2023-2024学年陕西省渭南市澄城县高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省渭南市澄城县高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若两条直线：与：平行，则与间的距离是( )
A. B. C. D.
2.圆与直线的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
3.若，，则直线不经过第象限( )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
4.已知是椭圆：上的一点，则点到两焦点的距离之和是( )
A. B. C. D.
5.直线在轴上的截距是，且它的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
7.已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于( )
A. B. C. D.
8.若双曲线的实轴的两个端点与抛物线的焦点是一个等边三角形的顶点，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程，其中，则( )
A. 时，方程表示椭圆
B. 时，方程表示双曲线
C. 时，方程表示抛物线
D. 时，方程表示焦点在轴上的椭圆
10.在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法正确的是( )
A. 点到平面的距离为
B. 点关于轴的对称点为
C. 点到轴的距离为
D. 点关于平面的对称点为
11.下列说法正确的有( )
A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B. 直线过定点
C. 过点斜率为的点斜式方程为
D. 斜率为，在轴截距为的直线方程为．
12.已知椭圆：的两个焦点分别为，，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是( )
A. 是等腰直角三角形
B. 已知椭圆的离心率为，短轴长为
C. 是等边三角形，且椭圆的离心率为
D. 设椭圆的焦距为，点在圆上
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线：恒过定点，则定点坐标为______ ．
14.经过点，且被圆：所截得的弦最短时的直线的斜率为 ．
15.已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为______ ．
16.过双曲线：的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，直线与交于点，，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线经过点，且斜率为．
求直线的方程；
若直线与直线平行，且点到直线的距离为，求直线的方程．
18.本小题分
如图所示，正方体的棱长为，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在正方体的体对角线上，点在正方体的棱上当点为体对角线的中点，点在棱上运动时，求的最小值．
19.本小题分
求经过点的抛物线的标准方程；
双曲线的一条渐近线方程为，两准线之间的距离为，求此双曲线的方程．
20.本小题分
已知点，，动点满足．
Ⅰ求动点的轨迹的方程；
Ⅱ过抛物线上一点作曲线的两条切线分别交抛物线于，两点，求直线的斜率．
21.本小题分
从点出发的一束光线，经过直线：反射，反射光线恰好通过点．
求反射光线所在的直线方程；
求入射光线所在的直线方程．
22.本小题分
已知抛物线：．
若与圆：在第一象限内交于，两点，求直线的方程；
直线过点交于，两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：两条直线：与：平行，则，解得．
所以直线：转换为，
所以两直线间的距离．
故选：．
首先利用直线的平行的应用求出的值，进一步利用两平行线间的距离公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：直线平行的充要条件的应用，两平行线间的距离的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
2.【答案】
【解析】解：由已知可得圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
直线与圆的位置关系为相交．
故选：．
利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离可得结论．
本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：若，，则直线即，
故直线的斜率，直线在轴上的截距，
故直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：．
由题意，把直线的方程化为斜截式，根据直线的斜率以及它在轴上的截距，确定它的位置．
本题主要考查确定直线位置关系的几何要素，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由椭圆：，得，即．
是椭圆：上的一点，椭圆两焦点分别为、，
由椭圆定义可得：．
故选：．
由椭圆方程求得椭圆的长轴长，再由椭圆定义得答案．
本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆定义的应用，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，设直线为直线，
另一直线的方程为，
变形可得，其斜率，
则其倾斜角为，
而直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，
则直线的倾斜角为，
且斜率，
又由在轴上的截距是，则其方程为；
又由其一般式方程为，
分析可得：，；
故选：．
根据题意，设直线为直线，由直线的一般式方程分析可得：直线的斜率，倾斜角为，结合题意可得直线的倾斜角为，进而可得其斜率，又由其在轴上的截距是，可得直线的方程，结合直线的方程分析可得答案．
本题考查直线的斜截式方程，关键是由直线的倾斜角求出直线的斜率．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的准线方程，属于基础题．
先把其转化为标准形式，即可求解．
【解答】
解：；
；
．
又因为焦点在轴上，
所以其准线方程为．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：如图所示，由题意得焦点坐标，准线方程，
设的坐标，，
，
，整理得：，
解得：，又，．
故选：．
抛物线的定义得到焦点的距离等于到准线的距离．先由角求出的横纵坐标的关系得出的坐标，进而求出的值．
考查抛物线的定义，抛物线的性质的应用，考查三角形的解法，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点坐标，
因为双曲线实轴的两个端点和抛物线的焦点连成一个等边三角形，
所以，即，解得．
故选：．
