2023-2024学年湖北省十堰市部分普通高中高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省十堰市部分普通高中高二（上）期中数学试卷
一、选择题
1.直线的斜率为( )
A. 不存在 B. C. D.
2.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是( )
A. B. C. D.
3.经过点且与直线垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
4.若圆：过坐标原点，则实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
5.在空间四边形中，连接、，若是正三角形，且为其中心，则化简后的结果为( )
A. B. C. D.
6.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点直线到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知圆：，直线：，的取值范围是，则圆上到直线的距离为的点有( )
A. 个 B. 个 C. 个或个 D. 个或个
9.下列命题中，错误的是( )
A. 垂直于同一个平面的两个平面平行
B. 三个平面两两相交，则交线平行
C. 一个平面与两个平行平面相交，则交线平行
D. 平行于同一条直线的两个平面平行
10.已知圆：和圆：相交于，两点，下列说法中错误的是( )
A. 圆与圆有两条公切线
B. 圆与圆关于直线对称
C. 线段的长为
D. ，分别是圆和圆上的点，则的最大值为
11.已知直线：，：，则( )
A. 恒过点 B. 若，则
C. 若，则 D. 不经过第三象限，则
12.如图，在棱长为的正四面体中，，分别在棱，上，且，若，，，，则( )
A.
B. 当，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
C. 当时，点的轨迹为一条线段不含端点
D. 当时，平面与平面所成的锐二面角为，则
二、非选择题
13.圆的圆心坐标为______
14.有一组数据，，，，，，，，这组数据的第百分位数是______ ．
15.过点，且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程为______ ．
16.已知实数、、、满足：，则的最大值为______ ．
17.已知中，点，点，点．
求边上的高所在直线的方程；
求角平分线所在直线的方程．
18.如图，已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若．
求点的轨迹围成图形的面积；
求的最大值．
19.如图，在长方体中，，，为的中点．
证明：；
求直线与平面夹角的正弦值．
20.已知圆：，直线恒过点．
若直线与圆相切，求的方程；
当直线与圆相交于，两点，且时，求的方程．
21.已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，
求则四边形的面积的最小值；
证明：直线经过定点．
22.已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，为的中点，
证明：平面平面；
若，与平面所成的角为，试问“在侧面内是否存在一点，使得平面？”若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由直线，表示与轴平行的直线，所以直线的斜率为．
故选：．
根据题意，得到直线表示与轴平行的直线，即可求解．
本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设坐标原点为，，所以，
故A在坐标平面上的投影点为，
故向量在坐标平面上的投影向量为．
故选：．
根据点的坐标，即可根据投影向量的定义求解．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设与直线垂直的直线方程为，
把点代入可得：，解得．
经过点且与直线垂直的直线方程为：．
故选：．
设与直线垂直的直线方程为，把点代入解得，即可得出．
本题考査了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：圆：过坐标原点，
，解得或，
当时，，不符合题意舍去，
当时，，即，满足题意，
综上所述，则实数的值为．
故选：．
由题意可得，代入可得，再进行验证，即可求解．
本题主要考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设的中点为，由于是正三角形，且为其中心，
故
，
故选：．
把， 代入要求的式子，再利用两个向量的加减法的法则及其几何意义，化简可得结果．
本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，利用，，是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想，属于中档题．
可得直线经过点，将曲线方程化简整理，得该曲线是以为圆心，半径为的圆位于直线右侧的部分，作出图形，观察直线的斜率的变化，再结合计算即可得到实数的取值范围．
【解答】
解：直线化成，可得直线必定经过点，
而曲线，可变形整理为
，
该曲线是以为圆心，半径为的圆位于直线右侧的部分包括、两个点，
设直线在圆下方与圆相切时的斜率为，直线过点与圆有两个交点时的斜率为．
可得当直线与曲线有两个不同的交点时，斜率满足，
