课件13张PPT。分式的概念华东师大版八年级（下册）第16章 分式16.1 分式及其基本性质
（第1课时）例1 做一做
(1)面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为 米；
(2)面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为 米；
(3)已知正方形的周长是acm，则一边的长是____cm，面积是____cm2；
(4)一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克．则每千克苹果的售价是 元一、境界引入二、探究归纳 问：在上面所列出的代数式中，哪些是整式？哪些不是？同于前面学过的整式，是两个分母含有字母的代数式．在实际应用中，某些数量关系只用整式来表示是不够的，我们需要学习新的式子，以满足解决实际问题的需求．我们称这两个代数式为分式．其中A叫做分式的分子(numerator)，B叫做分式的分母(denominator)． 整式和分式统称为有理式。从分式的意义中，应注意以下三点：
(1)分式是两个整式相除的商，分数线可以理解为除号，并含有括号的作用；(2)分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母必须含有字母；(3)分式分母的值不能为0．如果分母的值为0，那么分式就无意义．三、实践应用
例2 当x取什么值时，下列分式有意义？ 解：四、同步练习1.指出下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式？2.当x取什么数时，下列分式有意义？3.在下列各分式中，当x等于什么数时，分式的值是0？当x等于什么数时，分式没有意义？4.把下列各有理式分别填入相应的圈内 问题：属于哪边呢？在这里代表一个无理数，不代表字母.是整式.
补充练习：课件17张PPT。分式的基本性质华东师大版八年级（下册）第16章 分式16.1 分式及其基本性质
（第2课时） （2）A、B都是整式，则 一定是分式。 （3）若B不含字母，则 一定不是分式。复习回顾 1、分式的概念：B××
这是根据分数的基本性质：
分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数，分数的值不变． 那么分式有没有类似的性质呢？分式的分子与分母都乘以（或除)同一个不等于0的整式,分式的值不变. 为什么所乘的整式不能为0呢?分式的基本性质：用式子表示是：＝＝（其中M是不等于0的整式）如：；；例1 约分：例题讲解与练习(2)解: (1) 把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的约分.分式的基本性质分式约分的依据是什么?分式的约分约分的基本步骤：
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去分子、分母相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．约分先找出公因式约去公因式分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中相同因式的最低次幂解：化简下列分式： 先分解因式约去公因式想一想注意：化简下列分式分式的约分练一练堂上练习约分: （1）（3）（2）化简下列分式：先分解因式，再约分做一做1、约分 ：注意：当分子分母是多项式的时候,先进行分解因式,再约分。
1、把下面的分数通分： 2、什么叫分数的通分？
答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。3、和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。 4、通分的关键是确定几个分式的公分母。
，，.例题讲解与练习公分母如何确定呢？最简公分母若分母是多项式时，应先将各分母分解因式，再找出最简公分母。练 习
通分：（1）； （2）（3）.；课件21张PPT。分式的加减法华东师大版八年级（下册）第16章 分式16.2 分式的运算（第2课时）复习提问1、分式的乘除法运算法则是什么？你能用式子表示出来吗？2、分式的乘方运算公式是怎样的？你能用语言叙述出来吗？想一想 【同分母的分数加减法的法则】
同分母的分数相加减，分母不变,分子相加减。问题1：猜一猜, 同分母的分式应该如何加减？
如： 同分母分式加减法法则 与同分母分数加减法的法则类似 【同分母的分式加减法的法则】
同分母的分式相加减，分母不变,分子相加减。例题讲解与练习例1 计算：.解：做一做练习： 1、课本第9页练习1。 2、计算：归纳总结1：同分母分式加减的基本步骤：
1. 分母不变，把分子相加减。
（1）如果分式的分子是多项式，一定要加上括号；
（2）如果是分子式单项式，可以不加括号。
2. 分子相加减时，应先去括号，再合并同类项；
3. 最后的结果，应化为最简分式或者整式。问题2：想一想，异分母的分数如何加减？【异分母分数加减法的法则】
通分，把异分母分数化为同分母分数。问题3：想一想，异分母的分式如何进行加减？探 索 探索异分母分式的加减法的法则 探索异分母分式的加减法的法则想一想 2、与异分母分数的加减法类似，异分母分式相加减，需要先通分，变为同分母的分式，然后再加减 。1、计算：通分时，最简公分母由下面的方法确定：
①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
②最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积；
③分母是多项式时一般需先因式分解。 归纳总结例题讲解与练习例2 计算： .解 （1） （2）因为最简公分母是___________， ＝__________
＝_______＝___.例题讲解与练习例3 计算： 解：练习：1、课本第10页练习2。 2、计算：（2）（3）（1）（4）做一做异分母分式的加减法步骤：
1. 正确地找出各分式的最简公分母。
