安阳市部分中学2023-2024学年高一上学期12月月考
数学
考试时间:120分钟
第Ⅰ卷(选择题)
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共计40分)
1.已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
2.设,,为实数,且,则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
3.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
4.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中,若角的终边经过点,则( )
A. B. C. D.
6.设集合,集合,若,则实数取值集合的真子集的个数为( ).
A.2 B.4 C.7 D.8
7.已知函数若函数有四个不同的零点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.设是定义域为的偶函数,且在单调递减,设,,,则( )
A. B.
C. D.
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
9.已知幕函数的图象经过点,则( )
A.的定义域为 B.的值域为
C.是偶函数 D.的单调增区间为
10.下列结论正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“”的一个必要不充分条件是“”
C.“,”的否定是“,”
D.方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是
11.已知函数,关于函数的结论正确的是( )
A.的定义域为 B.的值域为
C.若,则 D.的解集为
12.已知,,且,则( )
A.的最小值是 B.的最小值是
C.的最小值是4 D.的最小值是5
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(满分20分,每小题5分)
13.若函数的定义域是,则函数的定义域是________.
14.已知扇形的圆心角为,其弧长为,则此扇形的面积为________.
15.已知,则________.
16.已知函数,对任意且,都有,则实数的取值范围是________.
三、解答题(满分70分,解答题必须写出必要的文字说明或解答过程)
17.(1);
(2).
18.(1)若,,求和的值;
(2)若,求的值.
19.已知集合,
(1)分别求,;
(2)已知集合,若,求实数的取值范围.
20.已知函数.
(1)求的定义域,判断的奇偶性并予以证明;
(2)求不等式的解集.
21.某企业为紧抓“长江大保护战略”带来的历史性机遇,决定开发生产一款大型净水设备.生产这种设备的年固定成本为400万元,每生产台需要另投入成本(万元),当年产量不足75台时,(万元);当年产量不少于75台时,(万元).若每台设备的售价为90万元,经过市场分析,该企业生产的净水设备能全部售完.
(1)求年利润(万元)关于年产量(台)的函数关系式;
(2)年产量为多少台时,该企业在这一净水设备的生产中获利最大?最大利润是多少?
22.已知函数为奇函数.
(1)求实数的值
(2)判断并证明在上的单调性;
(3)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.A 8.B 9.ABD 10.BCD 11.BC 12.BC
13. 14. 15. 16.
17.(1);(2)0
【分析】(1)根据指数幂的性质运算即可得到;
(2)根据对数的性质运算即可得到.
【详解】(1)原式;
18.(1),;(2)
【分析】(1)根据同角三角函数基本关系以及角的范围,求解即可得出答案;
(2)根据“1”的代换化为齐次式,分子分母同时除以,化为只含有的式子,代入即可得出答案.
【详解】由已知,,
可得,
所以.
(2)∵,
∴
.
19.(1),
(2)
【分析】(1)解不等式求得集合,,由此求得,.
(2)根据是否为空集进行分类讨论,由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】(1)因为集合,即,.
所以,
(2)因为,所以,
①当时,,,此时;
②当时,由得,
即
综上,的取值范围为.
20.(1)
(2)奇函数,证明见解析
(3)
【分析】(1)根据对数函数的性质进行求解即可;
(2)根据函数奇偶性的定义进行判断和证明;
(3)根据对数函数的单调性进行求解.
【详解】(1)要使函数有意义,则,
解得,故所求函数的定义域为;
(2)证明:由(1)知的定义域为,
设,则,
且,故为奇函数;
(3)因为,所以,即
可得,解得,又,
所以,
所以不等式的解集是.
21.(1);(2)当年产量为台时,利润最大,为1500(万元)
【分析】(1)根据条件,利润等于设备的售价减去投入成本,再减去年固定成本即可求解;
(2)对(1)中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值,再取最大的即可求解.
【详解】解:当年产量不足75台时,利润;
当年产量不少于75台时,利润,
所以年利润(万元)关于年产量(台)的函数关系式为:
.
(2)由(1)得当时,,开口向下,对称轴为,故当时,
(万元);
当时,由于,当且仅当时等号成立,
所以(万元).
综上,当年产量为台时,利润最大,为1500(万元)
22.(1)
(2)增函数,证明见解析
(3)
【分析】(1)利用奇函数的定义可得出关于实数的等式,即可求得实数的值;
(2)判断出函数在上为增函数,然后函数单调性定义证明函数在上为增函数即可;
(3)由已知可得,可得出不等式对任意的恒成立,分、两种情况,结合已知条件可的关于的不等式组,由此可解得实数的取值范围.
【详解】(1)解:因为函数为奇函数,且,
则,由,则,
所以,对任意的恒成立,所以,,可得.
(2)证明:由(1)可知,函数在上为增函数,证明如下:
任取且,则,
所以,
所以,,故函数在上为增函数.
(3)解:由可得,
所以,,即对任意的恒成立.
当时,则有,合乎题意;
当时,则有,解得.
综上所述,实数的取值范围是