可知，
由点到直线的距离，解得，
由此可得．
故实数的取值范围是
故选A．
7.【答案】
【解析】解：，不在平面内，平面，平面，
直线到平面的距离等于点到平面的距离，
如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设点到平面的距离为，
则，
故直线到平面的距离为．
故选：．
将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，建立直角坐标系，表示出相应点的坐标以及向量和法向量，利用距离公式即可求出．
本题考查直线到平面的距离、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：圆：，配方为：，
圆的圆心，半径为，
圆心到直线：的距离，
的取值范围是，，
当，圆上到直线的距离为的点有个，
当时，圆上到直线的距离为的点有个，
综上所述：圆上到直线的距离为的点有个或个．
故选：．
配方可得圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，进而可得结论．
本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故A错误；
对于：三个平面两两相交，则交线平行或相交，故B错误；
对于：由面面平行的性质定理知，一个平面与两个平行平面相交，则交线平行，故C正确；
对于：平行同一直线的平面，可以平行，也可以相交，故D错误．
故选：．
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系即可得出真命题．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要一定的逻辑推理能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由题可知圆圆心为，半径为，圆：化简得，即圆心为，半径为，
圆心距为，，故两圆相交，圆与圆有两条公切线，项正确；
两圆半径相等，故关于相交弦对称，故B项正确；
两圆方程作差可得：，设中点为，作的垂直平分线交两圆于，由几何关系可知，圆心到直线距离为，
则，故C项错误；
由图可知，两点连线恰好垂直于时，此时距离最大，，故D项正确．
故选：．
将两圆化成标准方程，易知两圆相交，AB正确；由几何关系求出弦心距，结合勾股定理可求弦长；数形结合可求．
本题主要考查了圆与圆位置关系的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为：，所以，
可得，，
恒过点，选项正确；
因为，所以，则或，故B选项错误；
因为，所以，则，故C选项错误；
因为不经过第三象限，
则直线与坐标轴不垂直时，在轴截距大于等于，在轴截距大于等于，
：，令，则，
令，则，，
当，：符合题意，
当，：符合题意，
所以不经过第三象限，则，故D选项正确．
故选：．
应用求定点方法判断选项，根据两直线平行求参判断选项，根据两直线垂直求参判断选项，把直线不过第三象限转化为截距关系判断选项．
本题主要考查了含参直线过定点问题，考查了两直线的位置关系，考查了直线过象限问题，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，当，，则点的轨迹是的内部不含边界，
所以的最小值是点到平面的距离，最大值是棱长取不到，
如图所示，设为的中心，则平面，
所以与平面内所有的直线垂直，
则，，
所以的取值范围为，故选项A正确；
当时，为的中位线，点的轨迹是线段不含端点，
作平面，为垂足，连接，
则为与平面所成角，
因为点到平面的距离为，是的中位线，，
由，平面，平面，所以平面，
则等于点到平面的距离，即点到平面的距离的一半，所以，
在中，，，边上的高为，
所以，则，
所以，故选项B错误；
当，时，点与点重合，
当，时，点与点重合，，是两个极限点实际上取不到，
当，时，是中位线的中点，，，三点不共线，
故选项C错误；
在上取点，使得，连接，时，点的轨迹是线段不含端点，
如图所示，由选项A可知，平面，
从而与平面内所有的直线垂直，，
作，垂足为，连接，
则由于，是平面内两条相交直线，
故D平面，又平面，所以，
则是平面与平面所成的锐二面角的平面角，即，
在是的中点中，，
，
由∽，可得，
所以，
，
则．
故选项D正确．
故选：．
分析，的范围，根据向量数乘的意义得到点的轨迹，即可判断选项A，，作出直线与平面所成的角，计算正弦值，作出二面角的平面角，计算其正弦值，即可判断选项B，．
本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：圆，化为：，
圆的圆心坐标；
故答案为：．
直接利用圆的一般方程化为标准形式，即可得到圆的方程．
本题考查圆的一般方程的与圆的标准方程的互化，圆心坐标的求法，是基本知识的考查．
14.【答案】
【解析】解：由数据，，，，，，，，从小到大排列，共有个数，
可得，所以这组数据的第百分位数是．
故答案为：．
根据题意，结合百分位数的计算方法，即可求解．
本题考查了百分位数的求解，属于基础题．
15.【答案】或
【解析】解：当直线经过原点时，设直线的方程为，由于该直线经过点，故直线的方程为；
当直线不经过原点时，设直线的方程为，由于该直线经过点，故，解得，故直线的方程为．
故答案为：或．
直接利用直线的截距式求出直线的方程．
本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设，，
，，
由，
可得，两点在圆上，且，所以，
即有，即三角形为等边三角形，，
的几何意义为点，两点到直线的距离与之和，