求最简公分母概括为：取各分母系数的最小公倍数；凡出现的字母为底的幂的因式都要取；相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。
2.用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算。
3.准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。
4. 公分母保持积的形式，将各分子展开。
5. 将得到的结果化成最简分式。归纳总结延伸与拓展链接一：甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地到乙地按v千米/时的速度行驶，若按(v+a)千米/时的速度行驶，可提前多少小时到达？学习小结 1、你学到了哪些知识？要注意什么问题？2、在学习的过程 中你有什么体会？小结：谈谈本节课的收获？（1）分式加减运算的方法思路：异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误。（3）分式加减运算的结果要约分，化为最 简分式（或整式）。课堂小结课堂小结4、对于混合运算，一般应按运算顺序，有括号先做括号中的运算，若利用乘法对加法的分配律，有时可简化运算，而合理简捷的运算途径是我们始终提倡和追求的。
5、对每一步变形，均应为后边运算打好基础，并为后边运算的简捷合理提供条件．可以说，这是运算能力的一种体现．
6、注意约分时的符号问题。试一试3、计算：跟进练习课件13张PPT。分式的乘除法华东师大版八年级（下册）第16章 分式16.2 分式的运算
（第1课时）观察下列算式：猜一猜你能用语言描述分式的乘、除法法则吗？
与分数乘除法的法则类似，分式乘除法的
法则是： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.注意：1、对于式子中的多项式能分解因式的，应先进行分解因式.
2、分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.例1 计算：解：（1）（2）（3）1、先化除为乘，然后计算.
2、结果要化为最简分式或整式.例2 计算：注意：课堂练习 幂的乘方法则是什么？积的乘方法则是什么？忆一忆分式的乘方法则： 分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方.公式表示为：练一练1、分式的乘、除法的法则；
2、分式乘除的结果要化为最简分式或整式.小 结课件24张PPT。华东师大版八年级（下册）第16章 分式16.3 可化为一元一次方程的
分式方程
（第1课时）学以至用
数学来源于生活
生活离不开数学可化为一元一次方程的分式方程复习提问1、什么叫做方程？什么是一元一次方程？什么是方程的解？2、解一元一次方程的基本方法和步骤是什么？3、分式有意义的条件是什么？4、分式的基本性质是怎样的？ 轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得这个方程有何特点？引入问题分式方程的主要特征：
（1）含有分式 ；
（2）分母中含有未知数。 方程 中含有分式，并且
分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.你还能举出一个分式方程的吗？分式方程的概念例题讲解与练习辨析：判断下列各式，哪个是分式方程？下列方程中，哪些是分式方程？想一想概括：
方程以上有何特点？
观察分析后，发表意见，达成共识： 提问：你还能举出一个类似的例子吗？特征：方程的两边的代数式是分式。或者说末知数在分母上的方程。探究分式方程的解法 1、思考：怎样解分式方程呢？
为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：
（1）回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？
（2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ 试动手解一解方程（1）.
方程（1）可以解答如下：
解：方程两边同乘以（x+3）(x-3)，约去分母，得80(x-3）=60(x+3).
解这个整式方程，得x=21.
所以轮船在静水中的速度为21千米/时.探究分式方程的解法 2、概 括
上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.探究分式方程的解法 解方程请你动手做一做：例题讲解与练习例1 解方程.
解:方程两边同乘以（x2-1）,约去分母，得
x+1=2.
解这个整式方程，得
x=1.
事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的根，应当舍去.
所以原分式方程无解. 在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.
因此，在解分式方程时必须进行检验.那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？ 探究分式方程的增根原因 探究分式方程的增根原因 对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为0，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为0，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为0，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根.探究分式方程的验根方法 验根的方法
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为0.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为0.如果为0，即为增根.
