2023-2024学年江西省抚州市黎川重点中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省抚州市黎川重点中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
2.直线在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
3.直线：关于轴对称的直线方程为( )
A. B. C. D.
4.圆：的半径为( )
A. B. C. D.
5.圆与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 内含 D. 以上均有可能
6.若为抛物线上一点，且到焦点的距离为，则到轴的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆：的离心率为，则( )
A. B. C. D.
8.已知，分别为双曲线：的左右焦点，过点且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，且点在轴的上方，两个点到轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B. 若，，则直线的倾斜角为
C. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
D. 直线的截距为
10.已知椭圆：，在下列结论中正确的是( )
A. 长轴长为 B. 焦距为
C. 焦点坐标为 D. 离心率为
11.已知直线：与圆：，则下列说法正确的是( )
A. 直线恒过定点 B. 圆的半径为
C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 直线被圆截得的弦长最长为
12.已知抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于点，，过，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，线段的中点为，则有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线的倾斜角为______ ．
14.已知直线：，直线：，若，则 ______ ．
15.若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的一个可能取值是______ ．
16.已知椭圆：，点，为椭圆上任意一点，，为椭圆的左，右顶点，当不与，重合时，射线交椭圆于点，直线，交于点，则动点的轨迹方程为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，．
求直线的方程；
求平行四边形的面积．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，圆的半径，圆心是直线：与：的交点．
求圆的方程；
判断直线：与圆的位置关系，如果相交，设交点为，，并求弦长的大小．
19.本小题分
已知椭圆：的长轴长等于，离心率．
求椭圆的方程；
椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，求的面积．
20.本小题分
已知双曲线．
若，求双曲线的焦点坐标，顶点坐标和渐近线方程；
若双曲线的离心率，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知曲线上任意一点到点的距离与到点的距离之比为．
求曲线的轨迹方程；
过直线：上一点向曲线作切线，切点分别为，，圆过，，三点，证明：圆恒过定点．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，的准线交轴于点，过的直线与抛物线相切于点，且交轴正半轴于点已知的面积为．
求抛物线的方程；
过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足证明：直线过定点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：“”的一个必要不充分条件是“”．
故选：．
根据必要不充分条件的定义结合选项求解即可．
本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：直线，
令，解得，
故直线在轴上的截距为．
故选：．
根据已知条件，令直线方程中，即可求解．
本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：直线：即关于轴对称的直线方程为的斜率为，在轴上的截距为，
要求的直线方程为：，即．
故选：．
直线：即关于轴对称的直线方程为的斜率为，在轴上的截距为，即可得出．
本题考查了直线的对称性、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：可化为，所以圆半径为，
故选：．
直接将圆的一般方程化为标准方程即可求解圆的半径．
本题考查的知识要点：圆的方程之间的转换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：两个圆的圆心分别为，，
且圆心在圆上，
因为圆的半径不确定，所以均有可能．
故选：．
利用圆与圆的位置关系求解．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据抛物线的定义可得到焦点的距离等于到准线的距离，
到轴的距离为．
故选：．
根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果．
本题考查了焦点弦的性质与抛物线的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知．
故选：．
利用椭圆的性质计算即可．
本题考查椭圆的简单性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，，，，的中点为，
由于，故，
因此为直角三角形，故，
由于，所以，
得，
故或，
由，在双曲线渐近线上，
所以，
进而，
当时，，，
所以，
当时，，，
所以不符合题意，舍去，
综上：离心率为．
故选：．
根据得到为直角三角形，进而根据点差法得中点弦的性质即可求．
本题考查圆锥曲线与直线的位置关系，离心率的求解，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错；
：由于，的横坐标相等，即直线与轴垂直，故倾斜角为，对；
：由题设，直线方程为，显然在直线上，对；
：直线在轴上的截距为，但轴上的截距不一定为，错．
故选：．
根据倾斜角与斜率关系，点斜式及斜截式判断各项正误即可．
本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，还考查了直线的基本概念，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由已知得，，
