面垂直的证明，直线与平面，平面与平面所成角的求法，属于中档题．
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