如例1中的x=1，代入x2－1＝0，可知x=1是原分式方程的增根. 有了上面的经验，我们再来完整地解二个分式方程. 三、例题讲解与练习例2 解方程： 解： 检验：把x=5代入x-4，得x-4≠0.所以x=5是原方程的解. 三、例题讲解与练习(2)方程两边同乘以 检验：把x=2代入 x2-4，
得x2-4=0。 所以x=2是增根，从而原方程无解。. 注意：分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分式方程一定要验根！做一做①课P16练习1、2。②解下列分式方程： 1、判断：做一做做一做1学习小结 1、你学到了哪些知识？要注意什么问题？2、在学习的过程 中你有什么体会？ 1、什么是分式方程？举例说明
2、解分式方程的一般步骤：
a、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．
b、解这个整式方程．
c.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是0，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去．
3、解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？课堂小结验根的方法有：
代入原方程检验法和代入最简公分母检验法.
(1)代入原方程检验，看方程左，右两边的值是否相等，如果值相等，则未知数的值是原方程的解，否则就是原方程的增根。
(2)代入最简公分母检验时，看最简公分母的值是否为0，若值为0，则未知数的值是原方程的增根，否则就是原方程的根。课堂小结解分式方程的注意点： （1）去分母时，先确定最简公分母；若分母是多项式，要进行因式分解；
（2）去分母时，不要漏乘不含分母的项；
（3）最后不要忘记验根。课堂小结课件14张PPT。华东师大版八年级（下册）第16章 分式16.3 可化为一元一次方程的
分式方程
（第2课时）学以至用
数学来源于生活
生活离不开数学可化为一元一次方程的分式方程的应用复习提问解下列方程：(1)(2)(3) 问题：某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？引入问题列方程解应用题的步骤是怎样的呢？ 列方程解应用题的一般步骤是什么？（1）审清题意；
（2）设未知数；
（3）列式子，找出等量关系，建立方程；
（4）列方程；
（5）检查方程的解是否符合题意；
（6）作答。复习提问这些解题方法与步骤，对于学习分式方程应用题也适用。这节课，我们将学习列分式方程解应用题。分式方程的应用探索问题引入的解决：解 设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分能输入2x名学生的成绩，根据题意得解得 x＝11 经检验，x＝11是原方程的解.并且x＝11，2x＝2×11＝22，符合题意.答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩. 强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；时间要统一。列分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审清题意；
（2）设未知数（要有单位）；
（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；
（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；
（5）写出答案（要有单位）。归纳概括练习：求解本章导图中的问题. 例题讲解与练习 例2 A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度。 解：设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，根据题意得解之得 x=9经检验x=9是原方程的解当x=9时，2x=18，5x=45答：大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时例题讲解与练习 (1)甲乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地，已知两地AB的距离为30㎞，甲每小时比乙多走3㎞，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x㎞，则可列方程为（ ）（2）我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。练一练学习小结 1、你学到了哪些知识？要注意什么问题？2、在学习的过程 中你有什么体会？课堂小结 (1)列分式方程与列一元一次方程解应用题的差别是什么？ (2)你能总结一下列分式方程应用题的步骤吗？列分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审清题意；
（2）设未知数（要有单位）；
（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；
（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；
（5）写出答案（要有单位）。 王明同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元。原定人数是多少？随堂练习数学与生活.
编写一道与下面分式方程相符的实际问题.随堂练习课件15张PPT。零指数幂与负整指数幂华东师大版八年级（下册）第16章 分式16.4 零指数幂和负指数幂
（第1课时）想一想：
同底数幂的除法公式：
am÷an = 。am-n这个公式成立的条件是什么?（1） m、n均为正整数；
（2） m＞n；
（3） a≠0本节课的研究重点（ ）
问题1：当m=n时，am÷an = ？
问题2：当m先考察被除数的指数等于除数的指数的情况，例如下列算式：
52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0).