求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出交点坐标，结合三角形的边角公式是解决本题的关键，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：方程，其中，
当，时，方程不表示椭圆，故A错；
当时，方程表示双曲线，故B对；
当时，，，方程表示两条直线；时，不表示任何图象，故C错；
时，方程表示焦点在轴上的椭圆，故D对．
故选：．
由椭圆方程和双曲线方程、抛物线方程的特点，可判断结论．
本题考查方程表示的曲线，注意运用分类讨论思想，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：在空间直角坐标系中，点，
对于，点到平面的距离为，故A正确；
对于，点关于轴的对称点为，故B错误；
对于，点到轴的距离为，故C正确；
对于，点关于平面的对称点为，故D正确．
故选：．
利用点到平面的距离判断；利用点到直线的距离判断．
本题考查空间直角坐标系的定义、点到直线的距离和点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于：直线经过第一、二、四象限，则，，故在第二象限，故A正确；
对于：直线，转换为，由于为任意实数，故，解得，故该直线过定点，故B正确；
对于：过点斜率为的点斜式方程为，故C正确；
对于：斜率为，在轴截距为的直线方程为，故D错误．
故选：．
直接利用直线方程的性质和直线的方程的求法的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：若是等腰直角三角形，则，即，
又，
，不能求出椭圆标准方程，故A选项错误，
若椭圆的离心率为，短轴长为，则，，即，，
，
，即，故椭圆标准方程为，故B选项正确，
若是等边三角形，且椭圆的离心率为，
，不能求出椭圆标准方程，故C选项错误，
若设椭圆的焦距为，点在圆上，
，即，
点在圆上，
，
，
，
椭圆标准方程为，故选项D正确，
故选：．
利用已知条件，结合椭圆的性质，可分别求解．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质，属于基本知识直接应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由直线：，
得，
联立，解得，
直线恒过定点．
故答案为：．
直接由直线系方程求解直线恒过定点的坐标．
本题考查过定点的直线问题，注意将直线变形，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，圆：的圆心为，
当与直线垂直时，点且被圆所截得的弦最短，
此时，
则直线的斜率．
故答案为：．
根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线垂直的性质，即可求解．
本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由已知，，所以，，
与的夹角的余弦值为，，
所以与的夹角为；
故答案为：．
首先分别求出与的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之．
本题考查了利用向量的数量积求向量是夹角；关键是熟练数量积公式，正确求模．
16.【答案】
【解析】解：由，可知点在线段上，且，如图所示，
根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限，
设为坐标原点，则直线的方程为由，则点到直线距离为，
又，则由，可知设双曲线的左焦点为，连接，
由双曲线的定义可知，
在中，由余弦定理可得，
整理得，即，，则，，
所以的离心率．
故答案为：．
不妨设点在第一象限，根据题意可得，然后利用双曲线的定义和余弦定理即可求解．
本题考查双曲线的性质以及余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：点，且斜率为，
由点斜式得直线的方程为：，
即；
由直线与直线平行，
可设直线的方程为，
由点到直线的距离公式得，
解得：或，
故直线的方程为：或．
【解析】根据点斜式方程求出直线方程即可；
根据点到直线的距离公式得到关于的方程，解出即可求出直线的方程．
本题考查了求直线方程问题，考查点斜式方程，是基础题．
18.【答案】解：由题意可知，，
由点在上，设，
所以，
故当时，取得最小值为．
【解析】求出点的坐标，设，由两点间距离公式表示出，再利用二次函数的性质求解最值即可．
本题考查了空间两点间距离公式，二次函数的性质，考查了运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：根据题意，要求抛物线经过点，则该抛物线的焦点在轴的负半轴或轴的正半轴．
若抛物线的焦点在轴的负半轴上，设其标准方程为．
因为抛物线过点，所以，，所以，
若抛物线的焦点在轴的正半轴上，设其标准方程为．
因为抛物线过点，所以，则，所以．
综上，所求抛物线的标准方程为或；
根据题意，双曲线的焦点在轴上，
则其渐近线方程为，准线方程为，
则有，解可得，，
则该双曲线的标准方程为．
【解析】根据题意，分析抛物线焦点的位置，由此分种情况讨论，求出抛物线的方程，综合可得答案；
根据题意，由双曲线的几何性质可得，解可得、的值，即可得答案．
本题考查抛物线、双曲线的标准方程，涉及抛物线和双曲线的几何性质，属于基础题．
20.【答案】解：Ⅰ设，
由已知点，，，
得，
所以动点的轨迹的方程为．
Ⅱ由题意知切线斜率存在且不为，
设切线的斜率为，则切线的方程为，
联立，得，
化简得，
所以，解得，
所以切线的方程为和，
联立，得，
联立，得，
所以．
【解析】Ⅰ设，由，得，化简即可得出答案．
Ⅱ设切线的斜率为，则切线的方程为，联立圆的方程，由，解得，写出切线的方程，联立抛物线的方程，解得，点的纵坐标，进而，即可得出答案．
本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：设关于直线：的对称点为，
则，
解得
，依题意知在反射光线上．又也在反射光线上，
，
故所求方程为，
整理得．
设关于直线：的对称点为，
则，
解得，
，
依题意知在入射光线上，又也在入射光线上，
，
故所求方程为，
整理得．
【解析】先求出点关于直线：的对称点，再根据点，点在反射光线所在的直线，即可由点斜式求出结果；
先求出点关于直线：的对称点，再根据点，点在入射光线所在的直线，即可由点斜式求出结果．
本题主要考查反射定率、求一个点关于直线的对称点的坐标、用两点式求直线的方程，属于基础题．
22.【答案】解：联立，解得或，
故，可得直线的方程为，即，
证明：由题意，可设直线方程为，，，，
联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，
由韦达定理可得，，
由题意，可设直线方程为，
，化简整理可得，，
，解得，
方程为，
直线必过点，
为定点，即得证．
【解析】联立直线与圆方程，求出交点坐标，即可求出直线方程．
设直线方程为，，，，直线方程与抛物线联立，结合韦达定理可得，，设直线方程为，直线方程与抛物线联立，结合韦达定理可得，，解得，即方程为，直线必过点，即得证．
本题主要考查抛物线与直线的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
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