则，
故椭圆长轴长为，焦距为，
焦点坐标为，离心率，故A，，D正确．
故选：．
先确定，，的值，然后根据椭圆性质逐一判断选项即可．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，：变形为，故恒过定点，故A正确；
对于，：变形为，圆心坐标为，半径为，故B正确；
对于，令圆心到直线：的距离，
整理得：，
由可得，方程无解，
故不存在实数，使得直线与圆相切，故C错误；
对于，若，直线方程为：，圆心在直线：上，
故直线被圆截得的弦长为直径，为最大弦长，故D错误．
故选：．
将直线方程变形后得到，求出恒过的定点，即可判断，将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标和半径，进而判断；圆心到直线的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式即可判断；当圆心在直线上，故直线被圆截得的弦长为直径，为最大弦长，即可判断．
本题主要考查了直线过定点问题，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：易知焦点，准线方程为，如图所示：
可设直线的方程为，，，
联立，消去可得，显然，
由韦达定理可知，，故A正确；
易知，，
所以，
又，
，
所以，故B错误；
可知，，则，
则，即，故C正确；
易得，所以，
则
，
即，故D正确．
故选：．
根据题意可得焦点坐标以及准线方程，设直线的方程为并与抛物线联立，由韦达定理可得，即A正确；化简可知B错误；利用向量数量积的坐标表示即可得CD正确．
本题考查抛物线性质，考查直线与抛物线的综合应用，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为．
故答案为：．
根据倾斜角与斜率的关系计算即可．
本题主要考查倾斜角与斜率的关系，属于基础题，
14.【答案】或
【解析】解：由，则，即，
所以或．
故答案为：或．
由两线垂直的判定列方程求参数即可．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
15.【答案】答案不唯一
【解析】解：曲线表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分，
如图所示，
由图可知，当直线在和之间移动或与半圆相切，即处于的位置时，
直线与圆恰好有一个公共点，
当直线在时，经过点，所以，
当直线在时，经过点，所以，
当直线与半圆相切时，，
所以，或者舍，
故或者．
故答案为：答案不唯一．
画出图象，结合图象确定一个公共点时的位置，求出相应的的值，数形结合可得答案．
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题知，不与轴重合，设直线的方程为，
联立，消整理得，，
设、，则，，
因为的方程为，的方程为，
两直线方程联立得：，
因为，
所以，解得，
所以动点的轨迹方程为，
故答案为：．
由题意，设直线的方程为，联立椭圆方程并由韦达定理得，，再由点斜式写出直线、的方程，联立得，结合韦达公式化简，即可得轨迹方程．
本题考查了椭圆的简单几何性质，是基础题．
17.【答案】解：平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，
，
直线的方程为：，
整理，得．
点到直线的距离，
，
平行四边形的面积：
．
【解析】本题考查直线方程的求法，考查平行四边形的面积的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用，属于基础题．
由平行四边形的性质求出的斜率，由此能求出直线的方程．
求出点到直线的距离和，由此能求出平行四边形的面积．
18.【答案】解：由，得，
，因为圆的半径，
圆的方程为．
由知圆的方程为，
圆心到直线：的距离为，
直线与圆相交，
弦长，
即弦长的大小为．
【解析】根据题意，联立两直线方程，可得圆心坐标，结合圆的方程的标准式，即可求得圆的方程；
根据题意，计算圆心到直线的距离，即可判断直线与圆的位置关系，再由弦长公式，即可得到结果．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属中档题．
19.【答案】解：因为椭圆的长轴长等于，
所以，
解得，
因为椭圆的离心率，
所以，
解得，
又，
则椭圆的方程为；
由知，，
不妨设，，
此时，
即，
又，，
整理得，
解得，
所以，
则．
故的面积为．
【解析】根据题意，列出关于，，的方程，代入计算，即可得到结果；
根据题意，由椭圆的定义，结合余弦定理列出方程，再由三角形的面积公式，即可得到结果．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：由已知可得，双曲线的方程为，
所以，双曲线的焦点在轴上，且，，，
所以，，，，
所以，双曲线的焦点坐标为，；
顶点坐标为，；
渐近线方程为；
由已知可得，，，，
所以，，，，
，
因为，
所以有，即，
整理可得，，
解得．
【解析】代入，求出，，的值以及双曲线焦点的位置，即可得出答案；
根据已知求出，，的值，得出，根据的取值范围，即可得出答案．
本题主要考查双曲线的性质以及计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：设曲线上一点坐标为，由已知得，
化简可得，
即曲线的轨迹方程为．
证明：如图所示：
由知曲线是以为圆心，半径为的圆，
过直线：上一点向曲线作切线，切点分别为，，
则，，所以，，，四点共圆，
即圆为的外接圆，圆心为的中点，半径为．
设，则，的中点为，，
所以圆的方程为，
即．
将变形，得，
所以，解得或，
所以圆恒过定点和．
【解析】利用两点距离公式化简计算即可．
利用直线与圆的位置关系确定，，，四点共圆，设，含参表示圆的轨迹方程，结合方程特征计算即可．
本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
22.【答案】解：由题可知，，准线，
因为直线的斜率存在且不为，
所以设，
联立，消去，得，
因为与相切，
所以，
所以舍去．
因此，解得，
所以，
故AF，
所以，
所以负值舍去，
所以抛物线的方程为．
证明：由知，
又：，
所以．
因为斜率存在且不为零，
所以设：，，，
联立，消去，得，
则，
所以且．
又直线：，令，得，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以直线的方程为，
所以，
因为，
所以直线为，
所以恒过定点．
【解析】根据题意假设得直线，联立抛物线方程求得，再利用三角形面积即可求得，由此得解；
根据题意设得：，联立抛物线方程求得，再依次求得，的坐标，从而求得直线的方程，化简可得为，由此得证．
本题考查抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．
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