1. 利用除法的意义想一想，结果如何？
2. 如果按照同底数幂的除法公式来计算上述各式，结果如何？
对于上述两个结果，你有什么想法？
问题1：当m=n时a0 =1(a 0)≠请用语言叙述由此我们规定 任何不等于0的数的零次幂都等于1。问题2：当m1. 如果仿照同底数幂的除法公式来计算，结果如何？
2. 可以利用约分来计算吗？
请大家比较两种结果，对此你有什么想法？猜想 a-n= 我们规定：a0 ： 零指数幂；a–n ： 负指数幂。语言叙述为：任何不等于0的数的-n(n 是正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数。解： 练习3：
1、下列计算对吗？为什么？ 错的请改正。
①(－3)0=－1； ②(－2)－1＝1；③ 2－2=－4；
④a3÷a3=0； ⑤ ap·a－p =1（a≠0）。
2、计算：
(1) 10-2 ； (2) 2-3 ； (3) ； (4)4-2；
(5)810÷810； (6)102÷105； (7)510÷254探 索
现在我们已经引进了零指数幂和负整指数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数.那么，在§13.1“幂的运算”中所学的幂的性质是否还成立呢？与同学们讨论并交流一下，判断下列式子是否成立. （2）(a·b)-3=a-3b-3
（4）(a-3)2=a(-3)×2学习小结 1、你学到了哪些知识？要注意什么问题？2、在学习的过程 中你有什么体会？小结2.同底数幂的除法法则
am ÷an = a m－n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）中的条件可以改为：
（a≠0，m、n都是正整数）小测：1、选择 ： (1)计算2-1结果是 ( ) A、 -2 B、 2 C、 -1/2 D、 1/2 (2) 各式正确的是( ) A、 x2p ÷xp=x2 B、 xmx-n=xm-n C、 xm-n=xm-x-n D、 x6 ÷x2=x3 (3)下列各式错误的是( )
A、 x12 ÷x2 ÷x2 =x8 B、 x·x6 ÷( x3)2 = x
C、( xy)5 ÷(xy3)= ( xy)2 D、 x10 ÷(x4÷x2) = x82、用分数表示：
7－2= ______ 5－3 = ____
（－3）－1=_____ (0.1)-2=_____思维训练：1、计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式：
（1）(a-3)2(ab2)-3；
（2）(x-3yz-2)2；
2、若 无意义,且3x+2y=1,求x,y的值.
3、若 = 2 ， =4,求 的值.
课件12张PPT。科学记数法华东师大版八年级（下册）第16章 分式16.4 零指数幂和负指数幂
（第2课时）你知道吗?我们沈阳的人口是多少?我们沈阳去年接待游客是多少人次?我们沈阳的去年旅游收入是多少元?你还知道哪些生活中的大数?100 = 10( )1000 = 10( )10000 = 10( )……100…00 = 10( )n个0你发现了吗?234n你发现了什么?1 000 000 000 000 000 = 10( )1510000 = 10 我能表示吗?41. 如果10000 改成20000，又如何表示？2. 如果10000 改成220000，又如何表示？3. 如果10000 改成2220000，又如何表示？你能比较吗?请比较下列各数的大小？
1、2 ×105 2.2 ×105 2、22 ×104 2×105
3、2.2 ×105 0.22 ×106 4、 2.2 ×105 2.22 ×104一个大于10的数可以记作a ×10n 的形式, 其中1≤a < 10,n是正整数哪两个比较大小容易些?<〉 =〉让我来露一手用科学记数法表示下列各数:
1. 696 000 2. 1 000 000
3. 58 000 4. 1 23010的指数与原数的整数位数有什么关系？解：1. 696 000 = 2. 1 000 000= 3. 58 000 =4. 1 230 =6.96×100000 =6.96 ×1051065.8×10000 =5.8×1041.23×1031.23×1000 =让我来露一手口答 ：用科学记数法表示下列各数:
1. 600 000 000 2. 140 000
3. 50 600 4. 50 020解：1. 600 000 000 = 6 ×108 2. 140 000 = 1.4 × 105 3. 50 600 = 5.06×1044. 50 020 = 5.002×104让我来编题: 请同桌两位同学相互编两道用科学记数法表示的数，由同桌互解。你发现了哪些问题?让我们来探索: 下列是用科学记数法表示的数，原来各数是什么数?
1. 1 ×105 2. 5.18 ×103
3. 7.04 ×106 4. 5.002 ×106 你从中发现了什么规律?解：1. 1× 105 =100000 2. 5.18× 103 =5.18 × 1000=5180 3. 7.04× 106 =7.04 × 1000000=7040000 4. 5.002× 106 =5.002 × 1000000=5002000让我们来应用用科学记数法表示下列各数:1、光的速度约是300 000 000米/秒；2、太阳光从太阳射到地球的时间约500秒，请问太阳到地球多少距离?3、一天有8.64 ×104秒,一年有365天,一年有多少秒?4、1光年是光1年所走的路程,则1光年等于多少米?5、 1米=109纳米，请问一光年等于多少纳米？让我来小结1、我知道了……
2、我学会了……
3、我发现了……
4、我还想知道……作业1、必做题:作业本2、选做题:
我们知道：0.01=0.12
0.001=0.13
0.0001=0.14
… …
请你思考?
0.000234可以如何简单表示?