显然，在第三象限，所在直线与直线平行，
可设：，
由圆心到直线的距离，
可得，解得，
即有两平行线的距离为，
即的最大值为．
故答案为：．
设，，，，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形为等边三角形，，的几何意义为点，两点到直线的距离与之和，由两平行线的距离可得所求最大值．
本题考查最值的求法，向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．
17.【答案】解：点，点，
边所在直线斜率，
边上的高所在直线的斜率，且过点．
边上的高所在直线的方程为．
由得，角平分线的倾斜角为，
角平分线所在直线的斜率．
又角平分线过点，
角平分线所在直线的方程为．
【解析】利用直线的垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，进而得出答案；
由得，可得角平分线的倾斜角为，求出的斜率，进而可得出答案．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力：属于中档题．
18.【答案】解：根据题意，因为，
由平面向量基本定理，则点在平面上，
如图，分别取，，的中点，，，
连接，，，，，，，
因为，分别为，的中点，故，
又由正方体可得，，，，
故，，，，五点共面，同理可证，，，四点共面，
故六点共面，由正方体的对称性可得六边形 为正六边形．
故点的轨迹是正六边形，
所以点的轨迹围成图形的面积是．
如图，根据向量数量积的几何意义可得
故
，
的最大值为．

【解析】根据线线平行得四点共面，进而可得的轨迹是正六边形，根据三角形的面积公式即可求解，
根据数量积的几何意义即可结合图形求解最值．
本题考查空间向量的应用，涉及平面向量基本定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：证明：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
因为，
所以，即D.
因为，，
设为平面的法向量，则，，
所以，
令，则，，所以为平面的一个法向量，
又因，
设直线与平面夹角为，
所以，
所以直线与平面夹角的正弦值为．
【解析】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，求出、的坐标，根据即可得证；
求出平面的法向量，根据求解即可．
本题考查线线垂直的证明和直线与平面所成角，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可知，圆的圆心为，半径．
当直线的斜率不存在时，即的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为，直线的方程为，
化为一般式：，若直线与圆相切，
则，即，解得．
：．
综上，当直线与圆相切时，直线的方程为或．
由题意可知，直线的斜率一定存在，设斜率为，
直线的方程为，即．
设圆心到直线的距离为，则，由垂径定理可得，
，即，
整理得，，解得或．
则直线的方程为或．
【解析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，当直线的斜率不存在时，求得的方程为时；当直线的斜率存在时，设斜率为，可得直线的方程为，由圆心到直线的距离等于半径列式求得，可得直线的方程；
由题意可知，直线的斜率一定存在，设斜率为，可得直线方程，由垂径定理列式求解，则直线方程可求．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题．
21.【答案】解：由圆，得到圆心，半径，
由题意可得：，，，
，
在中，由勾股定理可得：，
当最小时，最小，此时所求的面积也最小，
点是直线上的动点，
当时，有最小值，此时，
所求四边形的面积的最小值为；
证明：由在直线上，设，则的中点坐标为，
又，
以为直径的圆的方程为，
整理得，
与圆联立，可得所在直线方程为，
即．
联立，可得，即直线过定点
【解析】由三角形相似可得，，由点到直线的距离公式结合勾股定理求出的最小值，即可求得四边形的面积的最小值；
设出点坐标，求出以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立求得两圆公共弦所在直线方程，再由线系方程即可求得直线所过定点．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想及数形结合的解题思想，考查直线系方程的应用，是中档题．
22.【答案】解：证明：由四边形是直角梯形，，，，
可得，，从而是等边三角形，，平分．
为的中点，，，
又，，平面．
又平面，
平面平面．
在平面内作于，连接，
又平面平面，平面平面，
平面
为与平面所成的角，则，
由题意得，，为的中点，．
以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
假设在侧面内存在点，使得平面成立，
设，
由题意得，
，，，
由，得，
解得，满足题意，
点到平面的距离为．
【解析】推导出，，从而平面由此能证明平面平面．
在平面内作于，连接，推导出平面，则为与平面所成的角，，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．
本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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