2024年1月广东高中学业水平考试模拟试卷03
一．选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、设集合；则( )
2、函数的值域是（ ）
A．0，2，3 B． C． D．
3、设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．命题“ x∈R，sin x＋1≥0”的否定是( )
A． x0∈R，sin x0＋1<0 B． x∈R，sin x＋1<0
C． x0∈R，sin x0＋1≥0 D． x∈R，sin x＋1≤0
5．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝( )
A．－ B．－ C. D.
6、不等式的解集为（ ）
A． B． C．R D．
7．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的频率为( )
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
8、 “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知指数函数的图象经过点，则（ ）
A．8 B．16 C． D．
10、为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( )
A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度
11、的值为( )
A． B． C． D．
12、设向量a＝(cos 23°，cos 67°)，b＝(cos 53°，cos 37°)，则a·b=( )
A. B. C．－ D．－
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。）
13、△ABC的三个内角是A，B，C，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是 三角形．
14、已知，则的最小值为 ．
15、袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
16、已知向量________.
17、某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：
9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18.
则这组数据的70百分位数是______________.
18、已知a＝，b＝log2，，则a、b、c 的大小关系是______________．
三、解答题（本大题共4小题，19、20、21题各10分，第22题12分。满分42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.）
19、已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足点P，B，D三点共线，求y的值．
20、在△中，角的对边分别为，且，．
（1）求角的大小；
（2）若，，求边的长和△的面积.
21、已知z为复数，和均为纯虚数，其中i是虚数单位．
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若复数在复平面内对应的点位于实轴下方，求实数m的取值范围．
22、如图,四棱锥P-ABCD 的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)如果E是PA的中点,求证:PC∥平面BDE;
(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE 证明你的结论.2024年1月广东高中学业水平考试模拟试卷03
一．选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、设集合；则( )
【答案】A
2、函数的值域是（ ）
A．0，2，3 B． C． D．
【答案】C
3、设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
对应的点为，在第二象限.故选：B
4．命题“ x∈R，sin x＋1≥0”的否定是( )
A． x0∈R，sin x0＋1<0 B． x∈R，sin x＋1<0
C． x0∈R，sin x0＋1≥0 D． x∈R，sin x＋1≤0
【答案】A
5．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝( A )
A．－ B．－ C. D.
【答案】A
解:因为α是第二象限角，所以cos α<0.
由同角函数关系式知cos α＝－＝－，故选A.
6、不等式的解集为（ ）
A． B． C．R D．
【答案】D
7．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间
[22，30)内的频率为( )
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】B
【详解】由茎叶图知落在区间[22，30)内的数据有22，22，27，29，共4个，因为共有10个数据，所以数据落在区间[22，30)内的频率为＝0.4，故选B.
8、 “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B.
9．已知指数函数的图象经过点，则（ ）
A．8 B．16 C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可得，解得，故选：B.
10、为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( )
A．向左平行移动1个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度
D．向右平行移动π个单位长度
解析：只需把函数y＝sin x的图象上所有的点向左移动1个单位长度，便得函数y＝sin(x＋1)的图象．
答案：A
11、的值为( )
A． B． C． D．
答案 D 解析 由,易知D正确.
12、设向量a＝(cos 23°，cos 67°)，b＝(cos 53°，cos 37°)，
则a·b=( )
A. B. C．－ D．－
【答案】A.
解析：A [sin 27°cos 18°＋cos 27°sin 18°＝sin(27°＋18°)＝sin 45°＝．故选A．]
填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。）
13、△ABC的三个内角是A，B，C，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是 三角形．
【答案】钝角.
14、已知，则的最小值为 ．
【答案】
15、袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
【答案】 .
【解析】 4只球分别记为白、红、黄1、黄2，则从中一次摸出2只球所有可能的情况有：白红、白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1黄2，共6种情况，其中2只球颜色不同的有5种，故P＝.
16、已知向量________.
【答案】10
17、某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：
9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18.
则这组数据的70百分位数是______________.
答案：13.
解析：总共15个数，15×70%=10.5，10.5不是整数，所以第70%分位数为第11个数13.
18、已知a＝，b＝log2，，则a、b、c 的大小关系是______________．
答案 c>a>b
解析 0
＝1，
即01，所以c>a>b.
三、解答题（本大题共4小题，19、20、21题各10分，第22题12分。满分42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.）
19、已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足点P，B，D三点共线，求y的值．
【答案】 (1)设B(x1，y1)，
∵＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
∴∴∴B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，∴M.
(2)＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
∵P，B，D三点共线，∴∥，∴－4＋7(1－y)＝0，∴y＝.
20、在△中，角的对边分别为，且，．
（1）求角的大小；
（2）若，，求边的长和△的面积.
【答案】(1)
(2)由余弦定理可得c=3，∴
21、已知z为复数，和均为纯虚数，其中i是虚数单位．
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若复数在复平面内对应的点位于实轴下方，求实数m的取值范围．
【答案】（1）设，则.因为为纯虚数，所以，且，所以，所以.
因为为纯虚数，所以，所以，所以，，所以.
（2）由（1）知，
所以，复数在复平面内对应的点为.
由题意可知，，解得或，且，
所以，实数m的取值范围为.
22、如图,四棱锥P-ABCD 的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)如果E是PA的中点,求证:PC∥平面BDE;
(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE 证明你的结论.
【解】(1)∵PA⊥底面ABCD,∴PA为此四棱锥底面上的高.
∴S正方形ABCD·PA=×12×2=.
(2)证明:如图,连接AC交BD于O,连接OE.
∵四边形ABCD是正方形,∴AO=OC.
又∵AE=EP,∴OE∥PC.
又∵PC 平面BDE,OE 平面BDE,
∴PC∥平面BDE.
(3)不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE.
∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC.
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD.
又∵PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC.
∵CE 平面PAC,
∴BD⊥CE.